Calculatrice en seconde

Calculatrice en seconde
Objectifs : •
savoir écrire un calcul et en particulier savoir mettre les parenthèses sous entendues dans l'écriture mathématique habituelle
•
distinguer valeur exacte et valeur approchée, problème de l'égalité. 1­ Exercice 1
941664 . Noter les résultats obtenus. Quelle conjecture peut­on 665857
faire à la lecture de ces résultats ? Le résultat fourni par la TI 82 est 1,414213562 pour les deux calculs. On peut conjecturer que A = A' . Est­ce exact ?
a) Nous avons démontré que  2 est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut pas être égal au quotient de nombres entiers. Il est donc impossible que A et A' soient égaux.
Calculer A =  2 et A' = Calculons A – 1,414213562, puis A' – 1,414213562.
On obtient avec la TI 82 :
3,731 E­10 pour A – 1,414213562 et 3,715 E­10 pour A' – 1,414213562.
Rappel : ces résultats sont à interpréter comme 3,731. 10­10 et 3,715. 10­10, le 3 de la partie entière représente le 10ème chiffre après la virgule.
Comme les résultats sont différents, cela confirme A ≠ A'.
Comment interpréter les résultats obtenus ?
La TI 82 affiche 10 chiffres à l'écran, mais elle en calcule 14.
Les résultats calculés étaient pour A : 1,4142135623731 et pour A' : 1,4142135623715.
Effectuer les calculs suivants, d'abord mentalement, puis avec la calculatrice :
1 + 10­14 – 1
1 + 10­13 – 1 10 + 10­13 – 10 10 + 10­12 – 10 100 + 10­12 – 100 Comment interpréter ces résultats ?
2­ Exercice 2
Calculer B = 5 − 2 et B' =  9− 4 5 . Noter les résultats obtenus. Quelle conjecture peut­
on faire à la lecture de ces résultats ? Le résultat fourni par la TI 82 est 0,2360679775 dans les deux cas.
Attention : pour le calcul de B' il faut rétablir des parenthèses après la 1ère racine carrée.
On peut conjecturer que B = B'. Est­ce exact ?
On peut penser à calculer, comme dans l'exercice 1, B – 0,2360679775 d'une part et B' – 0,2360679775 d'autre part. On obtient avec la TI 82 : ­2 E­13 et ­3 E­13.
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Cela peut laisser penser que B et B' sont différents.
On peut aussi calculer B – B' qui donne 1 E­13 et non 0.
Démontrer que B = B'.
B et B' sont des nombres positifs. Comparons leurs carrés. On trouve B² = B'² = 9−4 5 .
Comme B et B' sont des nombres positifs qui ont le même carré, on a B = B'.
Une conclusion
La calculatrice fournit des valeurs approchées.
Deux nombres qui ont la même valeur approchée ne sont pas obligatoirement égaux.
Les résultats fournis par la calculatrice ne permettent pas de décider si deux nombres sont égaux.
3­ Autres exemples
Dans chacun des cas suivants, vérifier que la calculatrice donne le même résultat pour les deux nombres proposés. Déterminer les cas où il y a vraiment égalité.
1 1 a) C = et C' = 1
(utiliser l'expression conjuguée du dénominateur)
 3 −1
3 1
14616
6902 b) D = et D' = (décomposer les dénominateurs en produits de facteurs 36036
17017
premiers et essayer de simplifier)
c) E = 1234568² et E' = 1234567 × 1234569 (poser x = 1234568 )
8
d) Est­ce que  4  17  =18957314 ?
4­ Et pourtant...
Pierre, qui est en troisième, demande à sa soeur Anne, qui est en seconde, si les fractions 420 12 et représentent le même nombre.
595
17
Anne lui demande alors "Qu'est­ce qui te fait croire ça?"
Pierre lui répond "Eh bien la calculatrice affiche 0,7058823 pour les deux fractions, j'en déduis que c'est donc bien les mêmes ?"
1) Qu'aurriez vous répondu à Pierre?
2) Anne, ayant griffonné quelques calculs sur un bout de papier, répond la chose suivante "Si la calculatrice donne la même valeur approchée, c'est que 420/595 = 12/17" a) Supposons par l'absurde que ces deux fractions aient des valeurs distinctes, et notons d la valeur absolue de leur différence.
Dire pourquoi la calculatrice de Pierre nous permet d'affirmer que d  10­7 1 b) Montrer que d  17 ×595
c) En déduire que l'on a 10­7  d et conclure.
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