Événements particuliers : II. Probabilité

Chapitre 5 : Probabilités
Schéma de Bernoulli
Le mot hasard vient de l’arabe al zahr qui désigne un dé à jouer. Les jeux de hasard sont connus depuis la plus
haute antiquité. C’est l’étude des jeux de hasard qui a conduit Blaise Pascal (1623 - 1662) à s’intéresser au calcul
de probabilité.
I. Vocabulaire
Le tableau ci-dessous résume les définitions et notations importantes relatives à la notion d’expérience aléatoire.
Pour les exemples, on considère l’expérience consistant à lancer un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6
et à noter le nombre figurant sur la face supérieure du dé.
DÉFINITIONS
⋆ une expérience aléatoire est une expérience liée
au hasard dont on ne peut pas prévoir le résultat à
l’avance.
EXEMPLES
☞ lancer un dé est une expérience aléatoire.
⋆ on peut cependant connaître les issues possibles,
appelées éventualités.
☞ obtenir le chiffre 2 est une des éventualités.
⋆ l’ensemble de toutes les éventualités d’une expérience
aléatoire est appelé univers. En général, on note cet
ensemble Ω.
☞ l’univers est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Événement :
⋆ un événement est une partie (ou un sous-ensemble)
de l’univers Ω. Il est constitué d’une ou d’un ensemble
d’éventualités.
☞ l’événement A : « obtenir un nombre pair » est
composé de 3 éventualités. On note A = {2; 4; 6}.
⋆ lorsqu’une éventualité e appartient à un événement
A, on dit que e réalise A.
☞ l’éventualité {2} réalise l’événement A .
Événements particuliers :
⋆ un évènement impossible est un événement qui ne
se réalise jamais.
☞ l’événement B : « obtenir 7 » est impossible. On
note B = ∅.
⋆ un évènement certain est un événement qui se réalise
toujours.
☞ l’événement C : « obtenir un nombre plus grand que
0 » est certain. On a C = Ω.
⋆ un évènement élémentaire est constitué que d’une
seule issue.
☞ l’événement D : « obtenir le nombre 3 ». D = { 3 }
⋆ l’évènement contraire ou complémentaire de A est
consitué de l’ensemble des issues qui ne réalisent pas
A. On le note Ā.
☞ Ā = {1; 3; 5}
II. Probabilité
Définition
Définir une loi de probabilité sur un univers, c’est associer à chaque éventualité xi sa probabilité pi .
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, la loi est dite équi-répartie. On dit aussi que l’on a équiprobabilité des issues.
Exemple 1 : Loi de probabilité du lancé d’un dé à 6 faces :
Toutes les issues ont même probabilité. La loi est équi-répartie.
xi
pi
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli
2
théorème
La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui constituent
A.
Exemple 2 : On jette un dé à six faces équilibré. On considère l’événement A : « obtenir un nombre pair ».
L’événement A est constitué des événements élémentaires {2} ; {4} et {6}. On a donc
p(A) = p({2}) + p({4}) + p({6}) =
De même,
• la probabilité
• la probabilité
• la probabilité
• la probabilité
1 1 1
3
1
+ + = = .
6 6 6
6
2
de ne pas obtenir 2 est 56 ;
d’obtenir un chiffre pair est 36 = 12 ;
d’obtenir un chiffre inférieur à 9 est 1 ;
d’obtenir un résultat négatif est 0.
théorème
Soit A un évènement. On a :
• 0 6 p(A) 6 1. En particulier, p(∅) = 0 et p(Ω) = 1 ;
• p(A) + p(Ā) = 1. En particulier, p(Ā) = 1 − p(A).
• De plus, si la loi est équi-répartie, on a
p(A) =
nombre d’issues réalisant A
nombres d’issues possibles
III. Calculs de probabilités
Définition
L’ Intersection des évènements A et B est l’évènement, noté A ∩ B, formé des issues qui réalisent à la fois
(simultanément) l’évènement A et l’évènement B.
La Réunion des évènements A et B est l’évènement, noté A ∪ B, formé des issues qui réalisent l’évènement A
ou l’évènement B, c’est à dire au moins l’un des deux.
