Intégration - BCPST Hoche

Chapitre 16
Intégration
La partie intégration est divisée en deux la partie théorique (ce chapitre), et la
partie calcul d’intégrales.
– Définition d’une primitive d’une fonction continue.
– Lien entre primitive et intégrale.
– Connaître les définitions et les propriétés des intégrales.
– Savoir intégrer les fonctions usuelles.
– Connaître les définitions des intégrales de Riemman (rectangles à droite, à
gauche, point milieu, trapèze).
– Application des intégrales de Riemman au calcul des sommes.
– Inégalité de la moyenne et de la valeur absolue.
– Exercices classiques : étude d’une suite d’intégrale, fonction définie par une
intégrale.
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I Primitives d’une fonction continue sur un intervalle
I.1 Introduction
Définition 1. Soit Iun intervalle de R, et fune fonction définie sur I. On appelle primitive de
fsur Itoute fonction Fdérivable sur Itelle que :
F′=f, i.e. ∀x∈I, F ′(x) = f(x)
Note: Si fest continue, Fest alors automatiquement C1.
On ne parle jamais de la primitive de fmais de une primitive de f. Puisque il y a une infinité de
primitive.
Attention aussi : les primitives n’existent que sur des intervalles. Il n’y a pas de primitives sur des
ensembles comme R∗.
1

CHAPITRE 16. INTÉGRATION 2
Exemple: Soit
f:
R∗→R
x7→ 
1 si x > 0
−1 sinon
,
alors
g:(R∗
+→R
x7→ x,
est une primitive sur R∗
+, tandis que
h:(R∗
+→R
x7→ −x−5,
est une primitive sur R∗
−.
Comme la dérivée est une application linéaire, on trouve facilement.
Proposition 1. Soit fet gadmettant pour primitive Fet Get soit λ∈R. Alors F+λG est une
primitive de f+λg.
Démonstration.
(F+λG)′=f+λg.
Proposition 2. Si fest une fonction continue sur I, alors fadmet des primitives sur I.
Démonstration. Cette proposition est admise, conformément au programme.
Proposition 3. Si fest continue sur I, alors elle admet une infinité de primitive.
Plus précisément, en notant Fl’une des primitives de f, on a :
– toute primitive Gde fsur Ivérifie :
∃c∈R,∀x∈I, G(x) = F(x) + c.
– réciproquement, ∀c∈R, la fonction F+cest une primitive de fsur I.
Démonstration. On note Fune primitive de f, alors on a ∀c∈R, (F+c)′=F′=f. Ainsi, F+cest
une primitive de f.
Réciproquement, soit Gtelle que ∀x∈I,G′(x) = f(x) = F′(x). On a alors (G−F)′= 0, comme
Iest un intervalle, on obtient alors ∃c∈R, G −F=c.
Remarque: Remarquez que le fait que Isoit un intervalle joue un rôle central dans la démons-
tration.
On peut lire la proposition d’une manière différente :
Proposition 4. Soit une fonction fqui admet sur un intervalle Iune primitive, et soit x0un point
de I, et y0∈Ralors il existe une unique primitive de fdont la valeur en x0soit y.
En particulier, il existe un unique primitive qui s’annule en x0.

CHAPITRE 16. INTÉGRATION 3
Démonstration. Soit Fune primitive de f.
Unicité : Si Get G′sont solutions, on sait alors que ∃c∈R, G =G′+c. En regardant la valeur
en x0, on a c= 0.
Analyse : Si Gest solution alors ∃c∈R, G =F+c. en regardant la valeur en x0, il vient :
c=y0−F(a).
Synthèse : Soit donc G=F+y0−F(a), alors Gest une primitive de f(puisque égale à Fplus
une constante), qui vérifie bien G(a) = y0.
I.2 Tableau des primitives des fonctions usuelles
Le tableau 16.1 donne le tableau des primtives usuelles.
I f(x)F(x) avec :
xaxa+1
a+ 1 a∈R\ {−1}
R∗
+ou R∗
−1
xln |x|
R∗
+ln x x ln x−x
Reax eax
aa∈C∗
Raxax
ln aa > 0 et a6= 1
Rsin(ax)−cos ax
aa∈R∗
Rcos(ax)sin ax
aa∈R∗
−π
2,π 21 cos2x= 1 + tan2xtan x
R1
1 + x2arctan x
[−1,1] 1
√1−x2arcsin xou −arccos x
Table 16.1 – Tableau des primitives des fonctions usuelles

