Dm7 Etude qualitative co

Correction du devoir maison no7
Exercice 1
Montrer que la fonction fd´efinie par f(x) = 3x+ 1 est croissante sur R.
Soient x1et x2deux nombres r´eels.
Supposons x1< x2.
f(x1)−f(x2) = 3x1+ 1 −(3x2+ 1) = 3x1−3x2= 3(x1−x2).
Comme x1< x2, on a x1−x2<0, et donc 3(x1−x2)<0.
Ainsi, f(x1)< f(x2).
On a montr´e que pour tous x1et x2r´eels, si x1< x2, alors f(x1)< f(x2).
Donc fest strictement croissante sur R.
Exercice 2
Soit fune fonction dont le tableau de variation est donn´e ci-dessous.
x−31 4
f(x)
−2
1
−1
1. Comparer f(2,5) et f(3,4). Justifier.
2,5<3,4 et fest d´ecroissante sur l’intervalle [1; 4] qui contient ces
deux nombres.
Donc f(2,5) >f(3,4).
2. Comparer f(−0,4) et f(−0,1). Justifer.
−0,4<−0,1 et fest croissante sur l’intervalle [−3,1] qui contient ces
deux nombres.
Donc f(−0,4) 6f(−0,1).
3. On admet de plus que fv´erifie les conditions suivantes :
Les ant´ec´edents de 0 par fsont −1 et 2, et f(0) = 1
2.
Tracer une courbe de fonction compatible avec toutes les donn´ees de
l’´enonc´e.
-1
-2
-3
1
1 2 3 4-1-2-3-4 0−→
i
−→
j
Correction du devoir maison no7
Exercice 1
Montrer que la fonction fd´efinie par f(x) = 3x+ 1 est croissante sur R.
Soient x1et x2deux nombres r´eels.
Supposons x1< x2.
f(x1)−f(x2) = 3x1+ 1 −(3x2+ 1) = 3x1−3x2= 3(x1−x2).
Comme x1< x2, on a x1−x2<0, et donc 3(x1−x2)<0.
Ainsi, f(x1)< f(x2).
On a montr´e que pour tous x1et x2r´eels, si x1< x2, alors f(x1)< f(x2).
Donc fest strictement croissante sur R.
Exercice 2
Soit fune fonction dont le tableau de variation est donn´e ci-dessous.
x−31 4
f(x)
−2
1
−1
1. Comparer f(2,5) et f(3,4). Justifier.
2,5<3,4 et fest d´ecroissante sur l’intervalle [1; 4] qui contient ces
deux nombres.
Donc f(2,5) >f(3,4).
2. Comparer f(−0,4) et f(−0,1). Justifer.
−0,4<−0,1 et fest croissante sur l’intervalle [−3,1] qui contient ces
deux nombres.
Donc f(−0,4) 6f(−0,1).
3. On admet de plus que fv´erifie les conditions suivantes :
Les ant´ec´edents de 0 par fsont −1 et 2, et f(0) = 1
2.
Tracer une courbe de fonction compatible avec toutes les donn´ees de
l’´enonc´e.
-1
-2
-3
1
2
1 2 3 4 5-1-2-3-4 0−→
i
−→
j