Illustration :
On peut représenter graphiquement l’union et l’intersection de deux événements par un diagramme de Venn :
Union de deux événements
Intersection de deux événements
Exemple 3 : On note A l’événement "obtenir un chiffre pair" et B l’événement "obtenir un chiffre strictement
inférieur à quatre".
On a : A = {2; 4; 6} et B = {1; 2; 3; 4}
• A ∩ B = "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : A ∩ B = {2} ;
• A ∪ B = "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6}.
théorème
Soit A et B deux évènements. on a :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli
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Preuve. On comprend facilement cette proposition en observant les diagrammes de Venn. Si l’on additionne les
probabilités de A et B, on compte deux fois la probabilité de A ∩ B. Pour obtenir celle de A ∪ B, il faut donc
soustraire une fois p(A ∩ B).
IV. Loi de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possèdent que deux issues :
• l’une appelée succès que l’on note S
• l’autre appelée échec que l’on note communément S̄
Définition
Soit E une épreuve de Bernoulli. On note p la probabilité de succès.
Soit X la variable aléatoire qui est égale à 1 en cas de succès et 0 sinon.
Alors on dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. On note X ∼ (B, p).
On a alors le tableau suivant :
X = xi
p(X = xi )
0
1−p
1
p
Exemple 4 : Les expériences suivantes sont-elles des épreuves de Bernoulli ? Si oui, préciser leur paramètre
(si ce n’est pas clairement indiqué, vous choisirez quelle issue correspond au succès et quelle issue correspond à
l’échec).
1
On lance un dé équilibré et on gagne si on fait un 6.
2
On lance un dé tétraédrique et on regarde le résultat obtenu.
3
Un automobiliste arrive à un feu et a une probabilité de 0.3 qu’il soit vert.
4
On tire deux jetons dans une urne qui contient 4 jetons noirs et 6 jetons rouges. On gagne si ils sont rouges.
Exemple 5 : On considère l’épreuve aléatoire : "on tire un jeton dans une urne qui contient 4 jetons noirs et 6
jetons rouges" et on s’intéresse à la sortie d’un jeton rouge.
1
L’expérience aléatoire est-elle une épreuve de Bernoulli ?
2
Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Donner la loi de
probabilité de X.
V. Exercices
Exercice 1 : Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1998 auprès de 1000 personnes, à
propos d’Internet :
• 60% des personnes interrogées déclarent ne pas être intéressées par Internet ;
• 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, 80% déclarent être intéressées par
Internet ;
• 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet.
1
Compléter le tableau suivant :
Intéressés par Internet
Non intéressés par Internet
Total
Moins de 25 ans
De 25 à 50 ans
Plus de 50 ans
Total
1 000
Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli
2
4
On choisit au hasard une personne parmi les 1000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la
même probabilité d’être choisies.
On considère les événements :
A : « la personne interrogée est intéressée par Internet »
B : « la personne interrogée a moins de 25 ans ».
(a) Calculer les probabilités p(A) et p(B).
(b) Définir par une phrase l’événement B̄, puis calculer p(B̄).
(c) Définir par une phrase l’événement A∩B, puis calculer p(A ∩ B).
(d) Définir par une phrase l’événement A∪B, puis calculer p(A ∪ B).
(e) On sait maintenant que la personne interrogée n’est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité
qu’elle ait moins de 50 ans ?
Exercice 2 : On place dans un sac quatre jetons marqués A, B, C et D. On tire au hasard, l’un après l’autre,
sans les remettre, trois jetons du sac.
1
À l’aide d’un arbre, décrire toutes les situations possibles.
2
On s’intéresse aux événements suivants :
• E : « Le premier jeton tiré porte la lettre B » ;
• F : « Le jeton marqué C n’a pas été tiré ».
Déterminer la probabilité de chacun des événements E et F.
3
(a) Quelles sont les issues qui réalisent l’événement E ∩ F ?
(b) Déterminer la probabilité de l’événement E ∩ F .
4
Calculer la probabilité de l’événement E ∪ F .
