nombres - ecole d`echecs de bagneux

Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous,
mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!!
LES NOMBRES
Exercice 1 :
Quelle est la 2002 ème décimale du nombre 11 / 13 ?
Exercice 2 :
Est-il possible de trouver des valeurs de a pour que le nombre
35a
/ 36 soit un nombre décimal ?
Exercice 3 :
1)Combien le produit d’un nombre à n chiffres, par un nombre à p chiffres possède-il de chiffre ?
2)Une calculatrice ordinaire affichant 10 chiffres utilisée pour calculer le produit 75 867 x 82 345
donne 6 247 268 115 est-ce un résultat exact ou une approximation ?
3)Une calculatrice ordinaire affichant 10 chiffres utilisée pour calculer le produit 35 867 x 122 503
donne 4 393 815 101 est-ce un résultat exact ou une approximation ?
Exercice 4 :
On considère A = 54 608 393 / 38 613 965 et B = 4 478 554 083 / 3 166 815 962
1) donnez la valeur affichée par une calculatrice type collège (à affichage de 10 chiffres)
2) démontrez que A B
Exercice 5 :
Voici les distances, en km, qui séparent le soleil de quelques planètes :
Vénus 105 x 10 6 Saturne 1425 x 10 6 Mars 2250 x 10 5
Terre 15 x 10 7 Jupiter 78 x 10 7 Pluton 5900 x 10 6
En utilisant l’écriture scientifique de chacun ce ces nombres, ranger les distances dans l’ordre croissant.
Exercice 6 :
On considère un nombre A trois chiffres.
Soit B le nombre obtenu en permutant les chiffres des dizaines et des unités de A.
Soit C le nombre obtenu en permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A.
Soit D le nombre obtenu en permutant les chiffres des centaines et des unités de A.
On suppose que : A – B = 18 et C – A = 360
1) Calculer D – A
2) Montrer que A est un multiple de 3
3) Trouver A sachant que c’est un multiple de 9

Exercice 1 :
11 / 13 = 0, 846153 ( = 0 , 846153 846153 846153 846153 … à l’infini )
Tous les 6 rangs on retrouve la même suite de chiffres (période).
On effectue la division euclidienne de 2002 par 6, soit en la posant soit avec une calculatrice (*).
2002 = 6 x 333 + 4
La période se répètera 333 fois, puis il y aura encore 4 décimales.
La 2002ème décimale de 11 / 13 sera donc 1.
Si vous ne savez pas quoi faire pendant les grandes vacances, vérifiez en effectuant la division ( ;-))) !
(*)Pour faire cela avec une calculatrice « ordinaire » le plus simple est de:
taper : 2002 : 6 = 333 , 66666 on en déduit le quotient 333
soit maintenant on utilise les touches mémoires pour un calcul rigoureux,
soit on enchaîne 333 , 66666 - 333 = 0 , 66666
puis on enchaîne 0 , 66666 x 6 = 3 , 99996 on en déduit que le reste est 4
Exercice 2 :
36 = 2² x 3²
Pour qu’une fraction irréductible soit décimale, il faut et il suffit que la décomposition en facteurs premiers de
son dénominateur ne contiennent que des puissances de 2 et de 5.
Il faut donc que le 3² soit simplifiable, et pour cela le numérateur doit être divisible par 9.
Le critère de divisibilité donne : 5 + a + 3 = 8 + a multiple de 9.
D’où une seule possibilité a = 1. Effectivement 513 / 36 = 14,25.
Exercice 3 :
1)Si a est un nombre à n chiffres alors : 10 n-1 < a < 10 n (par exemple 10 2 < 567 < 10 3)
si b est un nombre à p chiffres alors : 10 p-1 < b < 10 p
on en déduit 10 n+p-2 < a x b < 10 n+p
le produit des deux nombres possède donc n+p-1 ou n+p chiffres.
2) les deux nombres ayant chacun 5 chiffres, leur produit possède 5+5-1 ou 5+5 chiffres
le résultat ayant au maximum 10 chiffres, est exact (on suppose que la calculatrice est fiable !)
3) cette fois le produit possède 5+6-1 ou 5+6 chiffres : rien n’est sûr , il faut encadrer avec plus de précision
35 867 < 40 000 soit 35 867 < 4 10 4
et 122 503 < 200 000 soit 122 503 < 2 10 5
35 867 x 122 503 < 2 x 4 x 10 4+5 = 8 10 9 < 10 10
le résultat ayant au maximum 10 chiffres, est exact (on suppose que la calculatrice est fiable !)
Exercice 4 :
1) 1, 414 213 562 pour les deux
2) la calculatrice ne permet pas de conclure
mais si on compare les chiffres des unités des produits en croix 3 x 2 5 x 3
on constate que ceux-ci sont différents, donc A B
Exercice 5 :
L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme: n = a x 10 p avec 0 < a 9
Attention : 0,45 10 –4 n’est pas une « écriture scientifique » c’est : 4,5 10 -5
Ici : 1,05 x 10 8 < 1,5 x 10 8 < 2,25 x 10 8 < 7,8 x 10 8 < 1,425 x 10 9 < 5,9 x 10 9
Exercice 6 : ___ ___ ___ ___
En utilisant la décomposition classique des nombres : A = cdu B = cud C = dcu D = udc on obtient :
A – B = (100 c + 10 d + u) – (100 c + 10 u + d) = 18 d’où: d = u + 2 (I)
C – A = (100 d + 10 c + u ) – (100 c + 10 d + u) = 360 d’où: c = d – 4 et donc c = u+2-4 c = u - 2 (II)
1) D – A = (100 u + 10 d + c ) – (100 c + 10 d + u) = 99 (u –c) = 99 x 2 = 198 en se servant de (II)
___________
2) en fait d’après (I) et (II): A = u-2 u+2 u la somme des « chiffres » de A est donc 3u multiple de 3.
Or, si la somme des « chiffres » d’un nombre est un multiple de 3, le nombre est lui même un mutiple de 3.
3) Pour que A soit un multiple de 9 il faut, et il suffit que la somme de ses chiffres 3u soit un multiple de 9.
mais 1 u-2 9 0 u+2 9 il n’y a donc que deux possibilités u = 3 ou u = 6
A = 153 ou A = 486