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Cours Polynômes. Fractions rationnelles Mars 2000.
Service Commun de Formation Continue INP,
Isabelle Henrot-Jacques Besson-Gérard Hirsch-Philippe Leclère-François Marron
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6. Factorisation des polynômes à coefficients réels. Théorème de
D’Alembert.
6.1. Théorème.
Tout polynôme
Px
()
à coefficients complexes, de degré
n
>0
, admet exactement n racines,
chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité et s'écrit
Px a x x x x x x n
npp
p
()
=−
()
−
()
−
()
+++=
12 12
12
αα ααα α.... ....avec
.
Les valeurs
xx x
p
12
, ,....
sont toutes distinctes.
On dit que l'on a décomposé
Px
()
en produit de facteurs premiers.
Px x x x x x x i x i
()
=−= −
()
+
()
=−
()
+
()
−
()
+
()
422
11111
6.2. Cas où les coefficients sont réels.
Si un polynôme
Px
()
à coefficients réels admet le nombre complexe
aC
∈−
pour racine,
alors le conjugué
a
de
a
est aussi racine, avec le même ordre de multiplicité. Donc le nombre
de racines non réelles de
Px
()
est pair.
Le polynôme
Px x x
()
=−+
225
admet
12+
i
et donc
12−
i
comme racines simples (d’ordre
1). Il peut s’écrire sous la forme
Px x x x i x i
()
=−+=−−
()
−+
()
2
25 12 12
.
Tout polynôme à coefficients réels se factorise sous la forme
Qx xa xa x pxq x pxq
nknm
rr
m
kr
()
=− − + + + +( ) ......( ) ( ) ....( )
1211 2
11
avec
∆
ii i
pq
=−<
2
40
.