Division - Vandymath

Chapitre 1. Division ( Rappel Sixième)
I.Division euclidienne.
Définition: une division euclidienne permet d'obtenir le quotient entier et le reste entier de deux nombres
entiers.
Présentation avec les soustractions posées Présentation sans les soustractions posées
456 = 7 × 65 + 1
62146 = 8 × 7768 + 2
Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur.
Dans la division euclidienne de 62146 par 8, tous les restes intermédiaires (6, 5, 6 et 2) sont bien tous
strictement inférieurs à 8.
Il y a autant de restes intermédiaires à gauche de la barre de division que de chiffres qui apparaissent au
quotient.
Dans la division de 456 par 7, il y a 2 restes intermédiaires: 3 et 1.
Il y a 2 chiffres au quotient: 6 et 5.
Dans la division de 62146 par 8, il y a 4 restes intermédiaires: 6, 5, 6 et 2.
Il y a 4 chiffres au quotient: 7, 7, 6 et 8.
II.Critères de divisibilité
1) Vocabulaire
Définition: les multiples d'un nombre entier sont les produits de ce nombre entier par un autre nombre entier.
exemple 1:
0, 11, 22, 33 sont des multiples de 11.
exemple 2:
De même 72 est un multiple de 8.
On dira aussi que 8 est un diviseur de 72.
On pourra dire également que 8 divise 72.
Les mots multiples et diviseur ne sont utilisés que pour les nombres entiers.
remarque 1:
21 est un multiple de 3.
Le reste de la division euclidienne de 21 par 3 est égal à 0.
21 est divisible par 3. 3 est un diviseur de 21.
6 5 4 7
5 6
2 4 - 6 3 5 3 - 1
6 5 4 7
5 6
6 3 1
6 4 1 2 6 8
8 6 7 7
1 6 4 5 6 6 2
6 4 1 2 6 8
8 6 7 7
6 5 - 1 6 6 5 - 4 5 8 4 - 6 6 4 6 - 2
quotient
diviseur
reste
Dividende

2) Critères de divisibilité
On ne parle de critère de divisibilité que pour les nombres entiers
(i) Critère de divisibilité par 2
Un nombre entier est divisible par 2 lorsqu'il est pair
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8.
(ii) Critère de divisibilité par 4.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres de son écriture sont:
00 04 08 12 16 20 24 28 32 36
40 44 48 52 56 60 64 68 72 76
80 84 88 92 96
(iii) Critère de divisibilité par 5
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
(iv) Critère de divisibilité par 3
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est
divisible par 3.
(v) Critère de divisibilité par 9
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est
divisible par 9.
Dans le cadre du socle commun, les critères de divisibilité par 3, 4 et 9 ne sont pas exigibles.
III.Division décimale
Le travail se conçoit essentiellement dans le cadre de la résolution de problèmes.
Les nombres utilisés dans un calcul posé doivent être de taille raisonnable: dividende à 4 chiffres maximum, diviseur à 3 chiffres
maximum
Lorsque l'on veut trouver la valeur décimale exacte (si elle existe) ou une valeur approchée du quotient de deux
nombres décimaux, on peut effectuer une division décimale.
exemple 1:
Le dernier reste trouvé est 0.
Le quotient de 621 par 4 est donc 155,25. C'est une valeur exacte. 621 : 4 = 155,25
Ici, on ne parvient pas à trouver un reste égal à 0. 41,33 est donc une valeur approchée du quotient de 124 par 3.
124 : 3 % 41,33. 41,33 est une valeur approchée du quotient de 124 par 3.
0 0 1, 2 6 4
5 2 5, 5 1
4 - 2 2 0 2 - 1 2 0 2 - 0 1 8 - 0 2 0 2 - 0
0 0 1, 2 6 4
5 2 5, 5 1
2 2 1 2 0 1 0 2 0
0 0 0 4, 2 1 3
3 3 3 1, 4
2 1 - 4 0 3 - 0 1 9 - 0 1 9 - 0 1 9 - 1
0 0 0 4, 2 1 3
3 3 3 1, 4
4 0 0 1 0 1 0 1 1