Dm7 Etude qualitative co

Correction du devoir maison no 7
Correction du devoir maison no 7
Exercice 1
Montrer que la fonction f définie par f (x) = 3x + 1 est croissante sur R.
Soient x1 et x2 deux nombres réels.
Supposons x1 < x2 .
f (x1 ) − f (x2 ) = 3x1 + 1 − (3x2 + 1) = 3x1 − 3x2 = 3(x1 − x2 ).
Comme x1 < x2 , on a x1 − x2 < 0, et donc 3(x1 − x2 ) < 0.
Ainsi, f (x1 ) < f (x2 ).
On a montré que pour tous x1 et x2 réels, si x1 < x2 , alors f (x1 ) < f (x2 ).
Donc f est strictement croissante sur R.
Exercice 1
Montrer que la fonction f définie par f (x) = 3x + 1 est croissante sur R.
Soient x1 et x2 deux nombres réels.
Supposons x1 < x2 .
f (x1 ) − f (x2 ) = 3x1 + 1 − (3x2 + 1) = 3x1 − 3x2 = 3(x1 − x2 ).
Comme x1 < x2 , on a x1 − x2 < 0, et donc 3(x1 − x2 ) < 0.
Ainsi, f (x1 ) < f (x2 ).
On a montré que pour tous x1 et x2 réels, si x1 < x2 , alors f (x1 ) < f (x2 ).
Donc f est strictement croissante sur R.
Exercice 2
Soit f une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
Exercice 2
Soit f une fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
x
1
−3
x
4
1
−3
1
4
1
f (x)
f (x)
−2
−1
−2
−1
1. Comparer f (2, 5) et f (3, 4). Justifier.
2, 5 < 3, 4 et f est décroissante sur l’intervalle [1; 4] qui contient ces
deux nombres.
Donc f (2, 5) > f (3, 4).
1. Comparer f (2, 5) et f (3, 4). Justifier.
2, 5 < 3, 4 et f est décroissante sur l’intervalle [1; 4] qui contient ces
deux nombres.
Donc f (2, 5) > f (3, 4).
2. Comparer f (−0, 4) et f (−0, 1). Justifer.
−0, 4 < −0, 1 et f est croissante sur l’intervalle [−3, 1] qui contient ces
deux nombres.
Donc f (−0, 4) 6 f (−0, 1).
2. Comparer f (−0, 4) et f (−0, 1). Justifer.
−0, 4 < −0, 1 et f est croissante sur l’intervalle [−3, 1] qui contient ces
deux nombres.
Donc f (−0, 4) 6 f (−0, 1).
3. On admet de plus que f vérifie les conditions suivantes :
1
Les antécédents de 0 par f sont −1 et 2, et f (0) = .
2
Tracer une courbe de fonction compatible avec toutes les données de
l’énoncé.
3. On admet de plus que f vérifie les conditions suivantes :
1
Les antécédents de 0 par f sont −1 et 2, et f (0) = .
2
Tracer une courbe de fonction compatible avec toutes les données de
l’énoncé.
2
1
→
−
j
b
b
b
-4
-3
-2
0
-1
-1
b
1
−
→
j
b
-2
-3
−
→
i 1
2
b
b
b
b
3
4
-4
-3
b
-2
0
-1
b
-1
-2
-3
−
→
i 1
2
3
4
b
5