Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous, mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!! LES NOMBRES Exercice 1 : Quelle est la 2002 ème décimale du nombre 11 / 13 ? Exercice 2 : Est-il possible de trouver des valeurs de a pour que le nombre 5a3 / 36 soit un nombre décimal ? Exercice 3 : 1)Combien le produit d’un nombre à n chiffres, par un nombre à p chiffres possède-il de chiffre ? 2)Une calculatrice ordinaire affichant 10 chiffres utilisée pour calculer le produit 75 867 x 82 345 donne 6 247 268 115 est-ce un résultat exact ou une approximation ? 3)Une calculatrice ordinaire affichant 10 chiffres utilisée pour calculer le produit 35 867 x 122 503 donne 4 393 815 101 est-ce un résultat exact ou une approximation ? Exercice 4 : On considère A = 54 608 393 / 38 613 965 et B = 4 478 554 083 / 3 166 815 962 1) donnez la valeur affichée par une calculatrice type collège (à affichage de 10 chiffres) 2) démontrez que A B Exercice 5 : Voici les distances, en km, qui séparent le soleil de quelques planètes : Vénus 105 x 10 6 Saturne 1425 x 10 6 Mars 2250 x 10 5 Terre 15 x 10 7 Jupiter 78 x 10 7 Pluton 5900 x 10 6 En utilisant l’écriture scientifique de chacun ce ces nombres, ranger les distances dans l’ordre croissant. Exercice 6 : On considère un nombre A trois chiffres. Soit B le nombre obtenu en permutant les chiffres des dizaines et des unités de A. Soit C le nombre obtenu en permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A. Soit D le nombre obtenu en permutant les chiffres des centaines et des unités de A. On suppose que : A – B = 18 et C – A = 360 1) Calculer D – A 2) Montrer que A est un multiple de 3 3) Trouver A sachant que c’est un multiple de 9 Exercice 1 : 11 / 13 = 0, 846153 ( = 0 , 846153 846153 846153 846153 … à l’infini ) Tous les 6 rangs on retrouve la même suite de chiffres (période). On effectue la division euclidienne de 2002 par 6, soit en la posant soit avec une calculatrice (*). 2002 = 6 x 333 + 4 La période se répètera 333 fois, puis il y aura encore 4 décimales. La 2002ème décimale de 11 / 13 sera donc 1. Si vous ne savez pas quoi faire pendant les grandes vacances, vérifiez en effectuant la division ( ;-))) ! (*)Pour faire cela avec une calculatrice « ordinaire » le plus simple est de: taper : 2002 : 6 = 333 , 66666 on en déduit le quotient 333 soit maintenant on utilise les touches mémoires pour un calcul rigoureux, soit on enchaîne 333 , 66666 - 333 = 0 , 66666 puis on enchaîne 0 , 66666 x 6 = 3 , 99996 on en déduit que le reste est 4 Exercice 2 : 36 = 2² x 3² Pour qu’une fraction irréductible soit décimale, il faut et il suffit que la décomposition en facteurs premiers de son dénominateur ne contiennent que des puissances de 2 et de 5. Il faut donc que le 3² soit simplifiable, et pour cela le numérateur doit être divisible par 9. Le critère de divisibilité donne : 5 + a + 3 = 8 + a multiple de 9. D’où une seule possibilité a = 1. Effectivement 513 / 36 = 14,25. Exercice 3 : 1)Si a est un nombre à n chiffres alors : 10 n-1 < a < 10 n (par exemple 10 2 < 567 < 10 3) p-1 p si b est un nombre à p chiffres alors : 10 < b < 10 on en déduit 10 n+p-2 < a x b < 10 n+p le produit des deux nombres possède donc n+p-1 ou n+p chiffres. 2) les deux nombres ayant chacun 5 chiffres, leur produit possède 5+5-1 ou 5+5 chiffres le résultat ayant au maximum 10 chiffres, est exact (on suppose que la calculatrice est fiable !) 3) cette fois le produit possède 5+6-1 ou 5+6 chiffres : rien n’est sûr , il faut encadrer avec plus de précision 35 867 < 40 000 soit 35 867 < 4 10 4 et 122 503 < 200 000 soit 122 503 < 2 10 5 35 867 x 122 503 < 2 x 4 x 10 4+5 = 8 10 9 < 10 10 le résultat ayant au maximum 10 chiffres, est exact (on suppose que la calculatrice est fiable !) Exercice 4 : 1) 1, 414 213 562 pour les deux 2) la calculatrice ne permet pas de conclure mais si on compare les chiffres des unités des produits en croix 3 x 2 on constate que ceux-ci sont différents, donc A B 5x3 Exercice 5 : L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme: n = a x 10 p avec 0 < a Attention : 0,45 10 –4 n’est pas une « écriture scientifique » c’est : 4,5 10 -5 Ici : 1,05 x 10 8 < 1,5 x 10 8 < 2,25 x 10 8 < 7,8 x 10 8 < 1,425 x 10 9 < 5,9 x 10 9 9 Exercice 6 : ___ ___ ___ ___ En utilisant la décomposition classique des nombres : A = cdu B = cud C = dcu D = udc on obtient : A – B = (100 c + 10 d + u) – (100 c + 10 u + d) = 18 d’où: d = u + 2 (I) C – A = (100 d + 10 c + u ) – (100 c + 10 d + u) = 360 d’où: c = d – 4 et donc c = u+2-4 c = u - 2 (II) 1) D – A = (100 u + 10 d + c ) – (100 c + 10 d + u) = 99 (u –c) = 99 x 2 = 198 en se servant de (II) ___________ 2) en fait d’après (I) et (II): A = u-2 u+2 u la somme des « chiffres » de A est donc 3u multiple de 3. Or, si la somme des « chiffres » d’un nombre est un multiple de 3, le nombre est lui même un mutiple de 3. 3) Pour que A soit un multiple de 9 il faut, et il suffit que la somme de ses chiffres 3u soit un multiple de 9. mais 1 u-2 9 0 u+2 9 il n’y a donc que deux possibilités u = 3 ou u = 6 A = 153 ou A = 486