Division - Vandymath

Chapitre 1. Division ( Rappel Sixième)
I.Division euclidienne.
Définition: une division euclidienne permet d'obtenir le quotient entier et le reste entier de deux nombres
entiers.
Présentation avec les soustractions posées
Présentation sans les soustractions posées
-
4 5 6
4 2
3 6
- 3 5
1
7
Dividende
diviseur
4 5 6
3 6
1
6 5
7
6 5
quotient
reste
456 = 7 × 65 + 1
6 2 1 4 6
5 6
6 1
- 5 6
5 4
- 4 8
6 6
- 6 4
2
62146 = 8 × 7768 + 2
8
-
7 7 6 8
6 2 1 4 6
6 1
5 4
6 6
2
8
7 7 6 8
Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur.
Dans la division euclidienne de 62146 par 8, tous les restes intermédiaires (6, 5, 6 et 2) sont bien tous
strictement inférieurs à 8.
Il y a autant de restes intermédiaires à gauche de la barre de division que de chiffres qui apparaissent au
quotient.
Dans la division de 456 par 7, il y a 2 restes intermédiaires: 3 et 1.
Il y a 2 chiffres au quotient: 6 et 5.
Dans la division de 62146 par 8, il y a 4 restes intermédiaires: 6, 5, 6 et 2.
Il y a 4 chiffres au quotient: 7, 7, 6 et 8.
II.Critères de divisibilité
1) Vocabulaire
Définition: les multiples d'un nombre entier sont les produits de ce nombre entier par un autre nombre entier.
exemple 1:
0, 11, 22, 33 sont des multiples de 11.
exemple 2:
De même 72 est un multiple de 8.
On dira aussi que 8 est un diviseur de 72.
On pourra dire également que 8 divise 72.
Les mots multiples et diviseur ne sont utilisés que pour les nombres entiers.
remarque 1:
21 est un multiple de 3.
Le reste de la division euclidienne de 21 par 3 est égal à 0.
21 est divisible par 3. 3 est un diviseur de 21.
2) Critères de divisibilité
On ne parle de critère de divisibilité que pour les nombres entiers
(i)
Critère de divisibilité par 2
Un nombre entier est divisible par 2 lorsqu'il est pair
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8.
(ii)
Critère de divisibilité par 4.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres de son écriture sont:
00
04
08
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
84
88
92
96
(iii)
Critère de divisibilité par 5
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
(iv)
Critère de divisibilité par 3
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est
divisible par 3.
(v)
Critère de divisibilité par 9
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est
divisible par 9.
Dans le cadre du socle commun, les critères de divisibilité par 3, 4 et 9 ne sont pas exigibles.
III.Division décimale
Le travail se conçoit essentiellement dans le cadre de la résolution de problèmes.
Les nombres utilisés dans un calcul posé doivent être de taille raisonnable: dividende à 4 chiffres maximum, diviseur à 3 chiffres
maximum
Lorsque l'on veut trouver la valeur décimale exacte (si elle existe) ou une valeur approchée du quotient de deux
nombres décimaux, on peut effectuer une division décimale.
exemple 1:
6 2 1, 0 0
4
6 2 1, 0 0
4
- 4
2 2
2 2
1 5 5, 2 5
2 1
1 5 5, 2 5
- 2 0
1 0
2 1
2 0
- 2 0
0
1 0
8
2 0
- 2 0
0
Le dernier reste trouvé est 0.
Le quotient de 621 par 4 est donc 155,25. C'est une valeur exacte.
621 : 4 = 155,25
1 2 4, 0 0 0
3
1 2 4, 0 0 0
3
1 2
0 4
0 4
4 1, 3 3 3
1 0
4 1, 3 3 3
3
1 0
1 0
1 0
9
1
1 0
9
1 0
9
1
Ici, on ne parvient pas à trouver un reste égal à 0. 41,33 est donc une valeur approchée du quotient de 124 par 3.
124 : 3 % 41,33.
41,33 est une valeur approchée du quotient de 124 par 3.
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