Université Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2007-2008

Universit´e Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2007-2008
2007-09-25-mat231_feuille_exos_02.tex (25 septembre 2007)
Feuille d’exercices no2
Exercice 2.1 Une division euclidienne a=bq +r, 0≤r < b, a pour dividende a= 557 et
pour reste r= 85. Quelles sont les possibilit´es pour le diviseur (b) et pour le quotient (q) ?
Exercice 2.2 Une division euclidienne a=bq +r, 0≤r < b, a pour dividende a= 1517 et
pour quotient q= 75. Quelles sont les possibilit´es pour le diviseur (b) et pour le reste (r) ?
Exercice 2.3 Soient a, b ∈N•et qle quotient de la division euclidienne de apar b. Quel
est le quotient de la division euclidienne de abn−1par bn+1, o`u n∈N•.
Exercice 2.4 Les divisions de 4373 et 826 par un mˆeme nombre bont pour restes respectifs
8et 7. Quelles sont les possibilit´es pour b?
Exercice 2.5 ´ Ecrire les tables d’addition et de multiplication en base 5. Les utiliser pour
calculer 132 + 404 et 23 ×134 en base 5.
Exercice 2.6 Montrer que si la base de num´eration est au moins ´egale `a 8, le nombre 672
est divisible par 32. Quel est alors le quotient ?
Exercice 2.7 En base 12, d´eterminer 11 4sans passer par la base 10.
Exercice 2.8 Soit a∈N, a > 1. V´erifier que a3+ 1 = (a+ 1)(a2−a+ 1). En d´eduire que
le nombre entier qui s’´ecrit 1001 en base aest divisible par 11. D´eterminer le quotient de la
division de 1001 par 11 (on pourra repr´esenter le nombre a−1par α).
Exercice 2.9 ´ Ecrire en base 2les nombres qui sont donn´es en base 8par 5,7,1517. En
d´eduire une m´ethode pratique de conversion de la base 8`a la base 2. La justifier.

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Exercice 2.10 D´eterminer un crit`ere de divisibilit´e par 7en base 11. Le nombre ndont la
repr´esentation en base 11 est 10934 est-il divisible par 7? Le nombre ndont la repr´esentation
en base 10 est 10934 est-il divisible par 7?
Exercice 2.11 Un groupe de 17 pirates a rassembl´e un tr´esor de xpi`eces d’or (x≤500).
`
A l’issue d’un partage ´equitable, il reste 7pi`eces. Une bagarre s’ensuit, un mort. Nouveau
partage ´equitable, il reste 11 pi`eces. Nouvelle bagarre, nouveau mort et nouveau partage. Les
15 pirates restant ont le mˆeme nombre de pi`eces. D´eterminer la taille du tr´esor.
Exercice 2.12 Soient a
bet c ddeux fractions ´ecrites sous forme r´eduite, avec a, c ∈Z,
b, d ∈N•et pgcd(a,b) = pgcd(c,d) = 1. On suppose que a
b+c d∈Z. Que peut-on en d´eduire
sur b, d ?
Exercice 2.13 On se donne a∈N, a ≥2. On se donne ´egalement
x:= xpap+··· +x0avec xp6= 0,
et
y:= yqaq+··· +y0avec yq6= 0,
deux nombres xet y´ecrits en base a(0≤xi< a pour ide 0`a pet 0≤yj< a pour jde 0
`a q).
1. Montrer que l’on a xpap≤x≤xpap+ap−1.
2. Montrer que p < q implique que x < y.
3. Montrer que p=qet xp< ypimpliquent que x < y.
4. Montrer que p=q,xp=yp, . . . , xr+1 =yr+1 et xr< yrpour un certain rtel que
0≤r < p impliquent que x < y.
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’unicit´e de l’´ecriture en base a.
Exercice 2.14 Montrer que √2n’est pas un nombre rationnel.
Exercice 2.15 Soient a, b ∈Z. Montrer que
(pgcd(a + b,ab) = 1) ⇒(pgcd(a,b) = 1).
La r´eciproque est-elle vraie ?
Exercice 2.16 Soit pun nombre premier et aun entier quelconque.
Montrer que pgcd(a,p) = p ou bien pgcd(a,p) = 1.
Exercice 2.17 Soient a, b ∈N•. Combien y a-t-il d’entiers divisibles par bdans {ka |1≤
k≤b}.

