Baccalauréat S Probabilités 1 Polynésie juin 2010

[Baccalauréat S Probabilités \
Index des exercices de probabilité de 1999 à juin 2010
Tapuscrit : DENIS VERGÈS
1 Polynésie juin 2010 Retour au tableau
Des robots se trouvent au centre de gravité O d’un triangle de sommets S, I et X.
Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :
– à chaque étape, il passe par l’un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point
O ;
– les robots sont programmés de telle sorte que, lors d’une étape, la probabilité de
passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la proba-
bilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet
I ;
– les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ;
– on ne tient pas compte des passages par O.
Partie A - Un seul robot
Un seul robot se trouve au point O.
1. Démontrer qu’à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I
est égale à 1
5.
2. On note E l’évènement : « au cours des trois étapes, le robot passe successive-
ment par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre ».
Démontrer que la probabilité de E est égale à 4
125.
3. On note F l’évènement : « au cours des trois étapes, le robot passe exactement
par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque ».
Déterminer la probabilité de F.
Partie B - Plusieurs robots
Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns
des autres.
Quel nombre minimal nde robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l’évè-
nement : « au moins l’un des robots passe successivement par les sommets S, I et X
dans cet ordre » soit supérieure ou égale à 0,99 ?

Baccalauréat S A. P. M. E. P.
2 Métropole 22 juin 2010 Retour au tableau
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat
portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse
choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour
une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3
sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2
boules blanches et 1 boule noire est égale à :
•21
40 •7 10 ×6 9×1 3•7 10 ×7 10 ×1 3
2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ;
on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu
3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
•33×72
105•¡5
2¢×µ3
10¶2
×µ7
10¶3
•¡5
2¢×µ3
10¶3
×µ7
10¶2
3. De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé
cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance
un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés
bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est
égale à :
•7
60 •14 23 •
7
10 ×1 6
1
2×1 6+1 2×1 4
4. On note Xune variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
λ. (λétant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l’évènement
[1 6X63] est égale à :
•e−λ−e−3λ•e−3λ−e−λ•e−λ
e−3λ
3 La Réunion 22 juin 2010 Retour au tableau
Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréduc-
tibles.
Partie I :
Exercices sur les probabilités 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.
On dispose d’un dé cubique Aparfaitement équilibré possédant une face verte, deux
faces noires et trois faces rouges.
Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On
note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
1. Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient
noires.
2. Soit l’évènement C : « à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues sont de la même
couleur ».
Démontrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 7
18.
3. Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient
de couleurs différentes.
4. À l’issue d’un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur,
quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?
Partie II :
On dispose d’un second dé cubique Béquilibré présentant quatre faces vertes et
deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé
B ;
•si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé Bet on note la couleur de
la face obtenue ;
•si la face obtenue est noire, on lance le dé Aet on note la couleur de la face
obtenue.
1. a. Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer, sa-
chant que l’on a obtenu une face verte au premier lancer ?
2. Montrer que la probabilité d’obtenir deux faces vertes est égale à 4
9.
3. Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer ?
4 Centres étrangers 14 juin 2010 Retour au tableau
Question 3
La durée de vie, exprimée en heures, d’un jeu électronique, est une variable aléatoire
Xqui suit la loi exponentielle de paramètre λ=0,0003.
On rappelle que, pour tout t>0, p(X6t)=Zt
0
λe−λxdx.
Affirmation :
Exercices sur les probabilités 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.
La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à 2 000
heures est inférieure à 0,5.
Question 4
Aet Bsont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient :
p(A)=0,4, pA(B)=0,7 et pA³B´=0,1.
Affirmation :
La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 14
41.
5 Asie 21 juin 2010 Retour au tableau
Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéolo-
gie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espa-
cés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’évènement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn, on note pnla probabilité
de l’évènement Vn.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :
•si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi
positif ;
•si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi
négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : p1=1.
1. Calculer les probabilités des évènements suivants :
a. A : « les 2eet 3esondages sont positifs » ;
b. B : « les 2eet 3esondages sont négatifs ».
2. Calculer la probabilité p3pour que le 3esondage soit positif.
3. ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé :
pn
Vn+1
Vn+1
1−pn
Vn+1
Vn+1
4. Pour tout entier naturel nnon nul, établir que : pn+1=0,5pn+0,1.
Exercices sur les probabilités 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.
5. On note ula suite définie, pour tout entier naturel nnon nul par : un=pn−0,2.
a. Démontrer que uest une suite géométrique, en préciser le premier terme et
la raison.
b. Exprimer pnen fonction de n.
c. Calculer la limite, quand ntend vers +∞, de la probabilité pn.
6 Antilles-Guyane 18 juin 2010 Retour au tableau
Pour chacune des questions suivantes, une ou deux des réponses proposées sont cor-
rectes.
Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de
0,25 point.
Il n’y a pas de pénalité en cas d’absence de réponse. Aucune justification n’est atten-
due.
Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l’exercice est 0.
Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maxi-
mum).
1. On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :
A : 5
8B : 21 32 C : 11 32 D : 3 8
2. On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :
A : 105
248 B : ¡21
2¢
¡32
2¢C : 212
322D : 52 82
3. On suppose que la durée d’attente à un guichet de service, exprimée en heure,
suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1].
La probabilité que la durée d’attente d’une personne prise au hasard soit com-
prise entre 15 min et 20 min est :
A : 1
3B : 1 5C : 1 12 D : 1 4
4. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépen-
damment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en
panne durant la période de garantie est égale à 0,15.
La probabilité pour qu’exactement 9 appareils soient en parfait état de marche
à l’issue de la période de garantie est égale à :
Exercices sur les probabilités 5