Contrôle Continu du 30 avril 2009

Année 2008-2009
Contrôle Continu du 30 avril 2009
(durée 2 heures)
Epreuve SANS document et SANS calculatrice
Les téléphones portables doivent être éteints.
Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.
Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras.
I. Nombres complexes et trigonométrie
La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les
fonctions sinus et cosinus sous la forme :
!
ei
"
=cos " +isin "
. On en déduit aisément
l’expression de son complexe conjugué
!
e"i
#
=cos # "isin #
.
I.1 Exprimer les fonctions
!
cos "
et
!
sin "
sous forme d’exponentielle complexe
(somme ou différence).
!
cos " =ei
"
+e#i
"
2
et
!
sin " =ei
"
#e#i
"
2i
I.2 Développer
!
cos3 "
sous forme d'exponentielles complexes.
!
cos3 " =1
8(ei3
"
+e#i3
"
+3ei
"
+3e#i
"
)
I.3 En déduire alors l’expression
!
cos 3 "
en fonction de
!
cos "
et de ses puissances.
On obtient
!
cos3 " =1
8(2cos3
" +3x2cos " )
Et donc
!
cos 3 " =4 cos3 " #3cos "
I.4 Vérifier ces résultats en choisissant
!
" = # /6
.
!
cos3
"
6=cos
"
2=0=4( 3 2)3#33 2=0
II. Vecteurs
On considère le plan muni du repère cartésien (O, i, j) où O est le point d’origine. Soit les
points A(3,0), B(1, 1) et C(
!
5
2
,
!
3
2
).
II.1 Dessiner les vecteurs AB et AC et en déduire leurs coordonnées cartésiennes.

!
AB
1-3= -2
1"0=1
et
!
AC
5
2
-3= - 1
2
3
2"0=3 2
II.2 Rappeler la définition générale du produit scalaire entre deux vecteurs
quelconques u et v, ainsi que son expression dans le repère cartésien (O, i, j).
!
u.v =u v cos(u,v)=uxvx+uyvy
II.3 Calculer alors le produit scalaire AB.AC dans le repère cartésien (O, i, j).
!
AB.AC =ABxACx+AByACy=1+3
2=5 2
II.4 En déduire, par le calcul, l’angle α entre AB et AC.
!
AB.AC =5
2=AB AC cos(AB,AC)=510 2cos(AB,AC)=5 2cos(AB,AC)
!
cos(AB,AC)=1
2"(AB,AC)=
#
4
III. Matrice
On considère maintenant le système d’équations linéaires suivant :
!
x+y+z=1
x"y+z=1
x+y"z=1
#
$
%
&
%
III.1 Ecrire ce système sous forme matricielle de la forme MX=B. Quelles sont les
expressions de X et B ?
!
1 1 1
1"1 1
1 1 "1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x
y
z
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
1
1
1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
III.2 Le système est-il régulier, homogène ? Pourquoi ?
!
détM =
1 1 1
1"1 1
1 1 "1
=4
!
détM "0#système régulier
!
B"0#système non homogène
III.3 Existe-t-il une solution ? Si oui, est-elle unique ?

!
système régulier +homogène "solution existe et elle est unique
III.4 La matrice M est-elle inversible ? Pourquoi ? Si elle existe, calculer la matrice
inverse
!
M"1
.
!
détM "0#M inversible
!
M"1=
01
2
1
2
1
2"1 2
0
1
2
0"1
2
#
$
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
III.5 En utilisant
!
M"1
, calculer le vecteur solution X.
!
M"1B=X=
01
2
1
2
1
2"1 2
0
1
2
0"1
2
#
$
%
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
(
1
1
1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
1
0
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
IV. Système linéaire
Soit un système d’équations linéaires dépendant du paramètre k :
!
x"3z="3
2x+ky "z="2
x+2y+kz =1
#
$
%
&
%
IV.1 Déterminer les valeurs du paramètre k pour lesquelles le système ci-dessus a une
solution unique.
!
solution unique "régulier +non homogène "détM #0
!
détM =
10"3
2k"1
1 2 k
=k2"10 +3k#discriminant $=49(72)
!
détM "0#k"2 et k " $5
Solution unique si et seulement si
!
k"2 et k " #5
IV.2 Dans le cas contraire, peut-on dire facilement si le système a une infinité ou pas
de solution ? Attention, on NE demande PAS de calculer cette/ces solutions.
Non car dans le cas d’un système non homogène avec
!
détM =0
les deux cas sont possibles et
ne peuvent être séparés qu’en calculant explicitement ces solutions ce qui n’est PAS
demandé.