CHAPITRE 16. INTÉGRATION 4
II Cas d’une fonction continue sur un segment : intégrale
II.1 Définition de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment
À la suite de la proposition précédente, on obtient :
Proposition 5. Soit fune fonction continue sur un intervalle I,aet bdeux éléments de I. De
sorte que [a, b](ou [b, a]) est un segment de R, sur lequel la fonction fest continue. Soit Fl’une des
primitives de fsur I.
Alors la quantité F(b)−F(a)ne dépend pas de la primitive choisie F. On appelle alors cette
quantité, l’intégrale de fde aàb,on la note :
Zb
a
f=Zb
a
f(x)dx = [F(t)]b
a=F(b)−F(a).
Note: Dans cette écriture la variable xest muette. L’écriture : Rb
af(x) est à éviter : soit on ne met pas la
variable, soit on met dx.
Démonstration. Il faut prouver que si Gest une autre primitive G(b)−G(a) = F(b)−F(a). On sait
que ∃c∈R, F =G+c, ainsi : G(b)−G(a) = F(b) + c−F(a)−c.
Remarque: On obtient immédiatement Zb
a
f(t)dt =−Za
b
f(t)dt, ainsi en pratique, on utilise
donc plutôt la notation dans le cas a < b.
On voit aussi que : Za
a
f= 0.
On utilise souvent la notation : Zf(t)dt, sans préciser l’intervalle pour désigner une primitive de
f.
II.2 Intégrale et primitive
Le théorème suivant donne le lien entre primitive et intégrale : on obtient une primitive de fen
l’intégrant entre aet un paramètre x.
Proposition 6. Soit Iun intervalle de R, et fune fonction continue sur I. Alors l’unique primitive
de fqui s’annule au point a∈Iest :
F:x7→ Zx
a
f(t)dt
Démonstration. Soit Gune primitive de f, alors on a : F(x) = G(x)−G(a)
|{z }
c∈R
. Ainsi Fest égale à une
primitive plus une constante, c’est donc une primitive.
D’autre part, Fest clairement nulle en a, c’est donc l’unique primitive nulle en a.
Exemple: Le logarithme népérien est l’unique primitive nulle en 1 de la fonction x7→ 1
x.
Note: Les primitives du type :
x7→ Zx
a
f(t)dt
sont celles qui s’annulent une fois en a, il peut exister des primitives de fqui ne s’annulent pas, donc qui ne
s’écrivent pas sous la forme : Zx
a
f(t)dt.

CHAPITRE 16. INTÉGRATION 5
Proposition 7. Si fest une fonction continue sur I, alors l’unique primitive de fqui vaut y0en x0
est
x7→ y0+Zx
x0
f(t)dt
Démonstration. On a vu dans la proposition 4 que cette intégrale était unique (et existait), donc il
suffit de vérifier que cette fonction convient, ce qui est évident puisque c’est une primitive tel que
F(x0) = y0.
Note: Dans les exercices, il est important de toujours se ramener au case de « l’intégrale haute » c’est-à-dire
le cas où la borne du bas est fixe et celle du haut est x, c’est le seul cas, où on a le résultat que x7−→ Rx
af(t)dt
est une primitive de f.
II.3 Propriétés
On liste dans cette section les propriétés des intégrales. Soit fet gdeux fonctions continues sur
I,a,bet ctrois éléments de I, et λ∈R.
⋆Relation de Chasles
Zb
a
f=Zc
a
f+Zb
c
f
Démonstration.
Zb
a
f=F(b)−F(a)
=F(c)−F(a) + F(b)−F(c)
=Zc
a
f+Zb
c
f
⋆Linéarité
Zb
a
(λf +g) = λZb
a
f+Zb
a
g
Démonstration. On a vu que F+λG est une primitive de f+λg. On a alors :
Zb
a
(λf +g) = F(b) + λG(b)−(F(a) + λG(a))
=F(b)−F(a) + λ(G(b)−G(a))
=λZb
a
f+Zb
a
g