Chapitre 03 Fonctions_numeriques

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Fonctions numériques
Transmath 2011 p.50.
Objectifs :
– Notion de fonction ; déterminer un ensemble de définition, une image, un antécédent
– Tracer et exploiter la représentation graphique d’une fonction
– Étudier le sens de variation grâce au théorèmes sur l’ordre, à l’étude de f (x0 ) − f (x) ; tableau de variations
et extremums
– Fonctions affine, carrée et inverse (vues en seconde)
– Fonctions racine carrée et valeur absolue
√
– Justifier les positions relatives des courbes représentatives de x 7→√x, x 7→ x2 , et x 7→ x
– Connaı̂tre les sens de variation des fonctions associées u + k, λu, u et u1 où k et λ sont des réels, et u une
fonction connue
– Exploiter les propriétés sur le sens de variation des fonctions associées pour déterminer celui de fonctions
simples
Aperçu historique :
Le terme “fonction” est dû à Leibniz (1692, de functio :exécution), un mathématicien allemand qui a
contribué à jeter les bases de l’analyse moderne. L’idée de fonction a d’abord été associée à une courbe du plan
avant d’être considérée comme une combinaison d’opération sur une variable, ce qui peut être rapproché d’un
algorithme. Quelques années plus tard, Jean Bernoulli emploie la notation f x pour désigner une fonction de
la variable x : les fonctions telles que nous allons les étudier ici étaient nées.
1. Notions générales vues en seconde sur les fonctions numériques
A. Définitions et vocabulaire
Définition 3.1 Une fonction numérique f permet d’associer à chaque nombre x d’un ensemble D un
autre nombre que l’on note f (x). On note :
f : x 7−→ f (x)
Le nombre f (x) est appelé image de x par la fonction f .
L’image d’un nombre par une fonction numérique est unique.
x est appelé antécédent de f (x) par f .
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents ; il peut aussi ne pas en avoir.
Exemple :
On définit la fonction f sur R par f (x) = x2 − 5. On a :
f:
R
x
1
−5
5
2
π
−→
7−→
7−→
7−→
7−→
7−→
R
x2 − 5
12 − 5 = −4
(−5)2 − 5 = 20
( 52 )2 − 5 = 25
4 −5=
π 2 − 5 ≈ 4, 87
15
5
4
Dans cet exemple 20 a deux antécédents car l’équation x2 − 5 = 20 a deux solutions : x = 5 et x = −5.
Par contre -6 n’a pas d’antécédent car x2 − 5 = −6 n’a pas de solution. (car x2 = −1 n’en a pas.)
Définition 3.2 Soit f une fonction numérique. On appelle ensemble de définition de f ,
et on note généralement Df l’ensemble des nombres pour lesquels f (x) existe.
Exemple :
3x + 2
. Le nombre f (x) existe pour tout x 6= 1. En effet si
x−1
x = 1, pour calculer f (x), il faudrait diviser par 0 ce qui est impossible. Donc Df = R \ {1}.
On considère la fonction f définie par f (x) =
B. Représentation graphique
Définition 3.3 Soit f une fonction numérique. Pour tout x ∈ Df , on pose y = f (x).
À chaque couple (x; y) on peut donc associer un point dans un repère.
L’ensemble de ces points est appelé courbe représentative de la fonction f . On la note généralement Cf .
C. Résolutions graphiques d’équations et d’inéquations
Soit f et g deux fonctions numériques définies sur un intervalle [a; b].
– Résoudre graphiquement l’équation f (x) = g(x) c’est trouver les abscisses des points d’intersections de Cf
et Cg .
– Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) ≥ g(x), c’est trouver les abscisses des points M (x; f (x)) et
N (x; g(x)) tels que M est au dessus de N .
Exemple :
Sur la figure ci-dessus, on a tracé les représentations graphiques de deux fonctions f et g définies sur [a; b].
L’équation f (x) = g(x) admet trois solutions : S = {x0 ; x1 ; x2 }.
