Diviseurs Communs, PGCD - cours

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Chapitre 9 Diviseurs Communs, PGCD
I. Diviseurs
1) Division euclidienne
Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q et le reste r
tels que: a = b x q+r et 0 ≤ r < b
Exemple
division euclidienne de 249 par 22 a la main :
2) Diviseurs et multiples
Définition :
Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, c’est
à dire lorsque le quotient de a par b est un nombre entier.
On dit aussi que b est un diviseur de a.
Exemples :
 27 est divisible par 9 car ..........................................................................................................................
 143 est-il divisible par 11 ? ......................................................................................................................
 71 est-il divisible par 4 ?.........................................................................................................................
 Citer tous les diviseurs de 14 : .................................................................................................................
 Citer tous les diviseurs de 36 : .................................................................................................................
3) Critères de divisibilité
 Un nombre entier est divisible par 2, si son chiffre des unités est pair.
Exemples :
…………………………………………………………………………………………………………………...
 Un nombre entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemples :
…………………………………………………………………………………………………………………...
 Un nombre entier est divisible par 10, si son chiffre des unités est 0.
Exemples :
…………………………………………………………………………………………………………………...
 Un nombre entier est divisible par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples :
…………………………………………………………………………………………………………………...
 Un nombre entier est divisible par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
…………………………………………………………………………………………………………………...
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................

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II. Diviseurs Communs à deux nombres entiers
 les diviseurs de 12 sont : ………………………………………………….
 les diviseurs de 18 sont : ………………………………………………….
Définition :
Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b
Alors les diviseurs communs à 12 et 18 sont : …………………………………..
III. PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
Propriété :
Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On l'appelle le Plus Grand
Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Donc : PGCD(12; 18) = …6…
Exemples :
Trouver le PGCD (56; 72)
Diviseurs de 56: …………………………………..
Diviseurs de72: …………………………………...
Diviseurs communs à 56 et à 72: ………………..
Donc PGCD (56; 72) =…8…
Trouver le PGCD (15; 16)
Diviseurs de 15 : …………………………………..
Diviseurs de 16 : …………………………………..
Diviseurs communs à 15 et à 16 : ………………
Donc PGCD (15; 16) = ……
IV. Nombres premiers
Définition :
On dit que deux nombres sont …………………………. quand ils ont pour unique diviseur commun …
Cela revient à dire que leur PGCD est …
Exemple :
 Les diviseurs de 15 sont :…………………………………………………………
 Les diviseurs de 22 sont : …………………………………………………………
L’unique diviseur commun à ces deux nombres est … Donc PGCD ( 15 ;22) = … ,
Ils sont donc premiers entre eux.
Exercice n°1
1) Entourer dans cette liste les diviseurs de 21 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
2) Entourer dans cette liste les diviseurs de 27 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
3) Quels sont les diviseurs communs à 21 et 27 ? ……………………………………………………….
4) Quel est le PGCD de 21 et 27 ? PGCD ( ; ) = …
Exercice n°2
1) Entourer dans cette liste les diviseurs de 30.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2) Entourer dans cette liste les diviseurs de 45.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
3) Quels sont les diviseurs communs à 30 et 45 ? ……………………………………………………….
4) Quel est le PGCD de 30 et 45 ? PGCD ( ; ) = …

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Exercice n°3
a. Écrire la liste des diviseurs de 42 dans l’ordre
croissant :
……………………………………………………
b. Écrire la liste des diviseurs de 63 dans l’ordre
croissant :
……………………………………………………
c. Quels sont les diviseurs communs à 42 et 63 ?
……………………………………………………
d. Quel est le PGCD de 42 et 63 ?
……………………………………………………
Exercice n°4
a. Écrire la liste des diviseurs de 28 dans l’ordre
croissant :
……………………………………………………
b. Écrire la liste des diviseurs de 39 dans l’ordre
croissant :
……………………………………………………
c. Quels sont les diviseurs communs à 28 et 39 ?
……………………………………………………
d. Quel est le PGCD de 28 et 39 ?
……………………………………………………
V. Méthode pour déterminer le PGCD
1) Algorithme des différences
Propriété :
a et b (avec b < a ) ont les mêmes diviseurs communs que a - b
PGCD (a ; b) = PGCD( b ; a – b)
Applications
En utilisant la propriété précédente et le
tableau suivant trouver le PGCD (192 ; 120)
Donc PGCD (192 ; 120 ) = ……….
En utilisant la propriété précédente et le tableau
suivant trouver le PGCD (1512 ; 1288)
Donc PGCD ( 1512 ;1288 ) = ……………
2) Algorithme d’Euclide
Notre objectif est de déterminer le PGCD de 1 053 et 325.
On peut présenter ces résultats sous forme d’un tableau :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
1 053
325
1 053 – 325  3 = 78 (1ÈRE ETAPE)
2
325 – 78  4 = 13 (2ÈME ETAPE)
3
78 – 13  6 = 0 (3ÈME ETAPE)
Conclusion : PGCD (1 053 ; 325) = PGCD (325 ; 78) = PGCD (78 ; 13) = ………..
Cette suite d’opérations s’appelle Algorithme d’Euclide et permet de retrouver le PGCD de deux « grands » nombres
en se ramenant à des nombres plus petits. Le PGCD est toujours le dernier reste non nul trouvé.*
a
b
a – b
192
120
120
72
48
24
a
b
a – b
1512
1288
224

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Exercice n°1
Déterminer le PGCD de 165 et 66 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
165
66
2
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°2
Déterminer le PGCD de 165 et 154 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
165
154
2
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°3
Déterminer le PGCD de 210 et 60 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
210
60
2
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°4
Déterminer le PGCD de 105 et 70 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
105
70
2
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°5
Déterminer le PGCD de 1 995 et 342 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
2
3
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°6
Déterminer le PGCD de 1 631 et 932 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
2
3
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°7
Déterminer le PGCD de 520 et 336 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
2
3
4
5
6
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°8
Déterminer le PGCD de 9 569 et 7 070 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Donc PGCD ( ; ) = ………...
Exercice n°9
Déterminer le PGCD de 1 432 et 587 :
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Donc PGCD ( ; ) = ………...