Chapitre VI : Loi normale
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Chapitre VI terminale STMG Chapitre VI : Loi normale I : Loi binomiale Théorème 1 : On considère une répétition d’expériences aléatoires telle que : 1. L’issue de chaque expérience aléatoire est un succès ou un échec, avec une probabilité de succès p. 2. On répète n expériences indépendantes. 3. La variable aléatoire X est la variable qui compte le nombre exact de succès. Dans ce cas X suit alors la loi binomiale B(n; p). Exemple 1 : On explicite ici B(2; 0, 3) à l’aide de la calculatrice dans un tableau : xi 0 1 2 p(X = x i ) P (X = 0) ≈ 0, 49 P (X = 1) ≈ 0, 42 P (X = 2) ≈ 0, 09 Ces valeurs ont été obtenues en utilisant la fonction appropriée sur la calculatrice. Sur Texas Instrument on a été chercher binomFdp(n,p,k) dans le menu distrib. Sur CASIO on a été chercher binomPD(k,n,p) dans OPTN>STATS>DIST. Exemple 2 : On considère quatre atomes de radium 226. Pendant une demi-vie (environ 1600 ans), on suppose que chacun de ces atomes a une chance sur deux de se désintégrer. • Quelle est la probabilité qu’il reste exactement trois atomes de radium après une demi-vie ? 1. On assimile ce qui arrive à chaque atome pendant une demi-vie à un tirage. L’issue de chaque tirage est un succès (l’atome est resté stable) ou un échec (la désintégration), avec une probabilité de succès p = 0, 5. 2. On répète ici 4 tirages indépendants. 3. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre exact de succès, c’est à dire le nombre exact d’atomes qui sont restés stables. X suit B(4; 0, 5). D’après la calculatrice, la probabilité cherchée est donc : P (X = 3) ≈ 0, 25 • Quelle est la probabilité qu’il reste au moins un atome de radium après une demi-vie ? La probabilité cherchée est (deux méthodes) : 1. P (X ≥ 1) = P (X = 1) + p(X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = ... 2. P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) ≈ 0, 9375 Théorème 2 : Pour la loi B(n, p), on a les résultats suivants : E (X ) = np V (X ) = npq p σ(X ) = npq http\\ jolimz.free.fr Page 1/ 5 J.L. 2014-2015 Chapitre VI terminale STMG II : Loi normale centrée réduite Définition 2 : La loi normale centrée réduite est ce qu’on appelle une loi à densité. Elle possède deux caractéristique importante : • Elle permet d’évaluer une probabilité sur n’importe quel intervalle de réels (par exemple on peut se demander quelle est la probabilité de tomber entre 1, 3 et 2, 86). • La probabilité des résultats est de plus en plus mince quand on s’éloigne de 0. Elle est notée N (0; 1) Pour déterminer la probabilité qu’une variable aléatoire X suivant cette loi ait ses valeurs dans [a; b], on utilisera la calculatrice : • Sur Texas Instrument on ira chercher normalfrep dans le menu distrib. La syntaxe est simplement normalfrep(a,b). • Sur CASIO on ira chercher NormCD en tapant sur la touche OPTN et en choisissant STAT, DIST puis NORM. La syntaxe est simplement NormCD(a,b). Exemple 3 : Une usine fabrique des pièces rondes d’un diamètre théorique de 70 mm. Les pièces sortant effectivement de l’usine ont toujours une légère différence avec le diamètre prévu, qui est mesurée par une variable aléatoire X , en mm, suivant la loi normale centrée réduite. Quelle est la probabilité qu’une pièce fasse entre 69,9 et 70,2 mm ? On donnera des valeurs arrondies à 10−3 . La probabilité cherchée correspond à P (−0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 119 . Théorème 3 : • La représentation graphique de la densité de la loi normale centrée réduite est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Plus précisément c’est une courbe dite ’de Gauss’ : • Conséquences géométriques de cette symétrie, si X suit N (0; 1) on a d’une part P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5 et d’autre part pour tout réel a positif : — P (X ≤ −a) = 0, 5 − P (−a ≤ X ≤ 0) — P (X ≥ −a) = 0, 5 + P (−a ≤ X ≤ 0) — P (X ≤ a) = 0, 5 + P (0 ≤ X ≤ a) — P (X ≥ a) = 0, 5 − P (0 ≤ X ≤ a) • Si X suit N (0; 1) alors E (X ) = 0 et V (X ) = 1. http\\ jolimz.free.fr Page 2/ 5 J.L. 2014-2015 Chapitre VI terminale STMG Exemple 4 : On considère que le diamètre des tomates récoltées dans le champ de M. Bernard est de 100 + X mm, avec X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Quelle est la probabilité qu’une tomate fasse entre 98 et 102 mm ? Plus de 97 mm ? Moins de 99 mm ? Plus de 102 mm ? Moins de 103 mm ? Les résultats seront arrondis à 10−5 . 1. La probabilité cherchée correspond à P (−2 ≤ X ≤ 2) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 95450 . 2. La probabilité cherchée correspond à P (−3 ≤ X ) = 0, 5+P (−3 ≤ X ≤ 0) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 99865 . 