La solution de l’inéquation f (x) ≥ g(x) est S = [x0 ; x1 ] ∪ [x2 ; b].
Par exemple, pour x ∈ [x0 ; x1 ], on a bien M (x; f (x)) qui est au dessus de N (x; g(x)). Par contre pour
x0 ∈ [x1 ; x2 ], on a M (x0 ; f (x0 )) qui est en dessous de N (x0 ; g(x0 )).
D. Variations et extremums
Définition 3.4 On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si pour tout a et b de
I tels que a < b, on a f (a) < f (b).
On dit qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si pour tout a et b de I tels que
a < b, on a f (a) > f (b).
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Remarque :
Graphiquement, une fonction est croissante si sa courbe monte lorsqu’on se déplace de la gauche vers la
droite ; Et une fonction est décroissante si sa courbe descend lorsqu’on se déplace de la gauche vers la
droite.
Fonction strictement croissante :
Fonction strictement décroissante :
Pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a
f (a) > f (b).
La courbe Cf descend lorsqu’on se déplace vers
la droite.
Pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a
f (a) < f (b).
La courbe Cf monte lorsqu’on se déplace vers
la droite.
Méthodes d’étude des variations vues en seconde :
– Par lecture graphique, lorsque la fonction est définie par un graphique
– Par le calcul, lorsque l’on dispose de l’expression de f (x). Pour deux valeurs x ≤ x0 de Df , grâce aux
théorèmes sur l’ordre ou en étudiant le signe de f (x0 ) − f (x), on compare f (x) et f (x0 ) pour appliquer la
caractérisation ci-dessus.
Définition 3.5 Soient f une fonction définie sur un intervalle I ⊂ R, et a ∈ I.
On dit que f (a) est le minimum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≤ f (x).
On dit que f (a) est le maximum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≥ f (x).
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2. Fonctions usuelles vues en seconde
A. Fonctions affines
Une fonction définie sur R est dite affine s’il existe deux réels m et p
tels que pour tout x ∈ R, on a : f (x) = mx + p.
– Si m > 0, la fonction est croissante sur R
– Si m < 0, la fonction est décroissante sur R
– Si m = 0, la fonction est constante sur R
La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est la
droite d’équation y = mx + p.C’est une droite non parallèle à l’axe des
ordonnées, passant par le point de coordonnées (0; p) et de coefficient
directeur m.
B. Fonction carré
La fonction carré est définie sur R par x 7−→ x2 .
Ses variations sont les suivantes :
– elle est décroissante sur ] − ∞; 0[
– elle est croissante sur ]0; +∞[
On obtient le tableau de variations :
x
−∞
+∞
0
f (x)
0
Sa représentation graphique est une parabole de sommet l’origine du
repère.
Éléments de symétrie : Pour tout réel s, on a : (−x)2 = x2 , donc f (−x) =
f (x). On dit que la fonction f est paire, et sa représentation graphique
est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
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C. Fonction inverse
La fonction inverse est définie sur R∗ par f (x) = x1 .
– elle est décroissante sur R∗−
– elle est décroissante sur R∗+ également
Attention, elle n’est pas décroissante sur R∗.
On obtient le tableau de variations :
x
−∞
0
+∞
f (x)
Sa représentation graphique est une hyperbole.
1
Éléments de symétrie : Pour tout réel x 6= 0 on a : ( −x
)=
1
− x , donc f (−x) = −f (x). On dit que la fonction f est impaire, et sa représentation graphique est alors symétrique
par rapport à l’origine.
3. Fonction racine carrée
A. Étude de la fonction racine carrée
Définition 3.6 La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0; +∞[ qui à tout réel positif x associe
sa racine carrée.
√
f : x 7→ x
Propriété 3.1 La fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[.
√
Démonstration Notons f : x 7−→ x. Soient a, b ∈ /R tels que 0 ≤ a < b.
