Contrôle n˚2. Spécialité

Contrˆole n˚2. Sp´ecialit´e page 1 de 1
Contrˆole n˚2. Sp´ecialit´e
Dur´ee : 2 heures. les calculatrices sont autoris´ees
On rappelle : (a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
I 30 minutes, 5 points
Soit nun entier naturel non nul.
On pose : a=n3+ 3n2+ 2n−4 et b=n2+ 2n−1.
1. D´eterminer deux entiers naturels αet βtels que pour tout n, on ait :
n3+ 3n2+ 2n−4 = (n2+ 2n−1)(αn +β) + n−3
2. En d´eduire, suivant les valeurs de n, le reste de la division de apar b
3. On suppose n>3. D´emontrer que PGCD(a, b) = PGCD(n−3,14).
4. D´eterminer les valeurs de npour lesquelles PGCD(a, b) = 7.
II 20 minutes, 3 points
1. Soit xun entier relatif non multiple de 3. D´emontrer que x3≡1 [9] ou x3≡ −1 [9]
2. Soient a, b, c des entiers relatifs tels que a3+b3+c3≡0 [9].
D´emontrer que abc ≡0 [3]
III 40 minutes, 7 points
1. Soient aet bdeux nombres entiers naturels dont la somme et le produit ont pour
PGCD le carr´e d’un nombre premier p: PGCD(a+b, ab) = p2.
a) En remarquant que a2=a(a+b)−ab, d´emontrer que p2divise a2.
b) En d´eduire que pdivise a.
On admettra que, de mˆeme, on peut prouver que pdivise b.
c) D´emontrer que PGCD(a, b) divise p2.
d) D´emontrer que PGCD(a, b) est soit psoit p2.
2. On se propose de d´eterminer les couples (a, b) d’entiers naturels aet btels que :
a < b, PGCD(a+b, ab) = 49 et PPCM(a, b) = 231.
a) Soit (a, b) un couple solution. D´emontrer que PGCD(a, b) = 7.
b) En d´eduire les couples (a, b) solutions.
IV 30 minutes, 5 points
Soit fla fonction qui, `a tout entier relatif n, associe le reste de la division euclidienne
de 11n−18 par 26.
1. D´emontrer que, si f(a) = f(b), alors a≡b[26].
2. a) Enoncer un th´eor`eme du cours qui prouve qu’il existe au moins un entier x
tel que 11x≡1[26] (on ne demande pas de trouver une valeur de x).
b) D´eterminer tous les entiers relatifs xtels que 11x≡1 [26].
3. Soit xun nombre tel que 11x≡1 [26].
D´emontrer que le reste de xf(n)−npar 26 est ind´ependant de n
(il n’est pas n´ecessaire d’avoir r´esolu la question 2 ).
4. Facultatif, hors barˆeme. Bonus ´eventuel
Donner un proc´ed´e g´en´eral permettant de r´esoudre le probl`eme suivant :
Pour tout k∈[0; 25], d´eterminer les n∈[0; 25] tels que f(n) = k.
(Ce proc´ed´e doit ˆetre direct, c’est-`a-dire sans faire de tables exhaustives de valeurs).
Appliquer ce proc´ed´e aux cas suivants : k= 0, k = 1, k = 2 (les solutions obtenues
par autre chose que ce proc´ed´e ne seront pas prises en compte).