Contrôle Continu du 30 avril 2009

Année 2008-2009
Contrôle Continu du 30 avril 2009
(durée 2 heures)
Epreuve SANS document et SANS calculatrice
Les téléphones portables doivent être éteints.
Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.
Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras.
I.
Nombres complexes et trigonométrie
La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les
fonctions sinus et cosinus sous la forme : e i" = cos" + isin" . On en déduit aisément
l’expression de son complexe conjugué e"i# = cos# " isin # .
" et sin " sous forme d’exponentielle complexe
I.1 Exprimer les fonctions cos!
(somme ou différence).
!
e i" + e#i"
e i" # e#i"
!cos" = !
et sin " =
2
2i
I.2 Développer cos3 " sous forme d'exponentielles complexes.
!
1 i3"
cos3 " = !
(e + e#i3" + 3e i" + 3e#i" )
8
!
I.3 En déduire alors l’expression cos 3" en fonction de cos" et de ses puissances.
!
1
On obtient cos3 " = (2cos 3" + 3x2cos" )
8
!
!
Et donc cos 3" = 4 cos3 " # 3cos "
I.4 Vérifier ces résultats en choisissant " = # /6 .
!
"
"
3
3
! 3 = cos = 0 = 4( ) 3 # 3
cos
=0
6
2
2
2
!
II. Vecteurs
On considère le !
plan muni du repère cartésien (O, i, j) où O est le point d’origine. Soit les
5 3
points A(3,0), B(1, 1) et C( , ).
2 2
II.1 Dessiner les vecteurs AB et AC et en déduire leurs coordonnées cartésiennes.
!!
5
1
-3= 1- 3 = -2
2
AB
et AC 2
3
3
1" 0 = 1
"0 =
2
2
II.2 Rappeler la définition générale du produit scalaire entre deux vecteurs
!
quelconques
u et v, ainsi que son expression dans le repère cartésien (O, i, j).
!
u.v = u v cos(u,v) = ux v x + uy v y
II.3 Calculer alors le produit scalaire AB.AC dans le repère cartésien (O, i, j).
!
AB.AC = ABx ACx + ABy ACy = 1+
3 5
=
2 2
II.4 En déduire, par le calcul, l’angle α entre AB et AC.
5
10
5
AB.AC !
= = AB AC cos(AB,AC) = 5
cos(AB,AC) = cos(AB,AC)
2
2
2
cos(AB,AC) =
!
1
#
" (AB,AC) =
4
2
III. Matrice
On considère maintenant
le système d’équations linéaires suivant :
!
#x + y + z = 1
%
$x " y + z =1
%x + y " z =1
&
III.1 Ecrire ce système sous forme matricielle de la forme MX=B. Quelles sont les
expressions de X et B ?
!
#1 1 1 &# x & #1&
%
(% ( % (
%1 "1 1 (% y ( = %1(
%
(% ( % (
$1 1 "1'$ z ' $1'
III.2 Le système est-il régulier, homogène ? Pourquoi ?
!
1 1 1
détM = 1 "1 1 = 4
1 1 "1
détM " 0 # système régulier
B " 0 # système non homogène
!
III.3 Existe-t-il une solution ? Si oui, est-elle unique ?
!
!
système régulier + homogène " solution existe et elle est unique
III.4 La matrice M est-elle inversible ? Pourquoi ? Si elle existe, calculer la matrice
inverse M"1 .
!
détM " 0 #
#
%0
%1
M"1 = %
%2
%% 1
$2
!
!
M inversible
1
1&
2
2(
(
1
"
0(
2
(
1(
0 " (
2'
III.5 En utilisant M"1 , calculer le vecteur solution X.
!
!
#
%0
%1
M"1B = X = %
%2
%% 1
$2
1
2
1
"
2
0
1&
2 (#1& #1&
(% ( % (
0 (%1( = %0(
(% ( % (
1 ($1' $0'
" (
2'
IV. Système linéaire
Soit un système d’équations
linéaires dépendant du paramètre k :
!
# x " 3z = "3
%
$2x + ky " z = "2
% x + 2y + kz = 1
&
IV.1 Déterminer les valeurs du paramètre k pour lesquelles le système ci-dessus a une
solution unique.