Exercice 3 : Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces puis une pièce de 1 euro, les deux objets
étant bien équilibrés. A pile on associe le nombre 1 et à face le nombre 2. Le résultat est le produit du numéro
obtenu sur le dé et du nombre obtenu avec la pièce.
1
Représenter cette expérience par un arbre.
2
Indiquer au bout de chaque branche de l’arbre le résultat ainsi obtenu.
3
Donner dans un tableau la loi de probabilité des résultats.
4
Déterminer les probabilités des événements suivants :
A : le produit est pair ;
B : le produit est multiple de 3 ;
C : le produit n’est ni 6, ni 5 ;
D : le produit est supérieur ou égale à 4 ;
E : le produit est strictement inférieur à 6.
5
(a) Lister tous les cas constituant l’événement A ∩ B.
(b) En déduire la probabilité de l’événement A ∩ B.
6
(a) Lister tous les cas constituant l’événement A ∪ B.
(b) En déduire la probabilité de l’événement A ∪ B.
(c) Est-il vrai que p(A ∪ B) = p(A) + p(B) ? Si oui, le prouver. Sinon, corriger la formule.
Exercice 4 : On lance un dé équilibré à six faces. On s’intéresse aux événements suivants :
• A : « Obtenir le numéro 1. »
• B : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 2. »
• C : « Obtenir un nombre pair. »
1
Écrire les évènements A, B et C sous forme ensembliste. Représenter l’ensemble E de toutes les issues, ainsi
que A, B et C à l’aide d’un schéma.
2
Déterminer les évènements A ∪ B et A ∩ B.
3
Déterminer la probabilité de chacun des évènements A, B, C, A ∪ B et A ∩ B.
Chapitre 5 : probabilités et schéma de Bernoulli
5
Exercice 5 : Une entreprise fabrique des calculatrices de poche en grandes séries. Elles peuvent présenter deux
types de défaut : le défaut A ou le défaut B. Une étude statistique portant sur un lot de 800 calculatrices a fait
apparaître les résultats suivants :
• 15% des calculatrices présentent le défaut A.
• Parmi les calculatrices présentant le défaut A, 95 % ne présentent pas le défaut B.
• Parmi les calculatrices ne présentant pas le défaut A, 5 % présentent le défaut B.
1
Compléter le tableau d’effectifs ci-dessous :
Défaut A
Pas le défaut A
Total
Défaut B
Pas le défaut B
Total
2
800
On choisit au hasard une de ces 800 calculatrices, chacune ayant la même probabilité d’être choisie.
(a) Déterminer la probabilité de l’événement A : « la calculatrice choisie présente le défaut A ».
(b) Déterminer la probabilité de l’événement B : « la calculatrice choisie présente le défaut B ».
(c) Définir chacun des événements A ∩ B et A ∪ B par une phrase, puis calculer leurs probabilités.
(d) Déterminer la probabilité de l’événement : « obtenir une calculatrice sans défaut ».
3
On choisit une calculatrice parmi celles qui présentent le défaut A. Déterminer la probabilité qu’elle ne
présente pas le défaut B.
Exercice 6 : On lance deux dés équilibrés et on s’intéresse à la somme des deux dés.
1
Quel est l’univers associé à cette expérience aléatoire.
2
Représenter la situation à l’aide d’un tableau.
3
Donner la loi de probabilité de cette expérience.
Exercice 7 : Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant
le succès et la probabilité associée.
⋆ situation 1 : on lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le
nombre obtenu est un multiple de 3.
⋆ situation 2 : on tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.
⋆ situation 3 : on jette une pièce de monnaie non truquée.
⋆ situation 4 : on extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes
indiscernables au toucher, et on note sa couleur.
Exercice 8 : Une urne de Bernoulli contient deux boules blanches et une boule noire.
1
On tire deux boules successivement avec remise et on appelle X le nombre de boules blanches. Donner la loi
de probabilité de X.
2
On tire deux boules successivement sans remise et on appelle X le nombre de boules blanches. Donner la loi
de probabilité de X.
3
On tire deux boules simultanément et on appelle X le nombre de boules blanches. Donner la loi de probabilité
de X.
Exercice 9 : On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale
à 5. Donner la loi de probabilité associée à cette expérience.