Diviseurs Communs, PGCD - cours
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Chapitre 9 I. Diviseurs Communs, PGCD Diviseurs 1) Division euclidienne Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q et le reste r tels que: a = b x q+r et 0 ≤ r < b Exemple division euclidienne de 249 par 22 a la main : ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 2) Diviseurs et multiples Définition : Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, c’est à dire lorsque le quotient de a par b est un nombre entier. On dit aussi que b est un diviseur de a. Exemples : 27 est divisible par 9 car .......................................................................................................................... 143 est-il divisible par 11 ? ...................................................................................................................... 71 est-il divisible par 4 ?......................................................................................................................... Citer tous les diviseurs de 14 : ................................................................................................................. Citer tous les diviseurs de 36 : ................................................................................................................. 3) Critères de divisibilité Un nombre entier est divisible par 2, si son chiffre des unités est pair. Exemples : …………………………………………………………………………………………………………………... Un nombre entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5. Exemples : …………………………………………………………………………………………………………………... Un nombre entier est divisible par 10, si son chiffre des unités est 0. Exemples : …………………………………………………………………………………………………………………... Un nombre entier est divisible par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemples : …………………………………………………………………………………………………………………... Un nombre entier est divisible par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : …………………………………………………………………………………………………………………... Page n°1 www.Cours-maths.fr II. Diviseurs Communs à deux nombres entiers les diviseurs de 12 sont : …………………………………………………. les diviseurs de 18 sont : …………………………………………………. Définition : Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b Alors les diviseurs communs à 12 et 18 sont : ………………………………….. III. PGCD : Plus Grand Commun Diviseur Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b). Donc : PGCD(12; 18) = …6… Exemples : Trouver le PGCD (56; 72) Diviseurs de 56: ………………………………….. Diviseurs de72: …………………………………... Diviseurs communs à 56 et à 72: ……………….. Donc PGCD (56; 72) =…8… IV. Trouver le PGCD (15; 16) Diviseurs de 15 : ………………………………….. Diviseurs de 16 : ………………………………….. Diviseurs communs à 15 et à 16 : ……………… Donc PGCD (15; 16) = …… Nombres premiers Définition : On dit que deux nombres sont …………………………. quand ils ont pour unique diviseur commun … Cela revient à dire que leur PGCD est … Exemple : Les diviseurs de 15 sont :………………………………………………………… Les diviseurs de 22 sont : ………………………………………………………… L’unique diviseur commun à ces deux nombres est … Donc PGCD ( 15 ;22) = … , Ils sont donc premiers entre eux. Exercice n°1 1) Entourer dans cette liste les diviseurs de 21 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2) Entourer dans cette liste les diviseurs de 27 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 3) Quels sont les diviseurs communs à 21 et 27 ? ………………………………………………………. 4) Quel est le PGCD de 21 et 27 ? PGCD ( ; )=… Exercice n°2 1) Entourer dans cette liste les diviseurs de 30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2) Entourer dans cette liste les diviseurs de 45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3) Quels sont les diviseurs communs à 30 et 45 ? ………………………………………………………. 4) Quel est le PGCD de 30 et 45 ? PGCD ( ; )=… Page n°2 www.Cours-maths.fr Exercice n°3 a. Écrire la liste des diviseurs de 42 dans l’ordre croissant : …………………………………………………… b. Écrire la liste des diviseurs de 63 dans l’ordre croissant : …………………………………………………… c. Quels sont les diviseurs communs à 42 et 63 ? …………………………………………………… d. Quel est le PGCD de 42 et 63 ? …………………………………………………… V. Exercice n°4 a. Écrire la liste des diviseurs de 28 dans l’ordre croissant : …………………………………………………… b. Écrire la liste des diviseurs de 39 dans l’ordre croissant : …………………………………………………… c. Quels sont les diviseurs communs à 28 et 39 ? …………………………………………………… d. Quel est le PGCD de 28 et 39 ? …………………………………………………… Méthode pour déterminer le PGCD 1) Algorithme des différences Propriété : a et b (avec b < a ) ont les mêmes diviseurs communs que a - b PGCD (a ; b) = PGCD( b ; a – b) Applications En utilisant la propriété précédente et le En utilisant la propriété précédente et le tableau tableau suivant trouver le PGCD (192 ; 120) suivant trouver le PGCD (1512 ; 1288) a b a–b a b a–b 1512 1288 224 192 120 120 72 48 24 Donc PGCD (192 ; 120 ) = ………. Donc PGCD ( 1512 ;1288 ) = …………… 2) Algorithme d’Euclide Notre objectif est de déterminer le PGCD de 1 053 et 325. On peut présenter ces résultats sous forme d’un tableau : Étapes a b 1 1 053 325 a – bq = r r 1 053 – 325 3 = 78 (1ÈRE ETAPE) 2 325 – 78 4 = 13 (2ÈME ETAPE) 3 78 – 13 6 = 0 (3ÈME ETAPE) Conclusion : PGCD (1 053 ; 325) = PGCD (325 ; 78) = PGCD (78 ; 13) = ……….. Cette suite d’opérations s’appelle Algorithme d’Euclide et permet de retrouver le PGCD de deux « grands » nombres en se ramenant à des nombres plus petits. Le PGCD est toujours le dernier reste non nul trouvé.* Page n°3 www.Cours-maths.fr Exercice n°1 Exercice n°7 Déterminer le PGCD de 165 et 66 : Étapes a b 1 165 66 Donc a – bq = r r 2 Déterminer le PGCD de 520 et 336 : 1 165 154 a – bq = r r 2 3 4 5 6 ; ) = ………... Déterminer le PGCD de 165 et 154 : b b 1 Exercice n°2 a a PGCD ( Étapes Étapes a – bq = r r Donc 2 PGCD ( ; ) = ………... Exercice n°8 Déterminer le PGCD de 9 569 et 7 070 : Donc PGCD ( ; ) = ………... Exercice n°3 a b 1 210 60 Donc 3 4 5 6 7 8 9 Donc PGCD ( ; ) = ………... Déterminer le PGCD de 105 et 70 : a b 1 105 70 Donc a – bq = r r 2 PGCD ( ; ) = ………... Exercice n°5 a b a – bq = r r PGCD ( ; Déterminer le PGCD de 1 432 et 587 : a b a – bq = r r 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 Donc PGCD ( ; ) = ………... Exercice n°6 Déterminer le PGCD de 1 631 et 932 : Étapes a b a – bq = r r 1 8 2 9 3 10 Donc Page n°4 PGCD ( ; ) = ………... ) = ………... Exercice n°9 Étapes Déterminer le PGCD de 1 995 et 342 : Étapes a – bq = r r 2 a – bq = r Exercice n°4 Étapes b r 2 a 1 Déterminer le PGCD de 210 et 60 : Étapes Étapes Donc www.Cours-maths.fr PGCD ( ; ) = ………...
