Chapitre 3 – Dérivées et Primitives

Cours de Mathématiques – Classe de Terminale STI - Chapitre 3 : Dérivées et Primitives
Chapitre 3 – Dérivées et Primitives
A) Rappels de première et compléments
1) Dérivées usuelles
Fonction définie sur
Fonction f(x) =
Dérivée f’(x) =
Dérivée définie sur
ℝ
k
0
ℝ
ℝ
ax+b
a
a xn
n a xn-1
ℝ
ℝ
ℝ
*
a
x
−a
2
x
ℝ = ℝ \ {0}
ℝ = ℝ \ {0}
*
a
xn
−n a
x n+1
ℝ = ℝ \ {0}
[ 0 ; +∞]
a√x
ℝ
ℝ
a sin( x )
a cos( x )
a cos( x )
−a sin( x )
ℝ+*
a ln (x )
a
x
ℝ
ae
ℝ = ℝ \ {0}
*
*
a
] 0 ;+∞ ]
2√x
x
ae
ℝ
ℝ
*
ℝ = ℝ \ {0}
x
ℝ
Remarques :
. Si on admet n réel quelconque, la 3ème ligne du tableau sert pour trouver les six premières lignes !
1
1
−n
Il faut pour cela savoir que x = n et que x 2 = x .
x
. ln(x) est le logarithme népérien de x et ex est l'exponentielle de x (voir chapitres suivants).
Exemples :
Calculer les dérivées de : a). f  x = x 5
b) f  x =
1
x4
c) f  x =
1
x
2) Opérations sur les dérivées
Opération
Formule de la dérivée
uv
u 'v '
ku
ku'
uv
u ' vuv '
1
v
−v '
v2
u
v
u' v – uv '
2
v
n
u , pour tout n∈ℝ
nu' u
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n−1
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Exemples :Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1
2
f ( x )=cos(2 x−1)
. f  x = x  cos x 
x
1
f ( x )=
. f  x = x 3 sin x 
2 x−1
cos ( x)
x+ 2
f ( x )=
. f ( x )= 2
3 x+ 1
x +1
3) Dérivation d’une fonction composée
Théorème :
(u(v(x)))’ = v’(x) u’(v(x))
Remarques :
. Cette formule permet de trouver la dérivée (u(ax + b))' = a u’(a x + b) en posant v = a x + b.
. De même pour (un)’ = n u’(x) un - 1 (x)
Exemples :
Calculer la dérivée de :
f ( x )= √ sin( x )
f ( x )= √ 3 x 2 – 2x + 3
4) Dérivées et tangentes
On appelle tangente en x0 à la courbe représentative d’une fonction f la droite passant par le point
(x0 ; f(x0)) et de coefficient directeur (pente) le nombre dérivé f’(x0).
Théorème 1
Soit f dérivable en x0. la courbe de f admet alors en x0 une tangente d’équation :
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
En effet, cette droite passe visiblement par (x 0 ; f(x0)) et sa pente (coefficient directeur) est bien
f’(x0) !
Exemples :
Calculer l'équation de la tangente à la courbe de f(x) en x = a
x2
a) f ( x )=
avec a = 2
(réponse : y = x - 1)
4
b) f ( x )=3 √ x −1 avec a = 9
c) f ( x )=cos (2 x ) avec a = π/12
5) Lien avec le tableau de variation
Théorème 2
Soit f une fonction dérivable sur I ⊂ℝ .
Si ∀ x ∈ I , f '  x0 , alors f est strictement croissante sur I.
Si ∀ x ∈ I , f '  x0 , alors f est strictement décroissante sur I.
Conséquence
L’étude du signe de la dérivée permet de déterminer le tableau de variation d’une fonction.
