Événements particuliers : II. Probabilité

Chapitre 5 : Probabilités
Schéma de Bernoulli
Le mot hasard vient de l’arabe al zahr qui désigne un dé à jouer. Les jeux de hasard sont connus depuis la plus
haute antiquité. C’est l’étude des jeux de hasard qui a conduit Blaise Pascal (1623 - 1662) à s’intéresser au calcul
de probabilité.
I. Vocabulaire
Le tableau ci-dessous résume les définitions et notations importantes relatives à la notion d’expérience aléatoire.
Pour les exemples, on considère l’expérience consistant à lancer un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6
et à noter le nombre figurant sur la face supérieure du dé.
DÉFINITIONS EXEMPLES
⋆une expérience aléatoire est une expérience liée
au hasard dont on ne peut pas prévoir le résultat à
l’avance.
☞lancer un dé est une expérience aléatoire.
⋆on peut cependant connaître les issues possibles,
appelées éventualités.
☞obtenir le chiffre 2est une des éventualités.
⋆l’ensemble de toutes les éventualités d’une expérience
aléatoire est appelé univers. En général, on note cet
ensemble Ω.
☞l’univers est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Événement :
⋆un événement est une partie (ou un sous-ensemble)
de l’univers Ω. Il est constitué d’une ou d’un ensemble
d’éventualités.
☞l’événement A: « obtenir un nombre pair » est
composé de 3 éventualités. On note A={2; 4; 6}.
⋆lorsqu’une éventualité eappartient à un événement
A, on dit que eréalise A.
☞l’éventualité {2} réalise l’événement A.
Événements particuliers :
⋆un évènement impossible est un événement qui ne
se réalise jamais.
☞l’événement B: « obtenir 7 » est impossible. On
note B=∅.
⋆un évènement certain est un événement qui se réalise
toujours.
☞l’événement C: « obtenir un nombre plus grand que
0 » est certain. On a C= Ω.
⋆un évènement élémentaire est constitué que d’une
seule issue.
☞l’événement D: « obtenir le nombre 3 ». D= { 3 }
⋆l’évènement contraire ou complémentaire de Aest
consitué de l’ensemble des issues qui ne réalisent pas
A. On le note ¯ A.
☞¯ A={1; 3; 5}
II. Probabilité
Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est associer à chaque éventualité xisa probabilité pi.
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, la loi est dite équi-répartie. On dit aussi que l’on a équipro-
babilité des issues.
Définition
Exemple 1:Loi de probabilité du lancé d’un dé à 6 faces : xi1 2 3 4 5 6
pi
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Toutes les issues ont même probabilité. La loi est équi-répartie.

Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli 2
La probabilité d’un évènement Aest la somme des probabilités des évènements élémentaires qui constituent
A.
théorème
Exemple 2:On jette un dé à six faces équilibré. On considère l’événement A: « obtenir un nombre pair ».
L’événement Aest constitué des événements élémentaires {2};{4}et {6}. On a donc
p(A) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = 1
6+1 6+1 6=3 6=1 2.
De même,
• la probabilité de ne pas obtenir 2 est 5
6;
• la probabilité d’obtenir un chiffre pair est 3
6=1 2;
• la probabilité d’obtenir un chiffre inférieur à 9 est 1;
• la probabilité d’obtenir un résultat négatif est 0.
Soit Aun évènement. On a :
•06p(A)61. En particulier, p(∅) = 0 et p(Ω) = 1 ;
•p(A) + p(¯ A) = 1. En particulier, p(¯ A) = 1 −p(A).
• De plus, si la loi est équi-répartie, on a
p(A) = nombre d’issues réalisant A
nombres d’issues possibles
théorème
III. Calculs de probabilités
L’ Intersection des évènements Aet Best l’évènement, noté A∩B, formé des issues qui réalisent à la fois
(simultanément) l’évènement Aet l’évènement B.
La Réunion des évènements Aet Best l’évènement, noté A∪B, formé des issues qui réalisent l’évènement A
ou l’évènement B, c’est à dire au moins l’un des deux.
Définition
Illustration :
On peut représenter graphiquement l’union et l’intersection de deux événements par un diagramme de Venn :
Union de deux événements Intersection de deux événements
Exemple 3:On note Al’événement "obtenir un chiffre pair" et Bl’événement "obtenir un chiffre strictement
inférieur à quatre".
On a : A={2; 4; 6}et B={1; 2; 3; 4}
•A∩B="obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : A∩B={2};
•A∪B="obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A∪B={1; 2; 3; 4; 6}.
Soit Aet Bdeux évènements. on a :
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)
théorème

Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli 3
Preuve. On comprend facilement cette proposition en observant les diagrammes de Venn. Si l’on additionne les
probabilités de Aet B, on compte deux fois la probabilité de A∩B. Pour obtenir celle de A∪B, il faut donc
soustraire une fois p(A∩B).
IV. Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possèdent que deux issues :
• l’une appelée succès que l’on note S
• l’autre appelée échec que l’on note communément ¯ S
Définition
Soit E une épreuve de Bernoulli. On note pla probabilité de succès.
Soit Xla variable aléatoire qui est égale à 1 en cas de succès et 0 sinon.
Alors on dit que Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre p. On note X∼(B, p).
On a alors le tableau suivant :
X=xi0 1
p(X=xi) 1 −p p
Définition
Exemple 4:Les expériences suivantes sont-elles des épreuves de Bernoulli ? Si oui, préciser leur paramètre
(si ce n’est pas clairement indiqué, vous choisirez quelle issue correspond au succès et quelle issue correspond à
l’échec).
1On lance un dé équilibré et on gagne si on fait un 6.
2On lance un dé tétraédrique et on regarde le résultat obtenu.
3Un automobiliste arrive à un feu et a une probabilité de 0.3 qu’il soit vert.
4On tire deux jetons dans une urne qui contient 4 jetons noirs et 6 jetons rouges. On gagne si ils sont rouges.
Exemple 5:On considère l’épreuve aléatoire : "on tire un jeton dans une urne qui contient 4 jetons noirs et 6
jetons rouges" et on s’intéresse à la sortie d’un jeton rouge.
1L’expérience aléatoire est-elle une épreuve de Bernoulli ?
2Soit Xla variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Donner la loi de
probabilité de X.
V. Exercices
Exercice 1:Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1998 auprès de 1000 personnes, à
propos d’Internet :
•60% des personnes interrogées déclarent ne pas être intéressées par Internet ;
•35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, 80% déclarent être intéressées par
Internet ;
•30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet.
1Compléter le tableau suivant :
Intéressés par Internet Non intéressés par Internet Total
Moins de 25 ans
De 25 à 50 ans
Plus de 50 ans
Total 1 000

Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli 4
2On choisit au hasard une personne parmi les 1000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la
même probabilité d’être choisies.
On considère les événements :
A: « la personne interrogée est intéressée par Internet »
B: « la personne interrogée a moins de 25 ans ».
(a) Calculer les probabilités p(A)et p(B).
(b) Définir par une phrase l’événement ¯ B, puis calculer p(¯ B).
(c) Définir par une phrase l’événement A∩B, puis calculer p(A∩B).
(d) Définir par une phrase l’événement A∪B, puis calculer p(A∪B).
(e) On sait maintenant que la personne interrogée n’est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité
qu’elle ait moins de 50 ans ?
Exercice 2:On place dans un sac quatre jetons marqués A, B, C et D. On tire au hasard, l’un après l’autre,
sans les remettre, trois jetons du sac.
1À l’aide d’un arbre, décrire toutes les situations possibles.
2On s’intéresse aux événements suivants :
• E : « Le premier jeton tiré porte la lettre B » ;
• F : « Le jeton marqué C n’a pas été tiré ».
Déterminer la probabilité de chacun des événements E et F.
3(a) Quelles sont les issues qui réalisent l’événement E∩F?
(b) Déterminer la probabilité de l’événement E∩F.
4Calculer la probabilité de l’événement E∪F.
Exercice 3:Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces puis une pièce de 1 euro, les deux objets
étant bien équilibrés. A pile on associe le nombre 1 et à face le nombre 2. Le résultat est le produit du numéro
obtenu sur le dé et du nombre obtenu avec la pièce.
1Représenter cette expérience par un arbre.
2Indiquer au bout de chaque branche de l’arbre le résultat ainsi obtenu.
3Donner dans un tableau la loi de probabilité des résultats.
4Déterminer les probabilités des événements suivants :
A:le produit est pair ;
B:le produit est multiple de 3 ;
C:le produit n’est ni 6, ni 5 ;
D:le produit est supérieur ou égale à 4 ;
E:le produit est strictement inférieur à 6.
5(a) Lister tous les cas constituant l’événement A∩B.
(b) En déduire la probabilité de l’événement A∩B.
6(a) Lister tous les cas constituant l’événement A∪B.
(b) En déduire la probabilité de l’événement A∪B.
(c) Est-il vrai que p(A∪B) = p(A) + p(B)? Si oui, le prouver. Sinon, corriger la formule.
Exercice 4:On lance un dé équilibré à six faces. On s’intéresse aux événements suivants :
•A: « Obtenir le numéro 1. »
•B: « Obtenir un nombre strictement supérieur à 2. »
•C: « Obtenir un nombre pair. »
1Écrire les évènements A,Bet Csous forme ensembliste. Représenter l’ensemble Ede toutes les issues, ainsi
que A,Bet Cà l’aide d’un schéma.
2Déterminer les évènements A∪Bet A∩B.
3Déterminer la probabilité de chacun des évènements A,B,C,A∪Bet A∩B.

Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli 5
Exercice 5:Une entreprise fabrique des calculatrices de poche en grandes séries. Elles peuvent présenter deux
types de défaut : le défaut A ou le défaut B. Une étude statistique portant sur un lot de 800 calculatrices a fait
apparaître les résultats suivants :
• 15% des calculatrices présentent le défaut A.
• Parmi les calculatrices présentant le défaut A, 95 % ne présentent pas le défaut B.
• Parmi les calculatrices ne présentant pas le défaut A, 5 % présentent le défaut B.
1Compléter le tableau d’effectifs ci-dessous :
Défaut A Pas le défaut A Total
Défaut B
Pas le défaut B
Total 800
2On choisit au hasard une de ces 800 calculatrices, chacune ayant la même probabilité d’être choisie.
(a) Déterminer la probabilité de l’événement A : « la calculatrice choisie présente le défaut A ».
(b) Déterminer la probabilité de l’événement B : « la calculatrice choisie présente le défaut B ».
(c) Définir chacun des événements A∩Bet A∪Bpar une phrase, puis calculer leurs probabilités.
(d) Déterminer la probabilité de l’événement : « obtenir une calculatrice sans défaut ».
3On choisit une calculatrice parmi celles qui présentent le défaut A. Déterminer la probabilité qu’elle ne
présente pas le défaut B.
Exercice 6:On lance deux dés équilibrés et on s’intéresse à la somme des deux dés.
1Quel est l’univers associé à cette expérience aléatoire.
2Représenter la situation à l’aide d’un tableau.
3Donner la loi de probabilité de cette expérience.
Exercice 7:Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant
le succès et la probabilité associée.
⋆situation 1 : on lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le
nombre obtenu est un multiple de 3.
⋆situation 2 : on tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.
⋆situation 3 : on jette une pièce de monnaie non truquée.
⋆situation 4 : on extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes
indiscernables au toucher, et on note sa couleur.
Exercice 8:Une urne de Bernoulli contient deux boules blanches et une boule noire.
1On tire deux boules successivement avec remise et on appelle Xle nombre de boules blanches. Donner la loi
de probabilité de X.
2On tire deux boules successivement sans remise et on appelle Xle nombre de boules blanches. Donner la loi
de probabilité de X.
3On tire deux boules simultanément et on appelle Xle nombre de boules blanches. Donner la loi de probabilité
de X.
Exercice 9:On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale
à 5. Donner la loi de probabilité associée à cette expérience.