Chapitre 3 – Dérivées et Primitives

Cours de Mathématiques – Classe de Terminale STI - Chapitre 3 : Dérivées et Primitives
Chapitre 3 – Dérivées et Primitives
A) Rappels de première et compléments
1) Dérivées usuelles
Fonction définie sur Fonction f(x) = Dérivée f’(x) = Dérivée définie sur
ℝ
k 0
ℝ
ℝ
a x + b a
ℝ
ℝ
a xnn a xn-1
ℝ
ℝ* = ℝ\ {0}
a
x
−a
x2
ℝ* = ℝ\ {0}
ℝ* = ℝ\ {0}
a
xn
−na
xn+1
ℝ* = ℝ\ {0}
[0;+∞]
a
√
x
a
2
√
x
]0 ;+∞ ]
ℝ
asin(x)
acos(x)
ℝ
ℝ
acos(x)
−asin(x)
ℝ
ℝ+*
aln(x)
a
x
ℝ* = ℝ\ {0}
ℝ
a ex
a ex
ℝ
Remarques :
. Si on admet n réel quelconque, la 3ème ligne du tableau sert pour trouver les six premières lignes !
Il faut pour cela savoir que
x−n = 1
xn
et que
x
1
2=
x
.
. ln(x) est le logarithme népérien de x et ex est l'exponentielle de x (voir chapitres suivants).
Exemples :
Calculer les dérivées de : a).
fx= x5
b)
fx= 1
x4
c)
fx= 1
x
2) Opérations sur les dérivées
Opération Formule de la dérivée
uv
u'v'
ku
ku'
uv
u' vuv '
1
v
−v'
v2
u
v
u' v –uv '
v2
un, pour tout n∈ℝ
nu' un−1
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Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
.
fx= x21
xcosx
f(x)=cos(2x−1)
.
fx= x3sinx
f(x)= 1
2x−1
.
f(x)= cos (x)
x2+1
f(x)= x+2
3x+1
3) Dérivation d’une fonction composée
Théorème :
Remarques :
. Cette formule permet de trouver la dérivée (u(ax + b))' = a u’(a x + b) en posant v = a x + b.
. De même pour (un)’ = n u’(x) un - 1 (x)
Exemples :
Calculer la dérivée de :
f(x)=
√
sin(x)
f(x)=
√
3x2–2x +3
4) Dérivées et tangentes
On appelle tangente en x0 à la courbe représentative d’une fonction f la droite passant par le point
(x0 ; f(x0)) et de coefficient directeur (pente) le nombre dérivé f’(x0).
Théorème 1
Soit f dérivable en x0. la courbe de f admet alors en x0 une tangente d’équation :
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
En effet, cette droite passe visiblement par (x0 ; f(x0)) et sa pente (coefficient directeur) est bien
f’(x0) !
Exemples :
Calculer l'équation de la tangente à la courbe de f(x) en x = a
a)
f(x)= x2
4
avec a = 2 (réponse : y = x - 1)
b)
f(x)=3
√
x−1
avec a = 9
c)
f(x)=cos(2 x)
avec a = π/12
5) Lien avec le tableau de variation
Théorème 2
Soit f une fonction dérivable sur
I⊂ℝ
.
Si
∀x∈I , f ' x0
, alors f est strictement croissante sur I.
Si
∀x∈I , f ' x0
, alors f est strictement décroissante sur I.
Conséquence
L’étude du signe de la dérivée permet de déterminer le tableau de variation d’une fonction.
Exemple :
Faire le tableau de variation de la fonction :
a)
fx=3x2–5x1
x
b)
f(x)= 2 x+1
x−3
c)
f(x)= x−2
x2−2 x+3
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(u(v(x)))’ = v’(x) u’(v(x))

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6) Dérivées successives
Soit f dérivable sur I et f' sa dérivée. Si f' est dérivable sur I, on nomme f'' sa dérivée et on l’appelle
dérivée seconde de f. On la note aussi
d2f
d x2
.
Si f'' est dérivable, on nomme f''' sa dérivée, dérivée troisième de f, notée aussi f(3) ou
d3f
d x3
.
Ensuite, la dérivée nième sera notée f(n) ou
dnf
d xn
.
(Ne pas confondre fn, puissance nième de f, et f(n), dérivée de niveau n de f).
Exemples :
Calculer f’, f'' et f(3) pour :
fx= x3x
f(x)= x2+2+1
x
fx=sin x
Particularité des polynômes :
Les dérivées d'un polynôme de degré n sont toutes nulles à partir de f(n+1)(x).
