IE2_2006

UNIVERSITE PARIS XI-IFIPS
1ére Année préparatoire 2005-06 23 Mars 2006
Mécanique :Interrogation 2
Durée 1h30
–Les calculettes sont autorisées et les documents sont interdits.
– Respectez les notations de l’énoncé.
– Les exercices sont indépendants
EXERCICE 1 :Fronde-pendule conique
Une pierre de masse m est attachée au point A par un fil inextensible de longueur `.
On la fait tourner autour de l’axe vertical z~ kpassant par A avec une vitesse angulaire
constante ωde telle sorte que son mouvement reste dans un plan horizontal (P)
Soit Rle référentiel terrestre supposé galiléen, et R0le référentiel non galiléen lié à la
pierre et repéré par la base ( ~uρ, ~uθ,~ k). On rappelle que :
~ae=~ω ∧(~ω ∧~ OM)
~ac= 2~ω ∧~vr
1. Pourquoi peut-on dire que le référentiel terrestre est galiléen ? et pourquoi le ré-
férentiel lié à la pierre n’est-il pas galiléen ?
2. (a) Faire le bilan des forces agissant sur la pierre dans R.
(b) Exprimer le vecteur rotation, ~ω, dans le repère ( ~uρ, ~uθ,~ k) et en déduire l’ex-
pression des forces inertielles d’entrainement et de Coriolis en fonction de
ω,`et α.
(c) Finalement représenter l’ensemble de toutes les forces sur un dessin.
1

2
3. Projeter la relation fondamentale de la dynamique ( loi de Newton) dans le repère
(~uρ, ~uθ,~ k) et en déduire que l’angle α, entre la verticale et le fil est donné par la
relation cosα =g
`ω2
4. Pour quelle valeur de ωle fil commence-t-il à s’écarter de la verticale ?
5. Montrer que la pierre ne peut pas s’élever plus haut que le point d’attache A.
6. Quelle est la trajectoire de la pierre si on coupe la corde pendant le mouvement
(justifier la réponse.On pourra s’aider d’un schéma) ?
EXERCICE 2 : Satellite en orbite terrestre
On étudie le mouvement d’un satellite de masse m en orbite autour de la Terre. On
admettra que le mouvement s’effectue dans un plan et que le référentiel d’étude est
galiléen.La Terre est l’origine O du repère des coordonnées polaires (r,θ).On rappelle
l’expression de la vitesse et de l’accélération, ainsi que celle de la force de gravitation
exercée sur le satellite :
~v = ˙r ~ur+r˙ θ ~uθ
~a = (¨r−r˙ θ2)~ur+ (2 ˙r˙ θ+r¨ θ)~uθ
~
F=−GmM
r2~ur
I- Orbite circulaire : Le mouvement se fait suivant une orbite circulaire située à
une distance r du centre de la Terre.
1. La force ~ Fest-elle conservative ?
2. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique et en déduire les équations
différentielles du mouvement.
3. Montrer que le satellite se déplace à une vitesse angulaire constante ω=˙ θque
l’on calculera en fonction de G,M et r.
4. Donner l’expression de la norme v de la vitesse. En déduire l’expression de
l’énergie cinétique du satellite en fonction de G,M et r.
5. Ecrire l’expression de son énergie potentielle, qui sera prise nulle à l’infini.
6. Montrer que l’énergie mécanique du satellite s’écrit
Em=−GmM
2r.(1)
II- Changement d’altitude : On considère le satellite sur une orbite circulaire de
rayon r, mais en réalité il est soumis à une force de frottement fluide ~ f=−α~v,
due à l’atmosphère ténue présente à l’altitude de vol. L’intensité de cette force de
frottement étant faible, la trajectoire peut être assimilée à un cercle durant une
période de rotation. On utilisera donc les expressions obtenues dans la première
partie, avec r qui varie très lentement au cours du temps.
1. La force de frottement est-elle conservative (justifier) ? Ecrire l’expression du
travail élémentaire de cette force, dWf, en fonction uniquement de α,v et de
l’intervalle de temps dt.

3
2. Montrer que pendant le même intervalle de temps l’énergie mécanique varie
de
dEm=2α
mEmdt. (2)
Ecrire alors l’équation différentielle vérifiée par Em
3. En déduire l’expression de l’énergie mécanique Emen fonction du temps , on
notera E0l’énergie à t=0. Exprimer alors la distance r(t), en notant r0sa valeur
à t=0.
4. Répondre brièvement comment varie la vitesse v(t), et commenter cette varia-
tion.
III- Bonus : chute d’un satellite : Un satellite du type SPOT,de masse 2 tonnes, orbite à
une altitude de l’ordre de 820 km. Le rayon terrestre est 6400 km. Le coefficient de
frottement est α'3.10−4Nm−1s. Combien de temps lui faudra-t-il pour s’écraser
sur Terre ?
En réalité,la force de frottement, ou traînée, est fonction de v2et le coefficient αdépend de
la densité atmosphérique donc de l’altitude.La perte d’altitude de SPOT est donc de l’ordre
de 2,5 m/jour, avant que le satellite ne "s’évapore" éventuellement dans les couches denses
de l’atmosphère.