TD2 machines hydrauliques 2015

APP hydraulique / Machines Hydrauliques
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TD numéro 2 “Machines Hydrauliques” : turbine Pelton
Choix du type de turbine
On souhaite équiper une installation dont les caractéristiques sont les suivantes : hauteur de
chute H = 900 m, débit Q = 4, 5 m3 /s et vitesse de rotation de l’aternateur N = 500 tr/min.
1) Calculer la puissance hydraulique Phyd et la vitesse spécifique Ns . En déduire que l’installation
doit être équipée d’une turbine Pelton.
2) En négligeant les pertes de charges dans la conduite, calculer la vitesse théorique du jet
Vtheo à la sortie de l’injecteur.
3) On suppose que la vitesse réelle du jet est Vjet = k Vtheo où le coefficient de vitesse est
k = 0, 95 est due à l’interaction avec le pointeau dont le réglage permet d’assurer le passage
d’un débit Q. Calculer le diamètre du jet djet à la sortie de l’injecteur, nécessaire au passage
du débit Q.
Rendement optimal pour une famille donnée de roues
On souhaite choisir une turbine en similitude avec la roue de diamètre D1 = 50, 9 cm sous
hauteur H1 = 60 m avec un diamètre de buse d1 = 5, 25 cm. Le rendement η de cette roue en
fonction de la puissance mécanique P1 développée sur l’arbre et de sa vitesse de rotation N1 est
donné par l’abaque 1 pour plusieurs valeurs de la vitesse spécifique ns (voir légende de l’abaque
pour des indications sur les unités).
4) Donner la définition de la vitesse spécifique ns en remplaçant Phyd par P dans la définition
de Ns . Définir le rendement η à partir de Phyd et P . En déduire ns en fonction de η et Ns .
5) On cherche à déterminer, à partir de l’abaque 1, la vitesse spécifique nopt
qui permet
s
d’obtenir le rendement η opt optimal. Calculer nopt
et η opt de manière itérative à partir
s
de l’abaque en commençant par η = 1.
6) En déduire les valeurs de N1opt et P1opt correspondantes.
Calcul des caractéristiques de la turbine par similitude
Le choix du rendement η = η opt étant effectué, avec les valeurs N1 = N1opt et P1 = P1opt
correspondantes, on cherche à déterminer le diamètre D de la turbine ainsi que son diamètre de
buse d.
7) Rappeler la définition du pouvoir manométrique µ et du coefficient de débit δ.
8) En utilisant la conservation de µ lors de la similitude, calculer le diamètre D. Que vaut le
paramètre λ = D/D1 ?
9) Comparer avec la valeur obtenue à l’aide de la conservation de δ.
10) En déduire la vitesse linéaire des aujets U .
11) Calculer le diamètre de la buse d. Comparer avec djet . En déduire la valeur du coefficient
k qu’il faut ajuster pour utiliser une roue en similitude avec la roue 1. Commenter.
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O. Thual 2015 from V. Roig 2014
Corrigé 1
Turbine Pelton
Choix du type de turbine
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1)On a Phyd = ρ g Q H = 39 730 kW et Ns = N Phyd H −5/4 = 20, 2 tr/min. Comme Ns ∈ [6, 60],
il faut choisir une
√ turbine Pelton.
2)On a Vtheo = 2 g H = 132, 8 m/s.
q
3)On a Q = (π d2jet /4) Vjet avec Vjet = k Vtheo = 126, 2 m/s. On en déduit djet =
21, 30 cm.
4Q
π Vjet
=
Rendement optimal pour une famille donnée de roues
4)La vitesse spécifique basée sur la puissance mécanique est ns = N P 1/2 H −5/4 . Le rendement
√
est défini par η = P/Phyd . On en déduit ns = Ns η.
5)Le choix de η = 1 conduit à ns = Ns = 20, 2 tr/min. On lit, très approximativement sur
−1/2
−3/2
l’abaque 1, que le maximum de rendement est η = .904 pour N1 H1
= 83 et P1 H1
=
√
0, 060. La deuxième itération avec η = .904 conduit à ns = Ns η = 19.2 tr/min. On lit, très
−1/2
approximativement sur l’abaque 1, que le maximum de rendement est η = .905 pour N1 H1
=
−3/2
81 et P1 H1
= 0, 057. On la valeur de η change peu d’une itération à l’autre, on s’arrête à
opt
η = 0.905.
−1/2
−3/2
6)Les valeures N1 H1
= 81 et P1 H1
= 0, 057 avec H1 = 60 m conduisent à N1 =
1/2
3/2
81 H1 = 627 tr/min et P1 = 0, 057 H1 = 26, 5 kW.
Calcul des caractéristiques par similitude
7)On a µ =
gH
ω2 r2
et δ =
Q
ω r3
où ω est la vitesse de rotation en Hertz et r est le rayon de la roue.
q
N1
H
1
et
donc
D
=
D
8)La similitude µ = µ1 entraine N 2HD2 = NH
1 N
2
2
H1 = 2, 47 m. On a
1 D1
λ = D/D1 = 4.86.
1
9)La similitude δ = δ1 entraine NQD3 = NQD
3 . Comme P = η ρ g Q H et P1 = η ρ g Q1 H1 , on
1
1/3 1
a QQ1 = PP1HH1 et donc D = D1 PP1HH1 NN1
= 2, 55 m. Ce résultat est proche de celui de la
question précédente.
πN D
10)On a U0 = 2 60
2 = 65.5 m/s.
11)Le diamètreq
de la buse respecte la relation de similitude des longueurs d = λ d1 = 25, 5 cm.
Comme djet = π4VQ
avec Vjet = k Vthe , on a k = π d42 Q
= 0.66. Cette réduction de vitesse
Vthe
jet
étant source de perte de charge, il peut être judicieux de choisir une autre famille de roues.
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O. Thual 2015 from V. Roig 2014
P1 H 1
0, 075
0, 060
0, 045
0, 030
0, 000
40
3/2
ROUE 1
D1 = 509 mm
H1 = 60 m
d1 = 52, 5 mm
50
60
70
90, 6%
90%
89%
88%
87%
80
ns = 14
90
ns = 18
ns = 28
ns = 26
ns = 24
ns = 22
1/2
ns = 20
N 1 H1
ns = 16
100
−1/2
−3/2
Figure 1: Colline des rendements η (en %) dans le plan (N1 H1
, P1 H1
) pour la roue 1
de caractéristiques D1 = 509 mm, H1 = 60 m et d1 = 525 mm. La hauteur H1 est en m et la
vitesse de rotation N1 est en tr/min. La vitesse spécifique ns (en tr/min) est définie à partir de
la puissance mécanique P de l’arbre exprimée en kW.