Exemple :
Faire le tableau de variation de la fonction :
2 x+ 1
1
2
a) f  x =3 x – 5 x 
b) f ( x )=
x
x−3
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c) f ( x )=
x −2
x −2 x+ 3
2
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6) Dérivées successives
Soit f dérivable sur I et f' sa dérivée. Si f' est dérivable sur I, on nomme f'' sa dérivée et on l’appelle
d2 f
dérivée seconde de f. On la note aussi
2 .
dx
3
d f
Si f'' est dérivable, on nomme f''' sa dérivée, dérivée troisième de f, notée aussi f(3) ou
3 .
dx
dn f
Ensuite, la dérivée nième sera notée f(n) ou
.
d xn
(Ne pas confondre fn, puissance nième de f, et f(n), dérivée de niveau n de f).
Exemples :
Calculer f’, f'' et f(3) pour :
3
f  x = x  x
1
2
f ( x )= x + 2+
x
f  x =sin  x 
Particularité des polynômes :
Les dérivées d'un polynôme de degré n sont toutes nulles à partir de f(n+1)(x).
Exemple :
Calculer toutes les dérivées de f(x) = x4 – 3 x² + 5 x – 3.
B) Les Primitives
1) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ .
On appelle primitive F de f sur I, toute fonction dont la dérivée sur I est f.
2) Vérification
Pour vérifier qu’une fonction F(x) est une primitive de f(x), il suffit de dériver F(x) et de vérifier
que l’on trouve bien f(x).
Exemples
Vérifier que F(x) = 5 x² – 2 x + 17 est bien une primitive de f(x) = 10 x - 2.
3) Théorèmes
a) Existence d’une primitive (théorème admis)
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I = ]a ; b[ .
Alors, f admet des primitives sur I.
b) Relation entre les primitives
Soit f une fonction définie sur I ⊂ ℝ et F0(x) une fonction primitive de f sur I.
Alors, l’ensemble des fonctions primitives de f sur I sera l’ensemble des fonctions de la forme
F x=F0 xc avec c constante : c ∈ ℝ .
On appelle cette expression la forme générale des primitives de f .
En effet, si F(x) = F0(x) + c, on aura F’(x) = F0’(x) + 0 = F0’(x) = f(x).
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Réciproquement si F’(x) = f(x), on aura, en posant G(x) = F(x) – F0(x) :
G’(x) = F’(x) – F0’(x) = f(x) – f(x) = 0 donc G est une primitive de la fonction nulle, et seules les
constantes ont une dérivée nulle. G(x) est donc une constante.
C) Recherche des primitives d’une fonction
1) En inversant le tableau des dérivées usuelles, on obtient :
Fonction définie
sur
Fonction f(x) =
Primitive F(x) =
Primitive définie
sur
ℝ
0
c
ℝ
ℝ
a≠0
ax+c
ℝ
ℝ
a xn
ℝ = ℝ \ {0}
1
x2
*
a
1
, n>1
xn
*
ℝ = ℝ \ {0}
x n+1
+c
n+1
ℝ
−1
+c
x
ℝ = ℝ \ {0}
−1
+c
( n−1) x n−1
ℝ = ℝ \ {0}
*
*
] 0 ;∞ ]
1
√x
2√ x +c
[0 ;∞ ]
ℝ
cos ( x )
sin( x)+c
ℝ
ℝ
sin( x)
−cos( x )+c
ℝ
π π
]− ; [
2 2
1
2
=1+tan ( x )
2
cos ( x )
tan ( x)+ c
π π
]− ; [
2 2
ℝ* = ℝ \ {0}
a
x
a ln (x )+c
ℝ* = ℝ \ {0}
ℝ
ae
x
x
a e +c
ℝ
Exemples
Trouver les primitives de :
a) f(x) = x17
b) f  x=
1
4
x
Cas spécial :
On a vu dans le tableau que pour
logarithmes que les primitives de
1
n , il faut avoir n > 1 : on verra dans la chapitre sur les
x
1
sont de la forme ln(x) + c, où ln(x) est le logarithme népérien
x
de x.