Montrons que f (a) < f (b). On va étudier le signe de f (b) − f (a) :
√
√
b − a pour étudier le signe, on essaie de factoriser
√
√ √
√
√
√
( b − a)( b + a)
√
=
cette expression existe car b + a > 0
√
( b + a)
√ 2
√
( b) − ( a)2
√
=
√
b+ a
b−a
= √
√
b+ a
√
√
Or a < b, donc b − a > 0. De plus, b + a > 0 comme somme de termes strictement positifs.
Donc f (b) − f (a) > 0.
Finalement, pour tous a, b ∈ R tels que 0 ≤ a < b, on a f (a) < f (b) donc la fonction racine carrée est
croissante sur R+ .
f (b) − f (a)
=
19
Représentation graphique :
B. Positions relatives des courbes représentatives de x 7→ x2 , x 7→ x, x 7→
√
x
Propriété 3.2 Soient :
C1 la courbe représentative de la fonction carré x 7→ x2 ,
C2 la courbe représentative de la fonction identité x 7→ x,
√
et C3 la courbe représentative de la fonction racine carrée x 7→ x.
Alors :
– Sur ]0; 1[, √
la courbe C1 est en-dessous de C2 , qui est en-dessous de C3 (i.e. pour 0 < x < 1, on a
x2 < x < x)
√
– Sur ]1; +∞[, la courbe C1 est au dessus de C2 , qui est au dessus de C3 (i.e. pour x > 1, on a x <
x < x2 )
– Ces trois courbes ont les points O(0; 0) et A(1; 1) en commun.
Démonstration Soit x ∈]0; 1[. On a 0 < x < 1. En multipliant cette inégalité par x > 0, il vient : 0 < x2 < x.
Donc sur cet intervalle, C1 est en-dessous de C2 .
√
√
√
√
De plus, la fonction racine carrée est croissante sur R+ donc 0 < x2 < x ⇒ 0 < x2 < x ⇒ x < x,
donc C2 est en-dessous de C3 .
De même, soit x > 1. On a 1 < x, et en multipliant chaque membre par x > 0, on obtient x < x2 , donc C1 est
au dessus de C2 .
√
En utilisant √
la croissance de√la fonction racine carrée, il vient que x < x, donc C2 est au dessus de C3 .
Enfin, on a 0 = 0 = 02 , et 1 = 1 = 12 , d’où le dernier point de la propriété.
20
Propriété 3.3 Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction racine carrée et
de la fonction carrée sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Démonstration Soient x et y deux√réels positifs, C3 la courbe d’équation y = x, C2 la
courbe d’équation y = x2 . Il vient :
M (x; y)√∈ C3
⇔y= x
⇔ y2 = x
⇔ M 0 (y; x) ∈ C1 .
4. Valeur absolue
A. Notion de valeur absolue
Définition 3.7 Soient x un nombre réel, et M le point d’abscisse x de la droite réelle d’origine O.
La valeur absolue de x est la distance OM .
On note : OM = |x|.
Exemples :
En utilisant la définition 3.7, déterminons :
| − 5, 4| ; |7, 2| ; | − 1| ; |0|.
On place sur un axe gradué d’origine O les points A(−5, 4) ; B(7, 2) ; C(−1). On a alors :
| − 5, 4| = OA = 5, 4;
|7, 2| = OB = 7, 2;
| − 1| = OC = 1;
|0| = OO = 0;
Remarque :
Pour tout réel x, on a | − x| = |x|.
Propriété 3.4 Soit x un nombre réel.
– Si x ≥ 0, alors |x| = x
– Si x ≤ 0, alors |x| = −x
Démonstration :
– Si x ≥ 0, alors OM = xM − xO = x − 0 = x
– Si x ≤ 0, alors OM = xO − xM = 0 − x = −x
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B. Fonction valeur absolue
Définition 3.8 La fonction valeur absolue est la fonction qui à un réel x associe sa valeur absolue :
f : x 7→ |x|
En utilisant la propriété 3.4, on obtient les variations et la représentation graphique de cette fonction.
