UNIVERSITE PARIS XI-IFIPS 1ére Année préparatoire 2005-06 23 Mars 2006 Mécanique :Interrogation 2 Durée 1h30 – Les calculettes sont autorisées et les documents sont interdits. – Respectez les notations de l’énoncé. – Les exercices sont indépendants EXERCICE 1 :Fronde-pendule conique Une pierre de masse m est attachée au point A par un fil inextensible de longueur `. On la fait tourner autour de l’axe vertical z~k passant par A avec une vitesse angulaire constante ω de telle sorte que son mouvement reste dans un plan horizontal (P) Soit R le référentiel terrestre supposé galiléen, et R0 le référentiel non galiléen lié à la pierre et repéré par la base (u~ρ , u~θ , ~k). On rappelle que : ~ ) a~e = ω ~ ∧ (~ω ∧ OM a~c = 2~ω ∧ v~r 1. Pourquoi peut-on dire que le référentiel terrestre est galiléen ? et pourquoi le référentiel lié à la pierre n’est-il pas galiléen ? 2. (a) Faire le bilan des forces agissant sur la pierre dans R . (b) Exprimer le vecteur rotation, ω ~ , dans le repère (u~ρ , u~θ , ~k) et en déduire l’expression des forces inertielles d’entrainement et de Coriolis en fonction de ω, ` et α. (c) Finalement représenter l’ensemble de toutes les forces sur un dessin. 1 2 3. Projeter la relation fondamentale de la dynamique ( loi de Newton) dans le repère (u~ρ , u~θ , ~k) et en déduire que l’angle α, entre la verticale et le fil est donné par la g relation cosα = 2 `ω 4. Pour quelle valeur de ω le fil commence-t-il à s’écarter de la verticale ? 5. Montrer que la pierre ne peut pas s’élever plus haut que le point d’attache A. 6. Quelle est la trajectoire de la pierre si on coupe la corde pendant le mouvement (justifier la réponse.On pourra s’aider d’un schéma) ? EXERCICE 2 : Satellite en orbite terrestre On étudie le mouvement d’un satellite de masse m en orbite autour de la Terre. On admettra que le mouvement s’effectue dans un plan et que le référentiel d’étude est galiléen.La Terre est l’origine O du repère des coordonnées polaires (r,θ).On rappelle l’expression de la vitesse et de l’accélération, ainsi que celle de la force de gravitation exercée sur le satellite : ~v = ṙu~r + rθ̇u~θ ~a = (r̈ − rθ˙2 )u~r + (2ṙθ̇ + rθ̈)u~θ mM F~ = −G 2 u~r r I- Orbite circulaire : Le mouvement se fait suivant une orbite circulaire située à une distance r du centre de la Terre. 1. La force F~ est-elle conservative ? 2. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique et en déduire les équations différentielles du mouvement. 3. Montrer que le satellite se déplace à une vitesse angulaire constante ω = θ̇ que l’on calculera en fonction de G,M et r. 4. Donner l’expression de la norme v de la vitesse. En déduire l’expression de l’énergie cinétique du satellite en fonction de G,M et r. 5. Ecrire l’expression de son énergie potentielle, qui sera prise nulle à l’infini. 6. Montrer que l’énergie mécanique du satellite s’écrit Em = − GmM . 2r (1) II- Changement d’altitude : On considère le satellite sur une orbite circulaire de rayon r, mais en réalité il est soumis à une force de frottement fluide f~ = −α~v , due à l’atmosphère ténue présente à l’altitude de vol. L’intensité de cette force de frottement étant faible, la trajectoire peut être assimilée à un cercle durant une période de rotation. On utilisera donc les expressions obtenues dans la première partie, avec r qui varie très lentement au cours du temps. 1. La force de frottement est-elle conservative (justifier) ? Ecrire l’expression du travail élémentaire de cette force, dWf , en fonction uniquement de α,v et de l’intervalle de temps dt. 3 2. Montrer que pendant le même intervalle de temps l’énergie mécanique varie de 2α dEm = Em dt. (2) m Ecrire alors l’équation différentielle vérifiée par Em 3. En déduire l’expression de l’énergie mécanique Em en fonction du temps , on notera E0 l’énergie à t=0. Exprimer alors la distance r(t), en notant r0 sa valeur à t=0. 4. Répondre brièvement comment varie la vitesse v(t), et commenter cette variation. III- Bonus : chute d’un satellite : Un satellite du type SPOT,de masse 2 tonnes, orbite à une altitude de l’ordre de 820 km. Le rayon terrestre est 6400 km. Le coefficient de frottement est α' 3.10−4 Nm−1 s. Combien de temps lui faudra-t-il pour s’écraser sur Terre ? En réalité,la force de frottement, ou traînée, est fonction de v 2 et le coefficient α dépend de la densité atmosphérique donc de l’altitude.La perte d’altitude de SPOT est donc de l’ordre de 2,5 m/jour, avant que le satellite ne "s’évapore" éventuellement dans les couches denses de l’atmosphère.