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Exercice 2.18 On consid`ere la suite d’entiers naturels d´efinie par
u1:= 1, u2:= 1 et, si n≥3, un:= un−1+ 2un−2.
1. Calculer u3, u4, u5, u6.
2. D´emontrer que pour tout n≥1, le terme unest impair.
3. D´emontrer que pour tout n≥1, les termes unet un+1 sont premiers entre eux, ainsi
que unet un+2.
4. D´emontrer que pour tout n≥1, et tout p≥2, on a un+p=un+1up+ 2unup−1.
5. D´emontrer que l’ensemble des diviseurs communs `a un+pet unest ´egal `a l’ensemble
des diviseurs communs `a unet up. En d´eduire que si rest le reste de la division
euclidienne de mpar nalors
pgcd(um,un) = pgcd(ur,un)et pgcd(um,un) = upgcd(m,n).
Exercice 2.19 D´emonter que deux entiers successifs sont toujours premiers entre eux. En
d´eduire que pgcd(2n + 5,n2+ 5n + 6) = 1 pour tout entier n.
Exercice 2.20 Pour n > 0, on pose
Sn=
n
X
p=1
p3.
On se propose de calculer le pgcd de Snet Sn+1.
1. Soient deux entiers naturels non nuls a, b, tels que pgcd(a,b) = 1. Montrer que
pgcd(a2,b2) = 1.
2. Montrer que pour tout n > 0, on a Sn=n(n+1)
22.
3. Cas o`u n= 2kest pair.
(a) Montrer que pgcd(S2k,S2k+1) = (2k + 1)2pgcd(k2,(k + 1)2).
(b) Calculer pgcd(k,k + 1).
(c) Calculer pgcd(S2k,S2k+1).
4. Cas o`u n= 2k+ 1 est impair.
(a) D´emontrer que les entiers 2k+ 1 et 2k+ 3 sont premiers entre eux.
(b) Calculer pgcd(S2k+1,S2k+2).
5. D´eduire des questions pr´ec´edentes qu’il existe une unique valeur n, que l’on d´etermi-
nera, pour laquelle Snet Sn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 2.21 ´ Enoncer le principe du crible d’Eratosth`ene (au besoin, consulter des livres
ou faire une recherche sur la Toile). Transposer ce principe en un algorithme sur Maple.
Exercice 2.22 On se propose de d´eterminer tous les facteurs premiers de n≥2. Montrer
qu’il suffit de chercher les diviseurs premiers tel que p2≤n. Application : ´ecrire la liste des
nombres premiers plus petits que 50.

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Exercice 2.23 Utiliser la d´ecomposition en facteurs premiers pour d´eterminer le pgcd et le
ppcm de deux nombres aet b.
Exercice 2.24 Quelle condition doivent v´erifier deux entiers a, b non nuls et tels que a≥b
pour que a2−b2soit premier (condition n´ecessaire, est-ce suffisant) ?
Exercice 2.25 Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On pose m:= n! + 1. Les entiers
m+ 1, m + 2, . . . , m +n−1peuvent-ils ˆetre premiers ? En d´eduire une liste de 1000 entiers
cons´ecutifs, tous non premiers.
Exercice 2.26 Soit pun nombre premier. R´esoudre, dans Nl’´equation
x2−y2=p.
Exercice 2.27 Montrer que 951842 −4est un multiple de 5.
Exercice 2.28 ´ Ecrire les tables d’addition et de multiplication dans Z/Z3. Soit xun entier
non nul. Le reste de la division euclidienne de x2par 3peut-il ˆetre ´egal `a 2?
Exercice 2.29 Montrer que le th´eor`eme de Gauss d´ecoule du Th´eor`eme de B´ezout.
Exercice 2.30 Montrer (par exemple pour le couple a:= 876 et b:= 543) que l’algorithme
d’Euclide permet de d´eterminer un couple (u, v)v´erifiant le th´eor`eme de B´ezout g´en´eralis´e.
Mˆeme question pour 756 et 330.
Exercice 2.31 D´eterminer u0et v0tels que 2u0+ 3v0= 1. En d´eduire tous les couples
(u, v)v´erifiant la relation 2u+ 3v= 1. R´esoudre le syst`eme
x≡1modulo 2
x≡2modulo 3