QUE : - joffrempsi1

𝐌𝐄𝐂𝐀𝐍𝐈QUE :
I) Caractéristiques de quelques trajectoires d’un satellite:
Dans toute cette partie, on étudie un satellite noté S de masse M=700kg, en mouvement autour de la
Terre. On supposera que la terre est sphérique, de rayon RT=6400 km, homogène, et de masse
MT=6.1024 kg. On prendra G=6,67 10-11 m3.kg-1.s-2.
1) Rappeler la définition d’un référentiel galiléen.
2) Dans quel référentiel (que l’on précisera) étudie-t-on un satellite Terrestre ?
3) Donner sans justification, les natures des trajectoires possibles d’un satellite en révolution
autour de la terre.
4) On suppose dans cette question que le satellite a une trajectoire circulaire autour de la Terre,
à une altitude h=OS-RT = r- RT
La trajectoire est plane, et on définit l’axe Oz orthogonal à ce plan. Le satellite est repéré par la
distance r par rapport au centre O de la Terre.
Exprimer la norme v de la vitesse du satellite en fonction des données de l’énoncé, puis en
fonction de g0 (intensité de la pesanteur à la surface de la Terre) , r et RT.
5) Exprimer la période T du satellite en fonction de g0, h et RT. En déduire la troisième loi de
Kepler. A quelle époque doit-on les travaux de Kepler ?
6) Qu’est ce qu’un satellite géostationnaire ? En déterminer l’altitude.
7) Calculer la vitesse du premier satellite de positionnement européen Galiléo, Giove-A, qui se
situe sur une orbite circulaire, à une altitude de 23 222 km. Est-il géostationnaire ?
8) Le 22 Aout 2014, un lanceur russe Soyouz a décollé de son pas de tir avec deux satellites
Galiléo à son bord. En raison d’un problème, les deux satellites n’ont pas été placés sur
l’orbite circulaire visée. Ils se trouvent aujourd’hui sur une orbite elliptique de 25 900 km
d’apogée et de 13 700 km de périgée. Ces satellites ont-ils la même période de révolution que
celle de Giove-A ?
9) Certains satellites sont en orbite circulaire basse, à des altitudes autour de h= 300km.
a) Que dire de l’atmosphère à cette altitude ?
b) Exprimer l’énergie cinétique Ec en fonction de son énergie mécanique Em.
c) Il faut tenir compte du freinage à ce type d’altitude. En déduire que paradoxalement, le
freinage entraine une augmentation de la vitesse.
d) Les forces de freinage font perdre au satellite une altitude Δh=20m à chaque révolution.
Exprimer puis calculer la variation d’énergie mécanique correspondante.
6 II) Autour du pendule pesant
A- Portraits de phase
On considère un pendule pesant constitué d’une tige rigide de longueur l et de masse négligeable et
d’une masse, assimilée à un point matériel M de masse m, solidaire de son extrémité inférieure.
L’extrémité supérieure est attachée à un point A fixe dans le référentiel terrestre :
le pendule pesant
1) On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le pendule est écarté initialement d’un
angle θ0 de la position verticale et on lui communique une vitesse v0.
a) Exprimer l’énergie potentielle Ep(θ) du système et tracer son allure. On prendra l’origine des
énergies potentielles en z = 0.
b) Exprimer l’énergie mécanique du système en fonction de θ et 𝜃 .
c) Analyser les différentes trajectoires de phase du pendule fig.2. Faire le lien avec la valeur
initiale de l’énergie mécanique.
figure 2 : différentes trajectoires de phase
7 2) On suppose désormais qu’il existe des frottements fluides de la forme 𝑓 = −𝜆 𝑣
a) déterminer l’équation du mouvement vérifiée par M. Que devient-elle pour de petits
mouvements autour de θ = 0 ?
b) Analyser les différentes trajectoires de phase du pendule fig.3.
figure 3 : différentes trajectoires de phase
3) Dans cette partie, la tige est en rotation à la vitesse angulaire ω autour de l’axe Oz. On se place dans
le référentiel tournant à la vitesse angulaire ω, non galiléen. Dans ce référentiel, tout se passe comme
dans un référentiel galiléen à condition d’ajouter la force dite d’entrainement 𝑓!" = 𝑚𝜔! 𝑟𝑒! où r est la
distance de M à l’axe de rotation. A cette force est associée l’énergie potentielle d’inertie d’entrainement
!
Epie = − ! 𝑚𝜔! 𝑟 ! + 𝐾. Ainsi l’énergie potentielle est modifiée par rapport au 1)
L’allure de l’énergie potentielle est représentée pour différentes valeurs des paramètres l, ω et m.
Dans chaque cas de la fig.4, identifier la(les) position(s) d’équilibre et discuter de sa(leurs)
stabilité(s).
figure 4 : allure de Ep(θ) pour différentes valeurs de l et 𝝎
8 B- Etude expérimentale-Mesure de g0
Un élève réalise avec le pendule précédent, dans les conditions du 1), l’expérience suivante dans le but
de mesurer g0.
La masse m vaut : 𝑚 = 1,00 ± 0,01 𝑘𝑔
Il lâche le pendule lorsque l’angle initial avec la verticale vaut θ 0=15°
Il mesure à l’aide d’un chronomètre cinq périodes d’oscillations.
Il obtient les résultats suivants : ℓ𝓁 = 50,0 ± 0,1 𝑐𝑚 et 5𝑇 = 7,1 ± 0,1 𝑠.
Les incertitudes élargies sur les mesures de 𝑚, ℓ𝓁 et 5𝑇 sont notées : 𝑈 𝑚 = 0,01 𝑘𝑔, 𝑈(ℓ𝓁) = 0,1 𝑐𝑚 et
𝑈(5𝑇) = 0,1 𝑠.
1) Proposez une mise en équation du problème dans laquelle vous exprimerez la période T des
oscillations.
2) Déduire des résultats une valeur de g0 assortie de son incertitude élargie.
On donne la relation permettant de calculer la propagation de l’incertitude :
𝑋 = 𝜆 𝑎! 𝑏 ! 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 !(!)
!
=
p
!(!) !
!
+ q
!(!) !
!
où 𝜆, p et q sont des constantes. 3) Proposer un moyen d’améliorer la méthode d’évaluation de g0.
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