NOM :

1/3
NOM :
PrÄnom :
Classe : 3Åme1-2
Date : 07/01/13
MATHÄMATIQUES
Devoir maison nÅ2 - corrigÇ
Exercice nÅ1 :
Partie A :
avec un tableur
(facultatif)
sur votre copie
Partie B :
1) On pose x 
(obligatoire)
6 2
.
2
a) V€rifier que x > 0.
A la calculatrice, x  0,5176, donc x > 0.
b) Calculer x• sous la forme    3 o‚  et  sont des entiers.


2



2
6 2
6 2
6 2
 6 2
2
2
x  
,
donc
x

.
 
2
22
4


6 6  6 2  2 6  2 2
x2 
.
4
6  2 12  2 8  2 4  3 8  2 4  3
2
Donc x 


.
4
4
4
Donc x 2 


8  4 3 4 2  4 3 4 2  3


. On peut simplifier par 4.
4
4 1
4 1
Finalement x 2 
2  3  2 
1
3.
c) D€duire de ce qui pr€cƒde que x  2  3 . Justifier trƒs soigneusement.
2
Si x 
2  3  2 
1
3 , alors x  2  3
ou
x   2 3 .
Comme x > 0, alors x  2  3 .
2) a) On pose a 
6 2
.A l’aide de la calculatrice, montrer que sin 15…  a, au millioniƒme prƒs.
4
A la calculatrice, a  0,258819. A la calculatrice, sin 15€  0,258819. Donc sin 15€  a.
b) On admet que sin 15 
6 2
. Calculer la valeur exacte de cos 15… puis de tan 15…
4
sans radical au d€nominateur.
sin•x + cos•x = 1. Donc sin•15€ + cos•15€ = 1. Donc cos•15€ = 1 – sin•15€.
2
 6 2
Donc cos 2 15  1  
  1 

4



6 2
4
2

2
2
. Donc cos 15 
On dƒveloppe le numƒrateur, et on obtient cos 2 15 
16

16

6 2

6 2
16
.
16 8  4 3 16  8  4 3 8  4 3



.
16
16
16
16
Tournez, SVP →
2/3

4 2  3
Donc cos 2 15 
4 4
  2  3  .
4
Comme le cosinus d’un angle aigu est toujours positif, cos 15 
2  3 
4
2 3
2 3

.
2
4
2
 6 2
2  3  
 . Donc
2


En raisonnant comme … la question 1,
2 3 
6 2
.
2
6 2
6 2 1
6 2
2

 . Donc cos 15 
.
2
2
2
4
Donc cos 15 
sin 15
sin x
, alors tan 15 

cos 15
cos x
Comme tan x 
  8  4 3  8  4 3 , en utilisant la question 1,
62
6
6  2  6  2
o† on a dƒveloppƒ  6  2  6  2   8  4 3 .
4 2  3  2  3 
Donc tan 15 

. Finalement tan 15  2  3 .
Donc tan 15 



2 
6 2
6 2
4
6 2
4



.
4
6 2
6 2
6 2
4
6 2
6 2
4 1
Exercice nÅ2 :
2
2
1
sur votre copie
(obligatoire)
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Vous justifierez soigneusement vos r€ponses.
 et B
 sont deux angles compl€mentaires, alors cos 2 A
  cos 2 B
  1.
1) Si A
 et B
 sont deux angles complƒmentaires, alors A
 B
  90 , donc B
  90  A
.
Si A
  cos 2 B
  cos 2 A
  cos 2 90Ä-A
 . Comme cos 90Ä-A
  sin A
 , on obtient
Donc cos 2 A
  cos 2 B
  cos 2 A
  sin 2 A
  1 . L’affirmation est vraie.
cos 2 A
sin 60
.
tan 60
sin 60
On a tan 60 
, donc tan 60€ x cos 60€ = sin 60€.
cos 60
sin 60
Donc cos 60 
. L’affirmation est vraie.
tan 60
2) cos 60 
 est un angle aigu, alors cos E
  sin E

3) Si E


2
 1.
 est un angle aigu, alors cos 2 E
  sin 2 E
  1.
Si E
  sin E

Mais cos E
2

   cos E  sin E   cos E  sin E  .
  sin E
  cos E
  cos E
  cos E
  sin E
  sin E
  cos E
  sin E
  sin E
.
Donc  cos E

2
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3/3
  sin E

Donc cos E


2
  2  cos E
  sin E
  sin 2 E
  1  2  cos E
  sin E
.
 cos 2 E
  sin E
  0 , alors cos E
  sin E

Donc si 2  cos E


2
 1.
L’affirmation n’est pas (toujours) vraie.
 est inf€rieure † 45…, alors cos 45  A
  sin 45  A
 .
4) Si la mesure de l’angle A




 est infƒrieure … 45€, alors 45  A
 est un angle aigu.
Si la mesure de l’angle A
  sin 90  45  A
  sin 90  45  A
 .
cos 45  A

 

  sin 45  A
Donc cos  45  A
    . L’affirmation est vraie.



 tel que cos A
  4 et tan A
3.
5) Il existe un angle A
5
4
4
 tel que cos A
  4.
est compris entre 0 et 1. Donc il existe un angle aigu A
5
5
2
  sin 2 A
  1 et sin 2 A
  1  cos 2 A
  1   4   1  16  9 .
Alors cos A
 
25 25
5
  9 3.
Comme le sinus d’un angle aigu est toujours positif, alors sin A
25 5
3

sin
A
3 5 3

Donc tan A
 5    . L’affirmation est vraie.
 4 5 4 4
cos A
5
2
  1 , alors ABC est isocƒle en A.
6) Si ABC est un triangle rectangle en A tel que tan B
  1 , alors B
  45 .
A l’aide de la calculatrice, si tan B
  90  45  45 .
Donc l’autre angle aigu du triangle rectangle ABC mesure C
ABC a 2 angles ƒgaux, c’est un triangle isoc„le en A. L’affirmation est vraie.
7) cos 30… + cos 45… + cos 60… = sin 30… + sin 45… + sin 60….
cos 30€ = sin (90€ – 30€) = sin 60€.
cos 60€ = sin (90€ – 60€) = sin 30€.
cos 45€ = sin (90€ – 45€) = sin 45€.
Donc cos 30€ + cos 45€ + cos 60€ = sin 30€ + sin 45€ + sin 60€. L’affirmation est vraie.
oooo
ooooo