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2) Opérations sur les primitives
a) Produit par une constante
Si la primitive de f(x) est F(x) + c, celle de k f(x) sera k F(x) + c.
Remarquons qu'il est inutile de multiplier le c par k, car k˟c est aussi une constante quelconque.
Exemples :
Primitives de :
2
I) f(x) = 5 x
III) f(x) = 3 sin(x)
x
F( x)=5 + c
2
F(x) = - 3 cos(x) + c
6
6
x
x
F x =4 c=2 c
6
3
II) f(x) = 4 x5
b) Somme de deux fonctions
De même que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées ((u + v)’ = u’ + v’), les primitives
d’une somme sont les sommes des primitives on ne mettra qu'une fois le "+ c").
Exemples :
Primitives de :
I) 3x² + 2x + 1
III) 3 –
x + x² + x + c
3x – 2  xc
IV) 6x – cos x
1
x
V) cos x – x
1
4
x
II) 5x –
3
5
x2
1

c
2 3 x3
3x² - sin x + c
x 18
sin x – c
18
17
c) Primitives et fonctions composées
En partant de la formule générale qui donne comme dérivée de u(v(x)) la fonction v'(x) × u'(v(x)),
donc de la primitive de v' u'(v) qui est u(v) + c, on trouve les cas particuliers importants suivants :
Fonction f(x) =
Primitive F(x) =
u'(ax + b)
1
u  a xbc
a
sin(ax + b)
1
cos a xb c
a
cos(ax + b)
−1
sin a xbc
a
u'(x) (u(x))n
u  x n1
c
n1
u' x
n n > 1
u  x 
−1
c
n – 1u xn – 1
u ' x
 u  x
2  u  x c
u' x
ux
ln(u(x)) + c
1
a xb
ln a xb
c
a
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Exemples
I) sin (3x + 2)
II) 5(5x – 2)²
III) sin(x) cos3(x)
tan x
cos x
2 x5
V)
 x 25 x−2
3
VI)
2 x−1
IV)
cos 3 x2
c
3
5 x – 23
c
3
cos 4  x
−
c
4
1
c
cos x
−
2  x2 5 x – 2c
3
ln2 x – 1c
2
d) Primitive prenant une valeur donnée en un point
Soit une fonction f, dérivable sur I, un nombre x0 de I et un réel y0.
Théorème :
Il existe une unique fonction F0 qui soit primitive de f et prenne la valeur y0 en x0.
(c’est à dire telle que F0(x0) = y0).
En effet, soit F la forme générale des primitives de f, soit F(x) = F1(x) + c.
Pour trouver F0 telle que F0(x0) = y0 et F0’(x) = f(x), on fait :
F0(x) = F1(x) + c et F0(x0) = y0 = F1 (x0) + c, donc
c = y0 – F1(x0)
On appelle 'condition initiale' la condition F0(x0) = y0, car elle correspond souvent à x0 = 0.
Exemple :
F(x) = 2x² - 3x + 2
Trouver la primitive de f prenant la valeur 17 pour x = 6.
Solution :
. Forme générale des primitives :
. Prise en compte des conditions initiales :
. D'où le résultat final :
x3
x2
– 3 2 xc
3
2
F(6) = 144 – 54 + 12 + c = 17 d’où c = - 85
x3
x2
F(x)=2 – 3 + 2 x−85 .
3
2
F x =2
3) Recherche de primitives
a) Faisabilité
On ne peut pas toujours trouver facilement les primitives d’une fonction, en particulier quand on a
affaire à des produits ou des quotients.
Par exemple, la fonction inverse n’a pas de primitive dans les fonctions que vous connaissez : on
appelle cette primitive le logarithme népérien et on l’étudiera dans un chapitre ultérieur.
Parfois, on peut y arriver avec les tableaux ci-dessus, parfois ce n'est pas suffisant. Dans certains
cas, on peut alors y arriver en changeant la forme de la fonction.
