Première ES chapitre 3 – partie 3 opérations sur les fonctions dérivées

Première ES
chapitre 3 – partie 3
opérations sur les fonctions dérivées
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chapderiv3Es 1/6
1. Dérivée d'une somme
Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x. Si ces deux conditions sont remplies alors :
 La fonction u + v est dérivable en x.
 Le nombre dérivé au point x de la somme u + v est la somme des nombres dérivés
de u et v au point x.
En résumé:
(u + v)' (x) = u'(x) + v'(x)
Pour retenir :
(u + v)' = u' + v'
Et aussi (u - v)' = u' - v'
Exemple:
soit la fonction f(x) = x + x²
les fonctions sin x et x2 sont dérivables sur R et de dérivées respectives 1 et 2x
alors : f ’(x) = 1 + 2x
2. Dérivée d'une fonction par un scalaire
Théorème:
On suppose que u est une fonction dérivable en x et k est un nombre réel.
Si ces conditions sont remplies alors :
 La fonction ku est dérivable en x.
 Le nombre dérivé au point x de la fonction ku est égal au produit de k et du nombre
dérivé de u au point x.
En résumé:
(ku)' (x) = k u'(x)
Pour retenir :
(ku)' = ku'
Exemple:
Soit la fonction f(x) = 7x5. La fonction f est dérivable sur R et la dérivée de la fonction x5 est
égale à 5x4 . D'où : f '(x) = (7x5)' = 7 (x5)' = 7 (5x4) = 35x4

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chapitre 3 – partie 3
opérations sur les fonctions dérivées
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chapderiv3Es 2/6
3. Dérivée d'un produit de fonctions.
Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x. Si ces deux conditions sont remplies alors :
 La fonction uv est dérivable en x.
 Le nombre dérivé au point x du produit uv est égal à u(x)  v'(x) + u'(x)  v(x).
En résumé:
(uv)' (x) = u(x) v'(x) + u'(x) v(x)
Pour retenir :
(uv)' = u v'+ u' v
Exemple:
Soit la fonction f(x) = (x² - 1)(2x +3)
La fonction f est le produit des fonctions :
 u(x) = x² - 1 dont la dérivée est u’(x) = 2x
 v(x) = 2x + 3 dont la dérivée est 2
On peut donc écrire que :
f ’(x) = u(x) v'(x) + u'(x) v(x)
f ’(x) = (x² - 1)( 2 ) + 2x(2x + 3)
f ’(x) = 2x² - 2 + 4x² + 6x
f ’(x) = 6x² + 6x - 2
4. Dérivée de u²(x)
Théorème:
u une fonctions dérivable en x.
 La fonction u² est dérivable en x.
 Le nombre dérivé au point x de u² est égal à 2u(x)  u'(x)
En résumé:
(u²)' (x) = 2u(x)  u'(x)
Pour retenir :
(u²)' = 2u u'

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opérations sur les fonctions dérivées
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chapderiv3Es 3/6
Exemple:
Soit la fonction f(x) = (x² - 1)²
La fonction f est égale à u² donc f ’ = 2uu’avec : u(x) = x² - 1 et u’(x) = 2x
On peut donc écrire que :
f ’(x) = 2u(x) u’(x)
f ’(x) = 2(x² - 1)(2x)
f ’(x) = 4x(x² - 1)
f ’(x) = 4x3 – 4x
5. Dérivée de u3(x)
Théorème:
u une fonctions dérivable en x.
 La fonction u3 est dérivable en x.
 Le nombre dérivé au point x de u3 est égal à 3u²(x)  u'(x)
En résumé:
(u3)' (x) = 3u²(x)  u'(x)
Pour retenir :
(u3)' = 3u² u'
Exemple:
Soit la fonction f(x) = (x² - 1) 3
La fonction f est égale à u² donc f ’ = 3u²u’avec : u(x) = x² - 1 et u’(x) = 2x
On peut donc écrire que :
f ’(x) = 3u²(x) u’(x)
f ’(x) = 3(x² - 1)²(2x)
f ’(x) = 6x(x² - 1)²
6. Dérivée de un(x)
Théorème:
u une fonctions dérivable en x et n un entier  2
 La fonction un est dérivable en x.
 Le nombre dérivé au point x de un est égal à nun-1(x)  u'(x)
En résumé:
(un)' (x) nun-1(x)  u'(x)

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opérations sur les fonctions dérivées
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chapderiv3Es 4/6
Pour retenir :
(un)' = nu n-1 u'
7. Dérivée de l'inverse d'une fonction .
Théorème:
v est une fonction dérivable en x. On suppose également que v(x) est non nul.
Si ces deux conditions sont remplies alors :
La fonction 1
v est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x de 1
v est égal à –v’(x) [v(x)]² .
En résumé:
1
v(x)
‘= –v’(x)
[v(x)]² .
Pour retenir :
1
v' = - v'
v²
Exemple:
soit la fonction f(x) = 1
x² + 1 définie sur R.
Cette fonction est de la forme f = 1
v qui se dérive en f’ = - v'
v² avec v(x) = x² + 1 et v’(x) = 2x
Ainsi :
f ’(x) = - 2x
x² + 1
6. Dérivée d'un quotient
Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul.
Si ces trois conditions sont vérifiées alors :
 La fonction u
v est dérivable en x.
Le nombre dérivé au point x du quotient u
v est égal à v(x)  u’(x) – v’(x)  u(x) [v(x)]²
En résumé:

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chapderiv3Es 5/6
u(x)
v(x) = v(x)  u’(x) – v’(x)  u(x) [v(x)]²
Pour retenir :
u
v’ = vu’ – v’u
v²
Exemple:
Soit la fonction f(x) = 2x + 1
x² + 1 définie sur R
La fonction f est de la forme 
u
v qui donne 
u
v’ = vu’ – v’u
v² avec :
 u(x) = 2.x +1 dont la dérivée est u’(x) = 2.
 v(x) = x2 + 1 dont la dérivée est v’(x) =2x.
On peut donc écrire que :
f’(x) = 2(x² + 1) – 2x(2x+1)
(x²+1)² = 2x² + 2 – 4x² - 2x (x²+1)² = - 2x² - 2x + 2 (x²+1)²
7. Dérivée d'une fonction composée de la forme f(ax + b)
Théorème:
a et b étant deux réels, dont a non nul, et f étant une fonction dérivable en x sur un intervalle I,
tel que ax + b appartient à I.
Si ces conditions sont vérifiées alors :
La fonction g : x  f(ax + b) est dérivable en x de I et on a g’(x) = [f(ax + b)]’ = a f ’(ax + b)
En résumé:
[f(ax + b)]’ = a f ’(ax + b)
Pour retenir :
[f(u)]’ = u’ f ’(u) avec u(x) = ax + b
Exemple:
Soit la fonction g(x) = 2x + 3 et I = [0 ; + [
La fonction g est définie sur I et 2x + 3  I pour tout x de I.
De plus g(x) = f (ax + b) alors g’ = a f ’(ax + b) avec
 ax + b = 2x + 3 dont la dérivée est a = 2.