POLYNOMES. - Formation Continue Diplomante

POLYNOMES.
1. Introduction.
Nous vous proposons dans cette annexe le chapitre sur les polynômes et les fractions
rationnelles. Ce module est important pour la suite du cours. Il ne comporte pas d’exercices
supplémentaires, ni de test. Vous pouvez faire les exercices et éventuellement poser des
questions au tuteur.
2. Définitions.
On appelle polynôme ou fonction polynôme (ou fonction polynomiale) à une indéterminée x
sur R (ou C) l'expression définie par
Px ax a x ax ax a n N
nnnn
( ) ....... ,=+ ++++ ∈
−− 112210
où
aa a
n 01
, ,......,
sont des éléments de R (ou C) appelés coefficients du polynôme
Px
()
.
On utilise aussi la notation
Px ax
ii
i
n
()==
∑
0,
ax
ii
est un monôme et
ai
le coefficient du monôme.
Si
Px
()
≠0
, on appelle degré de
Px
()
, et on note
deg P
()
ou encore d°P, le plus grand entier
naturel n tel que
an ≠0
. Le coefficient
a
n
est le coefficient du terme de plus haut degré.
• Une constante non nulle est un polynôme de degré 0.
• Le polynôme nul n'a pas de degré
• On dit que le polynôme
Px
()
est pair si et seulement si ∀∈ =
+
pN a
p
,210
• On dit que le polynôme
Px
()
est impair si et seulement si
∀∈ = pN a
p
,20
• La somme et le produit de deux polynômes sont encore des polynômes et :

Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 2000.
Service Commun de Formation Continue INP,
Isabelle Henrot-Jacques Besson-Gérard Hirsch-Philippe Leclère-François Marron
2
deg deg ,deg PQ Max P Q +
()
≤
() ()
()
et
deg deg deg PQ P Q
() () ()
=+.
a)
Px x x
()
=++
42
1
est un polynôme pair.
b)
Px x x
()
=−
3
3
est un polynôme impair.
c) Si
Px x x
()
=++
2
1
et
Qx x x
()
=− − +
2
21
alors
Px Qx x
()
+
()
=− +2
et
PxQxxxxx
()()
=− − − − +
432
32 1
, et on a bien
deg deg ,deg , PQ Max P Q Max +
()
=≤
() ()
()
=
()
=1222
,
deg deg deg PQ P Q
() () ()
=4=+=2+2.
3. Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes.
Etant donnés deux polynômes
Ax
()
et
Bx
()
avec
Bx
()
≠0
, il existe un couple unique de
polynômes
Qx Rx
() ()
()
,
vérifiant :
Ax BxQx Rx
()
=
()()
+
()
et
deg deg RBRx
()
<
() ()
=
()
ou 0
.
Le polynôme
Qx
()
est le quotient de la division euclidienne de
Ax
()
par
Bx
()
.
Le polynôme
Rx
()
le reste de la division euclidienne de
Ax
()
par
Bx
()
.
Si
Rx
()
=0
, alors
Ax
()
est divisible par
Bx
()
(ou encore
Bx
()
divise
Ax
()
).
Considérons la division euclidienne du polynôme
Ax x x
()
=++
31
par
Bx x x
()
=++
21
. Le
quotient
Qx
()
est donné par
Qx x
()
=−1
et le reste
Rx
()
par
Rx x
()
=+2
. On a donc
Ax x x x x x x
()
=++
()
=++
()
−
()
++
32
1112

Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 2000.
Service Commun de Formation Continue INP,
Isabelle Henrot-Jacques Besson-Gérard Hirsch-Philippe Leclère-François Marron
3
4. Division suivant les puissances croissantes.
Etant donné un entier naturel h et deux polynômes
Ax
()
et
Bx
()
avec
B 00
()
≠
, il existe un
couple unique de polynômes
Qx Rx
() ()
()
,
vérifiant :
Ax BxQx x Rx
h
()
=
()()
+
()
+1
et
deg Qh Rx
()
≤
()
=
()
ou 0
.
Le polynôme
Qx
()
est le quotient de la division de
Ax
()
par
Bx
()
suivant les puissances
croissantes jusqu'à l'ordre h et le polynôme
Rx
()
le reste de la division de
Ax
()
par
Bx
()
suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h.
Disposition pratique de l’opération.
On ordonne les deux polynômes
Ax
()
et
Bx
()
suivant les puissances croissantes :
Ax a ax ax
()
=+ + +
01 2
2
K
et
Bx b bx bx
()
=+ + +
01 2
2
K
et on pose la division (voir exemple ci-dessous).
Déterminons le quotient de la division du polynôme suivant les puissances croissantes jusqu'à
l'ordre 2 du polynôme
Ax x x x x
()
=+++ +
543 2
24
par
Bx x
()
=+
32
.
4
+22 x + x
3
+ x
4
+ x
5
23 + x
−4
−23 x 22 + x
0
+22 x − x
3
+ x
4
+ x
5
−22 x − x
5
0
− x
3
+ x
4
0
Le quotient
Qx
()
est alors donné par
Qx x
()
=+
2
2
et le reste
Rx
()
par
Rx x
()
=−1
. On a
donc
Ax x x x x x x x x
()
=+++ += +
()
+
()
+−
()
543 2 3 2 3
24 2 2 1
.

Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 2000.
Service Commun de Formation Continue INP,
Isabelle Henrot-Jacques Besson-Gérard Hirsch-Philippe Leclère-François Marron
4
5. Racine d’un polynôme. Ordre de multiplicité.
Soit a un nombre réel ou complexe.
Un polynôme
Px
()
est divisible par
xa −
()
si et seulement si
Pa
()
=0
.
Le nombre
a
est alors appelé racine du polynôme
Px
()
. (On dit aussi que a est un zéro de
Px
()
)
Un nombre
a
est racine d'ordre
αα,( )∈
∗
N
, d'un polynôme
Px
()
, si et seulement si
Px
()
est divisible par
xa −
()
α, mais pas par
xa −
()
+α 1
(on dit aussi que
α
est l'ordre de
multiplicité du zéro a de
Px
()
).
• Une racine simple est une racine d'ordre 1.
• Une racine double est une racine d'ordre 2.
Le polynôme
Px x x
()
=+−
26
admet 2 et –3 comme racines simples (d’ordre 1). Il peut
s’écrire sous la forme
Px x x x x
()
=+−=−
()
+
()
2623
; il est donc divisible par
x −
()
2
et
par
x +
()
3
.
Le polynôme
Pxxxxx
()
=− + − +
432
10 21 16 4
admet 1 et 2 comme racines doubles
(d’ordre 2). Il peut s’écrire sous la forme
Pxxxxx xx
()
=− + − +=−
()
−
()
432 22
10 21 16 4 1 2
;
il est donc divisible par
x −
()
1
2
et par
x −
()
22
.

Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 2000.
Service Commun de Formation Continue INP,
Isabelle Henrot-Jacques Besson-Gérard Hirsch-Philippe Leclère-François Marron
5
6. Factorisation des polynômes à coefficients réels. Théorème de
D’Alembert.
6.1. Théorème.
Tout polynôme
Px
()
à coefficients complexes, de degré
n >0
, admet exactement n racines,
chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité et s'écrit
Px a x x x x x x n
npp
p
()
=−
()
−
()
−
()
+++=
12 12
12
αα ααα α.... ....avec
.
Les valeurs xx x
p 12
, ,....
sont toutes distinctes.
On dit que l'on a décomposé
Px
()
en produit de facteurs premiers.
Px x x x x x x i x i
()
=−= −
()
+
()
=−
()
+
()
−
()
+
()
422
11111
6.2. Cas où les coefficients sont réels.
Si un polynôme
Px
()
à coefficients réels admet le nombre complexe
aC
R
∈−
pour racine,
alors le conjugué
a
de
a
est aussi racine, avec le même ordre de multiplicité. Donc le nombre
de racines non réelles de
Px
()
est pair.
Le polynôme
Px x x
()
=−+
225
admet
12+ i
et donc
12− i
comme racines simples (d’ordre
1). Il peut s’écrire sous la forme
Px x x x i x i
()
=−+=−−
()
−+
()
2
25 12 12
.
Tout polynôme à coefficients réels se factorise sous la forme
Qx xa xa x pxq x pxq
nknm
rr
m
kr
()
=− − + + + +( ) ......( ) ( ) ....( )
1211 2
11
avec
∆
ii i
pq =−<
2
40
.