Nous allons étudier quelques cas de ce genre.
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b) Polynômes trigonométriques
1cosx 
1 – cos 2x
2
et sin x=
.
2
2
Plus généralement, les formules de Moivre permettent de "linéariser" les puissances des sinus et
cosinus, c'est à dire à faire disparaître ces puissances en utilisant des combinaisons de sin(nx) et
cos(nx).
2
On a les formules cos x =
On peut donc transformer toutes les puissances de cos(x) et sin(x) en sinus ou cosinus de multiples
de x, plus faciles à intégrer, c'est à dire qu'il est plus facile d'en trouver les primitives.
Exemples :
1) f(x) = 6sin²x
2) f(x) = 4cos4x
3
F x =3 x sin 2x c
2
f(x) = 2(1 + cos(2x))² = 2 + 4 cos2x + 2 cos²(2x)
f(x) = 2 + 4 cos(2x) + 1 + cos(4x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)
sin 4 x 
F x =3x2 sin 2x
c
4
f(x) = 3 – 3cos(2x)
d'où
Remarque :
Pour les puissances impaires, on peut aussi utiliser u' u n et se servir de cos² x + sin² x = 1, d’où
cos²(x) = 1 – sin²(x) et sin²(x)= 1 – cos²(x).
Exemple :
f(x) = sin3(x) + 3 sin5(x)
f(x) = sin(x) (1 – cos²(x)) + 3 sin(x) (1 – cos²(x))²
f(x) = sin(x) – sin(x) cos²(x) + 3 sin(x) (1 – 2cos²(x) + cos4(x))
f(x) = 4 sin(x) – 7 sin(x) cos²(x) + 3 sin(x) cos4(x)
D'où cette fois la primitive :
3
5
7 cos (x ) 3 cos (x)
F( x)=−4 cos (x )+
–
+c .
3
5
c) Avec les formules du tableau des fonctions composées
Quand on peut faire apparaître u' un,
u' u '
u'
et
, on peut trouver des primitives.
n ,
u
u
u
Exemple :
Trouver les primitives des fonctions suivantes :
I) f(x) = (x + 1) (3x² + 6x – 7)²
II) f(x) = (10x4 + 6) (x5 + 3x + 1)
III) f(x) = sin(x) cos7(x)
x3
 x 423
x
V) f  x=
 4−x 2
4
10 x 6
VI) f  x= 5
x 3 x−2
IV) f  x=
3 x 26 x – 73
c .
18
F(x) = (x4 + 3x + 1)² + c.
−cos 8 x
F x =
c .
8
−1
F x =
c .
8 x 422
F x =
F x =− 4 – x2 c .
F x =2 ln x 53 x – 2c .
d) Fonctions rationnelles
Il existe un moyen général de transformer les fonctions rationnelles de façon à pouvoir en trouver
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les primitives. Nous ne parlerons ici que de quelques cas simples.
1er cas : f  x=
a xb
c xd
2x – 3
:
x1
7
2 x +4 – 7 2( x+1)– 7
=
On aura f (x )=
, soit f (x)=2 –
.
x+1
x +1
x +1
D'où la primitive qui sera :
Soir par exemple f  x=
F(x) = 2x – 7 ln(x + 1) + c.
Exemple :
4 x6
.
2 x−1
4 x – 28 2 2 x−1−8
8
=
=2−
On aura f  x=
.
2 x−1
2 x−1
2 x−1
ln (2x−1)
+ c soit
On trouve donc finalement F( x)=2 x – 8
2
Trouver la primitive de f  x=
2ème cas :
F ( x)=2 x−4 ln(2 x −1)+ c .
a x 2b xc
d xe
c'
.
d xe
On procède soit par division polynomiale, soit par identification des numérateurs en écrivant f(x)
sous ses deux formes et en réduisant au même dénominateur.
On admet qu'on peut toujours mettre ce genre de fonction sous la forme f  x=a ' xb '
Le passage à la primitive est alors possible en procédant comme ci-dessus.