V. Etude de fonction et Développements limités
On considère la fonction à une variable réelle suivante :
!
f(x)=(x2+2x+1)e"x
V.1 Etudier et tracer la fonction f(x) (on calculera aussi ses points d’inflexion)
1) Domaine de définition :
!
x" #$,+$
] [
2) Etude de la parité : f(x) quelconque (pas pair, pas impair, pas périodique)
3) Etude des limites :
!
x"#$
lim f(x)= +$ et x"+$ lim f(x)=0
4) Dérivé de la fonction :
!
df
dx =1"x2
[ ]
e"x
et donc
!
df
dx =0 pour x= ±1
5) Existence et position des points d’inflexion :
!
point d inflexion "d2f
dx2=0
!
d2f
dx2=x2"2x"1
[ ]
e"x
et donc
!
d2f
dx2=0 pour x=1±2
6) Tableau des variations de f(x) :
7) Graphe de f(x) :
!

V.2 Rappeler le développement limité (DL) d’une fonction f(x) à l’ordre n au
voisinage de xo. (appelé aussi développement de Taylor de f(x))
!
f(x)=f(xo)+(x"xo)df
dx x=xo
+(x"xo)2
2!
d2f
dx2
x=xo
+....+(x"xo)n
n!
dnf
dxn
x=xo
+xn # (x)
Il faut que les étudiants est au moins vu que ce développement n’est pas « exact » mais
s’arrête à l’ordre n. Il faut donc qu’ils aient mis quelque chose (en fait plusieurs notations sont
possibles) à la fin (où alors un signe ~ à la place du =).
V.3 Calculer le DL à l’ordre 3 de la fonction
!
g(x)=e"x
au voisinage de 0.
!
g(x) ~ 1"x+x2
2"x3 6
V.4 En déduire alors le DL de la fonction
!
f(x)
aussi à l’ordre 3 au voisinage de 0.
!
f(x) ~ 1+x+7
2x2"x3 6
VI. Intégrales et primitives
On se propose de retrouver la surface d’un disque de
rayon R. Pour cela on construit un cercle (voir figure ci-
dessus) se lequel on place un point M de coordonnées
(x, y). On définit un élément de surface
!
dS =y(x)dx
représentée par la zone hachurée et un angle
!
"
partant
de l’axe Oy.
V.1 Exprimer x et y en fonction de R et
!
"
.
!
x=Rsin "
y=Rcos "
#
$
%
V.2 Déterminer l’expression de la dérivée
!
dx
d "
.
!
dx
d "
=Rcos "
En déduire que l’on peut l’écrire sous la forme
!
dx =Rcos " d "
.
V.2 Exprimer alors dS en fonction de R, θ et d θ .
!
dS =ydx =(Rcos " )(Rcos " d " )=R2cos2 " d "
V.3 Intégrer dS de θ = 0 à θ = π /2.
!
dS
0
" / 2
#=R2cos2=R2(1+cos2
$
2)d
$
0
" / 2
#
0
" / 2
#=R2
2
$ +sin2
$
2
%
&
'
(
)
*
0
" / 2
=
" R2
4
V.4 En déduire la surface totale du cercle.
!
Stotale =4dS
0
" / 2
#=
" R2
x
O
θ
dx
y
M