Tableau de variations :
x
−∞
0
+∞
f (x)
0
représentation graphique :
Il s’agit de la réunion de deux demi-droites : la fonction valeur absolue est affine par morceaux.
Pour tout réel x on a f (−x) = | − x| = |x| = f (x), donc f est paire, et sa courbe représentative est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété 3.5 Soient x, y ∈ R.
(i) |x| ≥ 0
(ii) | − x| = |x|
(iii) |x| = |y| ⇔ (x = y ou x = −y)
(iv) |x.y| = |x|.|y|, et pour y 6= 0, | xy | =
√
(v) x2 = |x|
|x|
|y|
Démonstration ces propriétés se démontrent à partir de la définition 3.7, en raisonnant au cas par cas
selon les signes de x et de y.
5. Opérations sur les fonctions
A. Égalité
Définition 3.9 Deux fonctions f et g sont dites égales ssi :
– elles ont le même ensemble de définition
– pour tout x de cet ensemble, on a f (x) = g(x)
Dans ce cas, leurs courbes représentatives sont confondues.
Les fonctions que l’on considère ont souvent des ensembles de définition différents ; dans ce cas, on travaille sur
l’intersection D = Df ∩ Dg des deux ensembles de définition, c’est-à-dire sur la partie D de R où les fonctions
sont toutes les deux définies. On dit que l’on “restreint” les fonctions à D.
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B. Opérations simples
Définition 3.10 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque.
La fonction f + k est la fonction qui à x ∈ I associe f (x) + k.
Exemple :
Dans cet exemple, f (x) = x2 et k = −3 :
la fonction x2 − 3 a le même sens de variation que la fonction
carré,
et la courbe représentative de la fonction x2 − 3 est obtenue à
partir
de celle de la fonction carré par une translation de vecteur −3~j
(décalage de 3 unités vers le bas).
Propriété 3.6 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque.
La fonction f + k a le même sens de variation que la fonction f sur I.
Démonstration Supposons par exemple que f est croissante sur un intervalle J ⊂ I. Alors pour tous
a, b ∈ J tels que a < b, on a f (a) < f (b), donc f (a) + k < f (b) + k, et la fonction f + k est elle aussi
croissante sur J.
On raisonne de même sur les intervalles où f est décroissante pour montrer que f + k l’est aussi.
Propriété 3.7 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque.
La courbe représentative de la fonction f + k se déduit de celle de f par translation de vecteur k~j.
Démonstration Soit Cf la courbe représentative de f . Soient x ∈ I et M (x; y) le point de Cf d’abscisse x.
f + k est la fonction définie par : x 7−→ (f + k)(x) = f (x) + k.
Soit M 0 le point de coordonnées M 0 (x; f (x) + k). M 0 est le point de la courbe représentative de f + k qui a
pour abscisse x. On a :
M (x; y) ∈ Cf
⇔
y = f (x)
⇔ y + k = f (x) + k
⇔ (f + k)(x) = y + k
⇔ (f + k)(x) − y = k
−−−→0
⇔
M M = k~j
Donc la courbe représentative de la fonction f + k est bien la translatée de Cf par le vecteur k~j.
Remarque :
Plus généralement, on peut définir la somme de deux fonctions f et g sur un intervalle où elles sont toutes les
deux définies par :(f + g) : x 7−→ f (x) + g(x).
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Définition 3.11 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque.
La fonction kf est la fonction qui à x ∈ I associe k × f (x).
Exemple :
Dans cet exemple, sur l’ensemble de définition de u, la fonction g est définie par g(x) = 0, 5 × u(x), et la
fonction f par g(x) = −1, 5 × u(x).
Les fonctions u et g ont même sens de variation, mais u et f ont des sens de variation contraires. De plus, la
multiplication par un réel de valeur absolue inférieure à 1 “aplatit” la courbe, alors que la multiplication par
un réel de valeur absolue supérieure à 1 augmente les amplitudes de ses variations.