Exemple :
2 x 2 – 7 x3
.
x1
−9 x+3
12
=2x – 9+
On trouve d'abord f (x )=2x +
,
x+1
x+1
Et on en déduit facilement la primitive générale :
Trouver la forme générale des primitives de f  x=
F(x) = x² – 9 x + 12 ln(x + 1) + c.
D) Une application simple : la loi de la gravité et la chute d'un corps
Depuis Newton, on sait que les pommes (et les urus) tombent des arbres parce qu’ils sont attirés par
la terre (la planète, pas l’humus).
A une altitude donnée, cette force induit une accélération constante aux objets qui tombent.
Comment, à partir de cette accélération (appelée g et de valeur à peu près égale à 9,81m/s² à la
surface de la terre), peut-on retrouver la formule donnant la vitesse d’un objet en chute libre ?
On a l'accélération a(t) = g qui vaut à peu près 9,8 m/s², on voudrait trouver v(t).
On sait seulement que a(t) = v’(t), dérivée de la vitesse v(t).
Le chemin inverse de la dérivation, trouver une fonction F dont f est la dérivée, s’appelle la
recherche de primitives.
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Dans le tableau des primitives usuelles, on voit que v(x) = g x + c.
On arrive donc ici à une vitesse de la forme v(t) = g t + c. Cependant, l'accélération est orientée vers
le bas, donc pour être cohérent, on notera v(t) = - g t + c.
Si on connaît la vitesse à l’instant t = 0 (par exemple une pierre qu’on lâche à l’instant 0), et qu’on
la nomme v0, on aura v(t) = v0 - g t, puisque v(0) = v0 = 0 + c ce qui implique c = v0. D'où :
vt=−g tv 0 .
Pour remonter enfin à l'altitude, on refait la même opération : dans le tableau on voit que pour une
fonction de type k t, la primitive sera de la forme k t²/2 + c.
Quant à v(t), sa primitive sera donc h(t) - g t² / 2 + v0 t + c.
Si h0 est la hauteur initiale, on aura h(0) = c = h0.
1 2
h t =− g t v 0 th 0
D'où :
2
On retrouve bien ici la formule de la hauteur h parcourue lors d’une chute libre.
Remarquons que l'on n'a pas tenu compte de la résistance de l'air, qui fait qu'un kilo de plomb
tombe plus vite qu'un kilo de plumes....
Le même cheminement se fait couramment en physique, parce que les lois de la physique portent le
plus souvent sur des dérivées de grandeurs.
Exemple :
En électricité, avec un condensateur "parfait" on a
i t =C
et C la capacité du condensateur.
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du t 
, où u est la tension, i l'intensité
dt
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Fiche de révision (1/3) : Dérivées
Définition :
f ’(a)=
(
f (a+ h) – f (a)
df
( a)=lim
dx
h
h→0
)
Dérivées de base :
Fonction définie sur
Fonction f(x) =
Dérivée f’(x) =
Dérivée définie sur
ℝ
k
0
ℝ
ℝ
ax+b
a
ℝ
ℝ
a xn
n a xn-1
ℝ
ℝ = ℝ \ {0}
*
a
x
−a
x2
ℝ = ℝ \ {0}
ℝ = ℝ \ {0}
*
a
xn
−n a
x n+1
ℝ = ℝ \ {0}
[0 ;∞ ]
a√x
ℝ