Exemple :
Calculer toutes les dérivées de f(x) = x4 – 3 x² + 5 x – 3.
B) Les Primitives
1) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de
ℝ
.
On appelle primitive F de f sur I, toute fonction dont la dérivée sur I est f.
2) Vérification
Pour vérifier qu’une fonction F(x) est une primitive de f(x), il suffit de dériver F(x) et de vérifier
que l’on trouve bien f(x).
Exemples
Vérifier que F(x) = 5 x² – 2 x + 17 est bien une primitive de f(x) = 10 x - 2.
3) Théorèmes
a) Existence d’une primitive (théorème admis)
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I = ]a ; b[ .
Alors, f admet des primitives sur I.
b) Relation entre les primitives
Soit f une fonction définie sur
I ⊂ ℝ
et F0(x) une fonction primitive de f sur I.
Alors, l’ensemble des fonctions primitives de f sur I sera l’ensemble des fonctions de la forme
Fx=F0xc
avec c constante :
c ∈ ℝ
.
On appelle cette expression la forme générale des primitives de f .
En effet, si F(x) = F0(x) + c, on aura F’(x) = F0’(x) + 0 = F0’(x) = f(x).
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Réciproquement si F’(x) = f(x), on aura, en posant G(x) = F(x) – F0(x) :
G’(x) = F’(x) – F0’(x) = f(x) – f(x) = 0 donc G est une primitive de la fonction nulle, et seules les
constantes ont une dérivée nulle. G(x) est donc une constante.
C) Recherche des primitives d’une fonction
1) En inversant le tableau des dérivées usuelles, on obtient :
Fonction définie
sur Fonction f(x) = Primitive F(x) = Primitive définie sur
ℝ
0 c
ℝ
ℝ
a ≠ 0 a x + c
ℝ
ℝ
a xn
a xn+1
n+1+c
ℝ
ℝ* = ℝ\ {0}
1
x2
−1
x+c
ℝ* = ℝ\ {0}
ℝ* = ℝ\ {0}
1
xn
, n>1
−1
(n−1)xn−1+c
ℝ* = ℝ\ {0}
]0 ;∞]
1
√
x
2
√
x+c
[0;∞ ]
ℝ
cos(x)
sin(x)+c
ℝ
ℝ
sin(x)
−cos(x)+c
ℝ
]−π
2;π 2[
1
cos2(x)=1+tan2(x)
tan(x)+c
]−π
2;π 2[
ℝ* = ℝ \ {0}
a
x
aln(x)+c
ℝ* = ℝ\ {0}
ℝ
a ex
a ex+c
ℝ
Exemples
Trouver les primitives de :
a) f(x) = x17
b)
fx= 1
x4
Cas spécial :
On a vu dans le tableau que pour
1
xn
, il faut avoir n > 1 : on verra dans la chapitre sur les
logarithmes que les primitives de
1
x
sont de la forme ln(x) + c, où ln(x) est le logarithme népérien
de x.
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2) Opérations sur les primitives
a) Produit par une constante
Si la primitive de f(x) est F(x) + c, celle de k f(x) sera k F(x) + c.
Remarquons qu'il est inutile de multiplier le c par k, car k˟c est aussi une constante quelconque.
Exemples :
Primitives de :
I) f(x) = 5 x
F(x)=5x2
2+c
II) f(x) = 4 x5
Fx=4x6
6c=2x6 3c
III) f(x) = 3 sin(x) F(x) = - 3 cos(x) + c
b) Somme de deux fonctions
De même que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées ((u + v)’ = u’ + v’), les primitives
d’une somme sont les sommes des primitives on ne mettra qu'une fois le "+ c").
Exemples :
Primitives de :
I) 3x² + 2x + 1 x3 + x² + x + c II)
5x – 1
x4
5x2
21
3 x3c
III)
3 – 1
x
3x – 2 xc
IV) 6x – cos x 3x² - sin x + c
V) cos x – x17
sin x – x18
18 c
c) Primitives et fonctions composées
En partant de la formule générale qui donne comme dérivée de u(v(x)) la fonction v'(x) × u'(v(x)),
donc de la primitive de v' u'(v) qui est u(v) + c, on trouve les cas particuliers importants suivants :
Fonction f(x) = Primitive F(x) =
u'(ax + b)
1
a ua xbc
sin(ax + b)
1
a cos a xbc
cos(ax + b)
−1
a sina xbc
u'(x) (u(x))n
uxn1
n1c
u ' x
uxn
n > 1
−1
n–1uxn–1c
u ' x
ux
2 uxc
u ' x
ux
ln(u(x)) + c
1
a xb
lna xb
ac
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