3. La probabilité cherchée correspond à P (X ≤ −1) = 0, 5−P (−1 ≤ X ≤ 0) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 15866 . 4. La probabilité cherchée correspond à P (2 ≤ X ) = 0, 5 − P (0 ≤ X ≤ 2) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 02275 . 5. La probabilité cherchée correspond à P (X ≤ 3) = 0, 5 + P (0 ≤ X ≤ 3) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 99865 . On aurait pu directement remarquer que par symétrie elle était égale à la valeur de P (−3 ≤ X ) déjà calculée. III : Lois normales N (µ; σ2 ) Définition 3 : On dit qu’une variable aléatoire suit la loi normale de paramètres µ et σ2 si la variable aléatoire Y = X −µ σ suit N (0; 1) Pour déterminer la probabilité qu’une variable aléatoire X suivant cette loi ait ses valeurs dans [a; b], on utilisera la calculatrice : • Sur Texas Instrument on ira chercher normalfrep dans le menu distrib. La syntaxe est simplement normalfrep(a,b,µ,σ). • Sur CASIO on ira chercher NormCD en tapant sur la touche OPTN et en choisissant STAT, DIST puis NORM. La syntaxe est moins simplement NormCD(a,b,σ,µ). Remarque : µ est une mesure de décalage par rapport à l’axe de symétrie de la courbe de la densité. σ mesure à quel point cette dernière est écrasée, c’est à dire à quel point les valeurs de la variable X sont dispersées : http\\ jolimz.free.fr Page 3/ 5 J.L. 2014-2015 Chapitre VI terminale STMG Exemple 5 : Une usine fabrique des pièces carrées dont le côté théorique est 50 mm. Les pièces sortant effectivement de l’usine ont toujours une légère différence avec le diamètre prévu et leur côté réel est modélisé par une variable aléatoire X suivant N (50; 16). Quelle est la probabilité qu’une pièce fasse 50 mm exactement ? Et celle qu’elle fasse entre 48 et 58 mm ? On donnera des valeurs arrondies à 10−3 . 1. La probabilité cherchée correspond à P (X = 50) qui vaut 0 . 2. X suit N (50; 16) c’est à dire N (50; 42 ). La probabilité cherchée correspond à P (48 ≤ X ≤ 58) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 669 . Théorème 4 : 2 • Si X suit N (µ; σ ) alors E (X ) = µ et V (X ) = σ2 d’où l’écart type de X est σ. • La courbe représentative de la densité de X est alors symétrique par rapport à la droite d’équation x = µ • Conséquences géométriques de cette symétrie, si X suit N (µ; σ2 ) on a d’une part P (X ≤ µ) = P (X ≥ µ) = 0, 5 et d’autre part pour tout réel a : — Si a ≤ µ alors P (X ≤ a) = 0, 5 − P (a ≤ X ≤ µ) et P (X ≥ a) = 0, 5 + P (a ≤ X ≤ µ) — Si a ≥ µ alors P (X ≤ a) = 0, 5 + P (µ ≤ X ≤ a) et P (X ≥ a) = 0, 5 − P (µ ≤ X ≤ a) http\\ jolimz.free.fr Page 4/ 5 J.L. 2014-2015 Chapitre VI terminale STMG Exemple 6 : On considère que le diamètre des tomates récoltées dans le champ de M. Lhermite est modélisé parune variable aléatoire X suivant N (120; 52 ). Quelle est le diamètre moyen qu’on s’attend à avoir sur les tomates récoltées ? Quelle est la probabilité qu’une tomate fasse entre 110 et 130 mm ? Plus de 110 mm ? Moins de 115 mm ? Plus de 125 mm ? Moins de 130 mm ? Les résultats seront arrondis à 10−5 . 1. Le diamètre moyen qu’on s’attend à avoir sur les tomates récoltées est E (X ) = 120 mm. 2. La probabilité cherchée correspond à P (110 ≤ X ≤ 130) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 95450 . 3. La probabilité cherchée correspond à P (110 ≤ X ) = 0, 5 + P (110 ≤ X ≤ 120) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 97725 . 4. La probabilité cherchée correspond à P (X ≤ 115) = 0, 5 − P (115 ≤ X ≤ 120) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 15866 . 5. La probabilité cherchée correspond à P (125 ≤ X ) = 0, 5 − P (120 ≤ X ≤ 125) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 15866 .On aurait pu directement remarquer que par symétrie elle était égale à la valeur de P (X ≤ 115) déjà calculée. 6. La probabilité cherchée correspond à P (X ≤ 130) = 0, 5 + P (120 ≤ X ≤ 130) qui vaut d’après la calculatrice environ 0, 97725 . On aurait pu directement remarquer que par symétrie elle était égale à la valeur de P (110 ≤ X ) déjà calculée. Théorème 5 : Si X est une variable aléatoire suivant N (µ; σ2 ) alors on a : • P (X ∈ [µ − σ; µ + σ]) ≈ 0, 683 • P (X ∈ [µ − 2σ; µ + 2σ]) ≈ 0, 954 • P (X ∈ [µ − 3σ; µ + 3σ]) ≈ 0, 997 Exemple 7 : Le diamètre en mm des endives produites par un agriculteur est modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi N (531; 272 ). Déterminer sans calculatrice un intervalle dans lequel se situe le diamètre d’environ 95% des endives produites. X suivant N (531; 272 ) on sait que P (X ∈ [531 − 2 × 27; 531 + 2 × 27]) ≈ 0, 954. 95, 4% des endives produites environ ont donc leur diamètre dans l’intervalle [477; 585] . http\\ jolimz.free.fr Page 5/ 5 J.L. 2014-2015