a sin( x )
a cos( x )
ℝ
ℝ
a cos( x )
−a sin( x )
ℝ
ℝ+*
a ln (x )
a
x
ℝ = ℝ \ {0}
ℝ
ae
a
2√x
x
ae
Opérations sur les dérivées
*
*
] 0 ;∞ ]
*
x
ℝ
Dérivées des fonctions composées
Opération
Formule de la dérivée
Fonction composée
Formule de la dérivée
uv
u ' v '
sin(u)
u ' cos (u)
ku
ku'
cos (u)
−u ' sin(u)
uv
u ' v +u v '
u axb
a u ' axb
√u
u'
2 √u
(a x + b)n
a n( a x+ b)n−1
u
v
u' v – uv '
v2
1
(a x + b)n
−a n
( a x + b)n+1
un
n u ' u n−1
sin( a x + b)
a cos(a x+b)
1
un
−nu '
u n+1
cos (a x + b)
−a sin(a x+b)
Dérivée d’une fonction composée :
Formule générale : ( u(v ( x)) ) ' = v ’( x)×u ’(v (x))
d'où : ( u(a x +b) ) ' = a×u ’(a x+ b)
Équation de la tangente en x0 à la courbe de la fonction f(x) de dérivée f'(x) :
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
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Fiche de révision (2/3) : Les primitives
Primitives des fonctions usuelles
f(x) définie sur
Fonction f(x) =
Primitive F(x) =
F(x) définie sur
ℝ
0
c
ℝ
ℝ
a (avec a≠0)
a x +c
ℝ
a x n+1
+c
n+1
ℝ
n
ℝ
ax
ℝ* = ℝ \ {0}
a
avec n>1
n
x
−a
+c
n−1
( n−1) x
ℝ* = ℝ \ {0}
] 0 ;∞ ]
a
√x
2 a √ x +c
[0 ;∞ ]
ℝ
a cos( x )
a sin( x )+c
ℝ
ℝ
a sin( x )
−a cos ( x)+ c
ℝ
π π
]− ; [
2 2
a
= a(1+ tan 2 ( x))
2
cos ( x )
a tan( x )+ c
π π
]− ; [
2 2
ℝ* = ℝ \ {0}
a
x
a ln (x )+c
ℝ* = ℝ \ {0}
ℝ
a ex
a e x +c
ℝ
Quelques primitives de fonctions composées
Fonction f(x) = u’ v’(u) Primitive F(x) = v(u)+c Fonction f(x) = v’(ax + b)
u ' ×sin(u)
u ' ×cos (u)
u' u
n
u'(x)
(pour n > 1)
(u (x ))n
- cos(u)+c
sin(u)+c
sin( a x + b)
cos (a x +b)
n+1
u
+ c
n+1
−1
+c
( n – 1)(u( x ))n – 1
n
( a x + b)
1
(pour n > 1)
( a x + b)n
Primitive F ( x)=
-
v (a x + b)
+c
a
1
cos (a x + b)+ c
a
1
sin(a x + b)+ c
a
( a x + b)n+1
+c
a ( n+1)
−1
+c
a(n – 1)( a x+ b) n – 1
u '( x )
√ u ( x)
2 √ u( x )+c
1
√a x +b
2
√ a x+ b+ c
a
u' (x)
u (x )
ln (u (x ))+c
1
a x+b
ln (a x + b)
+c
a
tan (u)+ c
1
cos (a x+ b)
tan( a x +b)
+c
a
u'
cos2 (u)
2
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Cours de Mathématiques – Classe de Terminale STI - Chapitre 3 : Dérivées et Primitives
Fiche de révision (3/3) : Rappel, signe de ax² + bx + c
Pour étudier le signe d'une dérivée, on a souvent besoin de connaître ceci :
Courbe et signe du polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c
Un polynôme du second degré du type f(x) = ax² + bx + c a pour signe : le signe de a en
dehors de ses racines (qui sont les solutions de l’équation f(x) = 0), et prend le signe
contraire entre les racines, au cas où elles existent (c’est à dire si Δ >0).
x
-∞
ax² + bx + c
x
ax² + bx + c
Soit, si a > 0 :
x1
+
0
-
Si a < 0 :
x1
-∞
-
0
x2
0
+∞
+
x2
+
0
+∞
-
Sachant que si Δ < 0, ax² + bx + c est toujours du signe de a.
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