Propriété 3.8 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. Alors :
– si k > 0, les fonctions f et kf ont le même sens de variation sur I
– si k < 0, les fonctions f et kf ont des sens de variation contraires sur I
(si k = 0, kf est constante égale à 0 sur I).
Démonstration Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque.
Considérons un intervalle J ⊂ I sur lequel f soit croissante. Soient a, b ∈ J tels que a < b. f est croissante
sur J, donc f (a) < f (b).
– si k > 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est croissante sur J
– si k < 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est décroissante sur J
On étudierait de même le sens de variation de kf sur les sous-intervalles de I sur lesquels f est
décroissante.
Propriété 3.9 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque.
La courbe représentative de kf se déduit de celle de f en multipliant par k l’ordonnée de chaque point
de Cf .
Démonstration M 0 (x; y 0 ) ∈ Ckf ⇔ (y 0 = kf (x)), or le point M (x; f (x)) est par construction un point de Cf .
Remarque :
Plus généralement, on peut définir le produit de deux fonctions f et g sur un intervalle où elles sont toutes les
deux définies par :(f × g) : x 7−→ f (x) × g(x).
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C. Composition avec la fonction inverse
Définition 3.12 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I et qui ne s’annule pas sur I.
1
est appelée fonction inverse de u. On note f = u1 .
La fonction définie sur I par f : x ∈ I 7→ u(x)
exemple :
Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction inverse de u est définie sur tout intervalle I ⊂ R − {3}, et s’écrit
1
f = u1 : x ∈ I 7→ 3−x
.
Ainsi, si la fonction u s’annule en certains points, il suffit de restreindre l’étude à un intervalle sur lequel elle
ne s’annule pas.
Propriété 3.10 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I,ne s’annulant pas sur I et de
signe constant sur I.
Alors la fonction u1 a un sens de variation contraire à celui de u sur I.
Démonstration Soient I un intervalle de R, et u définie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant
sur I. Supposons par exemple que u est croissante sur un intervalle J ⊂ I.
Pour tous a, b ∈ J tels que a 6 b, comme la fonction u est croissante on a : u(a) 6 u(b) ; comme la fonction
1
1
> u(b)
(qui sont bien définis car u ne s’annule pas), et donc la fonction u1
inverse est décroissante, on a : u(a)
est décroissante sur J, contrairement à la fonction u.
On traite de même le cas des intervalles où u est décroissante.
exemple :
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u définie sur [−3; 5].
Après vous être assuré(e) que u ne s’annule pas et est de signe constant sur l’intervalle [−3; 5], complétez le
tableau de variations de la fonction u1 .
x
−3
−1
4
0
3
5
5
u
3
2
1
1
u
D. Composition avec la fonction racine carrée
Définition 3.13 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I et positive sur I (i.e. pour
tout x ∈ I, u(x) > 0.
p
√
La fonction définie sur I par f : x ∈ I 7→ u(x) est appelée fonction racine carrée de u. On note f = u.
exemple :
Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction racine carrée
sur tout intervalle I ⊂] − ∞; +3], car
√
√ de u est définie
pour x ∈] − ∞; +3], on a 3 − x > 0. Elle s’écrit f = u : x ∈ I 7→ 3 − x.
Ainsi, si la fonction u est négative en certains points, il suffit de restreindre l’étude à un intervalle sur lequel
elle ne s’annule pas.
Propriété 3.11 Soient
I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I,positive sur I.
√
Alors la fonction u a même sens de variation que u sur I.
Démonstration Soient I un intervalle de R, et u définie sur I,positive sur I.
Supposons par exemple que u est croissante sur un intervalle J ⊂ I.
Pour tous a, b ∈ J tels que a 6 b, comme
la fonction
u est croissante on a : u(a) 6 u(b) ; comme la fonction
p
p
racine carr
ée
est
croissante,
on
a
:
u(a)
6
u(b)
(qui
sont bien définis car u est positive), et donc la
√
fonction u est croissante sur J, comme la fonction u.
On traite de même le cas des intervalles où u est décroissante.
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