!
!
solution unique " régulier + non homogène " détM # 0
1 0 "3
détM = 2 k "1 = k 2 "10 + 3k # discriminant $ = 49(7 2 )
1 2 k
détM " 0 # k " 2 et k " $5
Solution unique si et seulement si k " 2 et k " #5
!
IV.2 Dans le cas contraire, peut-on dire facilement si le système a une infinité ou pas
!
de solution ? Attention, on NE demande PAS de calculer cette/ces solutions.
!
Non car dans le cas d’un système non homogène avec détM = 0 les deux cas sont possibles et
ne peuvent être séparés qu’en calculant explicitement ces solutions ce qui n’est PAS
demandé.
!
V. Etude de fonction et Développements limités
On considère la fonction à une variable réelle suivante :
f (x) = (x 2 + 2x + 1)e"x
V.1 Etudier et tracer la fonction f(x) (on calculera aussi ses points d’inflexion)
1) Domaine de définition : x " ]#$,+$[
!
2) Etude de la parité : f(x) quelconque (pas pair, pas impair, pas périodique)
3) Etude des limites : lim f (x) = +$ et lim f (x) = 0
x"+$
! x"#$
4) Dérivé de la fonction :
df
df
= [1" x 2 ]e"x et donc
= 0 pour x = ±1
dx
dx
!
d2 f
5) Existence et position des points d’inflexion : point d inflexion " 2 = 0
dx
!
!
d2 f
d2 f
2
"x
et
donc
=
x
"
2x
"1
e
= 0 pour x = 1± 2
[
]
dx 2
dx 2
!
6) Tableau des variations de f(x) :
!
7) Graphe de f(x) :
!
!
V.2 Rappeler le développement limité (DL) d’une fonction f(x) à l’ordre n au
voisinage de xo. (appelé aussi développement de Taylor de f(x))
f (x) = f (x o ) + (x " x o )
df
dx
+
x= x o
(x " x o ) 2 d 2 f
2!
dx 2
+ ....+
x= x o
(x " x o ) n d n f
n!
dx n
+ x n# (x)
x= x o
Il faut que les étudiants est au moins vu que ce développement n’est pas « exact » mais
!
s’arrête à l’ordre n. Il faut donc qu’ils aient mis quelque chose (en fait plusieurs notations sont
possibles) à la fin (où alors un signe ~ à la place du =).
V.3 Calculer le DL à l’ordre 3 de la fonction g(x) = e"x au voisinage de 0.
g(x) ~ 1" x +
x2 x3
"
2
6
!
V.4 En déduire alors le DL de la fonction f (x) aussi à l’ordre 3 au voisinage de 0.
!
f (x) ~ 1+ x +
VI. Intégrales et primitives
!
!
!
On se propose de retrouver
! la surface d’un disque de
rayon R. Pour cela on construit un cercle (voir figure cidessus) se lequel on place un point M de coordonnées
(x, y). On définit un élément de surface dS = y(x)dx
représentée par la zone hachurée et un angle " partant
de l’axe Oy.
V.1 Exprimer x et y en fonction de R et " .
# x = Rsin "!
!
$
% y = Rcos "
dx
!
V.2 Déterminer l’expression de la dérivée
.
d"
dx
= Rcos"
!
d"
En déduire que l’on peut l’écrire sous la forme
!
dx = Rcos"d" .
V.2 Exprimer alors dS en fonction de R, θ et dθ.
!
dS = ydx = (Rcos" )(Rcos"d" ) = R 2 cos2 "d"
V.3 Intégrer dS de θ = 0 à θ = π/2.
" /2
" /2
" /2
" /2
1+ cos2$
R 2 % sin2$ (
"R 2
2
2
2
dS
=
R
cos
=
R
(
)d
$
=
$
+
=
#
#
#
2
2 '&
2 *)0
4
0
0
0
V.4 En déduire la surface totale du cercle.
" /2
!
Stotale = 4
# dS = "R
0
!
7 2 x3
x "
2
6
2
M
y
θ
O
x dx