TD2 machines hydrauliques 2015

APP hydraulique / Machines Hydrauliques 1
TD num´ero 2 “Machines Hydrauliques” : turbine Pelton
Choix du type de turbine
On souhaite ´equiper une installation dont les caract´eristiques sont les suivantes : hauteur de
chute H= 900 m, d´ebit Q= 4,5 m3/s et vitesse de rotation de l’aternateur N= 500 tr/min.
1) Calculer la puissance hydraulique Phyd et la vitesse sp´ecifique Ns. En d´eduire que l’installation
doit ˆetre ´equip´ee d’une turbine Pelton.
2) En n´egligeant les pertes de charges dans la conduite, calculer la vitesse th´eorique du jet
Vtheo `a la sortie de l’injecteur.
3) On suppose que la vitesse r´eelle du jet est Vjet =k Vtheo o`u le coefficient de vitesse est
k= 0,95 est due `a l’interaction avec le pointeau dont le r´eglage permet d’assurer le passage
d’un d´ebit Q. Calculer le diam`etre du jet djet `a la sortie de l’injecteur, n´ecessaire au passage
du d´ebit Q.
Rendement optimal pour une famille donn´ee de roues
On souhaite choisir une turbine en similitude avec la roue de diam`etre D1= 50,9 cm sous
hauteur H1= 60 m avec un diam`etre de buse d1= 5,25 cm. Le rendement ηde cette roue en
fonction de la puissance m´ecanique P1d´evelopp´ee sur l’arbre et de sa vitesse de rotation N1est
donn´e par l’abaque 1 pour plusieurs valeurs de la vitesse sp´ecifique ns(voir l´egende de l’abaque
pour des indications sur les unit´es).
4) Donner la d´efinition de la vitesse sp´ecifique nsen rempla¸cant Phyd par Pdans la d´efinition
de Ns. D´efinir le rendement η`a partir de Phyd et P. En d´eduire nsen fonction de ηet Ns.
5) On cherche `a d´eterminer, `a partir de l’abaque 1, la vitesse sp´ecifique nopt
squi permet
d’obtenir le rendement ηopt optimal. Calculer nopt
set ηopt de mani`ere it´erative `a partir
de l’abaque en commen¸cant par η= 1.
6) En d´eduire les valeurs de Nopt
1et Popt 1correspondantes.
Calcul des caract´eristiques de la turbine par similitude
Le choix du rendement η=ηopt ´etant effectu´e, avec les valeurs N1=Nopt
1et P1=Popt 1
correspondantes, on cherche `a d´eterminer le diam`etre Dde la turbine ainsi que son diam`etre de
buse d.
7) Rappeler la d´efinition du pouvoir manom´etrique µet du coefficient de d´ebit δ.
8) En utilisant la conservation de µlors de la similitude, calculer le diam`etre D. Que vaut le
param`etre λ=D/D1?
9) Comparer avec la valeur obtenue `a l’aide de la conservation de δ.
10) En d´eduire la vitesse lin´eaire des aujets U.
11) Calculer le diam`etre de la buse d. Comparer avec djet. En d´eduire la valeur du coefficient
kqu’il faut ajuster pour utiliser une roue en similitude avec la roue 1. Commenter.

O. Thual 2015 from V. Roig 2014 2
Corrig´e 1 Turbine Pelton
Choix du type de turbine
1)On a Phyd =ρ g Q H = 39 730 kW et Ns=N P 1/2
hyd H−5/4= 20,2 tr/min. Comme Ns∈[6,60],
il faut choisir une turbine Pelton.
2)On a Vtheo =√2g H = 132,8 m/s.
3)On a Q= (π d2
jet/4) Vjet avec Vjet =k Vtheo = 126,2 m/s. On en d´eduit djet =q4Q
π Vjet =
21,30 cm.
Rendement optimal pour une famille donn´ee de roues
4)La vitesse sp´ecifique bas´ee sur la puissance m´ecanique est ns=N P 1/2H−5/4. Le rendement
est d´efini par η=P/Phyd. On en d´eduit ns=Ns√η.
5)Le choix de η= 1 conduit `a ns=Ns= 20,2 tr/min. On lit, tr`es approximativement sur
l’abaque 1, que le maximum de rendement est η=.904 pour N1H−1/2
1= 83 et P1H−3/2 1=
0,060. La deuxi`eme it´eration avec η=.904 conduit `a ns=Ns√η= 19.2 tr/min. On lit, tr`es
approximativement sur l’abaque 1, que le maximum de rendement est η=.905 pour N1H−1/2
1=
81 et P1H−3/2
1= 0,057. On la valeur de ηchange peu d’une it´eration `a l’autre, on s’arrˆete `a
ηopt = 0.905.
6)Les valeures N1H−1/2
1= 81 et P1H−3/2 1= 0,057 avec H1= 60 m conduisent `a N1=
81 H1/2
1= 627 tr/min et P1= 0,057 H3/2 1= 26,5 kW.
Calcul des caract´eristiques par similitude
7)On a µ=g H
ω2r2et δ=Q ω r3o`u ωest la vitesse de rotation en Hertz et rest le rayon de la roue.
8)La similitude µ=µ1entraine H
N2D2=H1
N2
1D2 1
et donc D=D1N1
NqH H1= 2,47 m. On a
λ=D/D1= 4.86.
9)La similitude δ=δ1entraine Q
N D3=Q1
N1D3
1
. Comme P=η ρ g Q H et P1=η ρ g Q1H1, on
aQ
Q1=P H1 P1Het donc D=D1P H1N1 P1H N 1/3
= 2,55 m. Ce r´esultat est proche de celui de la
question pr´ec´edente.
10)On a U0=2πN
60
D
2= 65.5 m/s.
11)Le diam`etre de la buse respecte la relation de similitude des longueurs d=λ d1= 25,5 cm.
Comme djet =q4Q
π Vjet avec Vjet =k Vthe, on a k=4Q
π d2Vthe = 0.66. Cette r´eduction de vitesse
´etant source de perte de charge, il peut ˆetre judicieux de choisir une autre famille de roues.

O. Thual 2015 from V. Roig 2014 3
90,6%
90%
89%
88%
87%
ns= 22
ns= 24
ns= 26
ns= 28
ns= 20
ns= 18
ns= 16
ns= 14
ROUE 1
0,030
0,045
0,060
0,075
40
60
70
80
90
100
50
0,000
D1= 509 mm
H1= 60 m
P1H3/2
1
N1H1/2
1
d1= 52,5mm
Figure 1: Colline des rendements η(en %) dans le plan (N1H−1/2
1, P1H−3/2 1) pour la roue 1
de caract´eristiques D1= 509 mm, H1= 60 m et d1= 525 mm. La hauteur H1est en m et la
vitesse de rotation N1est en tr/min. La vitesse sp´ecifique ns(en tr/min) est d´efinie `a partir de
la puissance m´ecanique Pde l’arbre exprim´ee en kW.