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NOM :
PrÄnom :
Classe : 3Åme1-2
Date : 07/01/13
MATHÄMATIQUES
Devoir maison nÅ2 - corrigÇ
Exercice nÅ1 :
Partie A:avec un tableur (facultatif)
Partie B:sur votre copie (obligatoire)
1) On pose
6 2
2
x .
a) V€rifier que x > 0.
A la calculatrice, x0,5176, donc x> 0.
b) Calculer x• sous la forme
3
o‚ et sont des entiers.
2
2
2
2
6 2
6 2
2 2
x
  , donc
2
6 2 6 2
4
x .
2
6 6 6 2 2 6 2 2
4
x       .
Donc 2
6 2 12 2 8 2 4 3 8 2 4 3
4 4 4
x         .
Donc
2
4 2 3
8 4 3 4 2 4 3
4 4 1 4 1
x
  . On peut simplifier par 4.
Finalement
2
2 3
2 3
1
x    .
c) D€duire de ce qui pr€cƒde que
2 3
x  . Justifier trƒs soigneusement.
Si
2
2 3
2 3
1
x    , alors
2 3 ou 2 3
x x     .
Comme x> 0, alors
2 3
x  .
2) a) On pose
6 2
4
a .A l’aide de la calculatrice, montrer que sin 15… a, au millioniƒme prƒs.
A la calculatrice, a0,258819. A la calculatrice, sin 15€ 0,258819. Donc sin 15€ a.
b) On admet que
6 2
sin 15
4
  . Calculer la valeur exacte de cos 15… puis de tan 15…
sans radical au d€nominateur.
sin•x+ cos•x= 1. Donc sin•15€ + cos•15€ = 1. Donc cos•15€ = 1 –sin•15€.
Donc
2
2
2
2
6 2
6 2
cos 15 1 1
4 4
  . Donc
2
6 2 6 2
16
cos 15
16 16
   .
On dƒveloppe le numƒrateur, et on obtient 2
16 8 4 3 16 8 4 3 8 4 3
cos 15
16 16 16 16
     .
Tournez, SVP →

2/3
Donc
2
4 2 3 2 3
cos 15
4 4 4
.
Comme le cosinus d’un angle aigu est toujours positif,
2 3
2 3 2 3
cos 15
4 2
4
    .
En raisonnant comme … la question 1,
2
6 2
2 3
2
. Donc
6 2
2 3
2
  .
Donc
6 2
6 2 1
2
cos 15
2 2 2
. Donc
6 2
cos 15
4
  .
Comme
sin
tan
cos
x
x
x
, alors
6 2
sin 15 6 2 4 6 2
4
tan 15
cos 15 4
6 2 6 2 6 2
4
   .
Donc
2 2
6 2 6 2
8 4 3 8 4 3
tan 15
6 2
6 2 6 2 6 2   , en utilisant la question 1,
o† on a dƒveloppƒ
6 2 6 2 8 4 3
    .
Donc
4 2 3 2 3
tan 15
4 1 1
. Finalement
tan 15 2 3
   .
Exercice nÅ2 :sur votre copie (obligatoire)
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Vous justifierez soigneusement vos r€ponses.
1) Si
A
et
B
sont deux angles compl€mentaires, alors
2 2
cos Acos B 1
.
Si
A
et
B
sont deux angles complƒmentaires, alors
A B 90
, donc
B 90 A
.
Donc
2 2 2 2
cos Acos Bcos Acos 90Ä-A
   . Comme
cos 90Ä-A sin A
, on obtient
2 2 2 2
cos Acos Bcos Asin A 1
.L’affirmation est vraie.
2)
sin 60
cos 60
tan 60
.
On a
sin 60
tan 60
cos 60
, donc tan 60€ xcos 60€ = sin 60€.
Donc
sin 60
cos 60
tan 60
.L’affirmation est vraie.
3) Si
E
est un angle aigu, alors
2
cos Esin E 1
.
Si
E
est un angle aigu, alors
2 2
cos Esin E 1
.
Mais
2
cos Esin Ecos Esin Ecos Esin E
    .
Donc
2
cos Esin Ecos Ecos Ecos Esin Esin Ecos Esin Esin E
         .
Changez de page ➡

3/3
Donc
2
2 2
cos Esin Ecos E 2 cos Esin Esin E 1 2 cos Esin E
          .
Donc si
2cos Esin E 0
,alors
2
cos Esin E 1
.
L’affirmation n’est pas (toujours) vraie.
4) Si la mesure de l’angle
A
est inf€rieure † 45…, alors
cos 45 A sin 45 A
     .
Si la mesure de l’angle
A
est infƒrieure … 45€, alors
45 A
est un angle aigu.
cos 45 A sin 90 45 A sin 90 45 A
           .
Donc
cos 45 A sin 45 A
     .L’affirmation est vraie.
5) Il existe un angle
A
tel que
4
cos A
5
et
3
tan A
4
.
4
5
est compris entre 0 et 1. Donc il existe un angle aigu
A
tel que
4
cos A
5
.
Alors
2 2
cos Asin A 1
et
2
2 2
416 9
sin A 1 cos A 1 1
5 25 25
  .
Comme le sinus d’un angle aigu est toujours positif, alors
9 3
sin A
25 5
.
Donc
3
sin A 3 5 3
5
tan A4
5 4 4
cos A
5
.L’affirmation est vraie.
6) Si ABC est un triangle rectangle en A tel que
tan B 1
, alors ABC est isocƒle en A.
A l’aide de la calculatrice, si
tan B 1
, alors
B 45
.
Donc l’autre angle aigu du triangle rectangle ABC mesure
C 90 45 45
.
ABC a 2 angles ƒgaux, c’est un triangle isoc„le en A. L’affirmation est vraie.
7) cos 30… + cos 45… + cos 60… = sin 30… + sin 45… + sin 60….
cos 30€ = sin (90€ –30€) = sin 60€.
cos 60€ = sin (90€ –60€) = sin 30€.
cos 45€ = sin (90€ –45€) = sin 45€.
Donc cos 30€ + cos 45€ + cos 60€ = sin 30€ + sin 45€ +sin 60€. L’affirmation est vraie.
ooooooooo