Probl`eme 1 [3p] Donner le domaine de - LIX

Probl`eme 1 [3p] Donner le domaine de d´efinition de la fonction
f(x) = e2x−2
e2x+ 2.
Etudier ses variations et donner ses limites.
La fonction est d´efinie si e2x+ 2 6= 0 et si e2xest d´efini. La fonction expo-
nentielle est d´efinie sur Ret toujours positive donc le domaine de d´efinition
est R. On a
f0(x) = (e2x−2)0(e2x+ 2) −(e2x−2)(e2x+ 2)0
(e2x+ 2)2
=2e2x(e2x+ 2) −(e2x−2)2e2x
(e2x+ 2)2
= 8e2x(e2x+ 2)2
La d´eriv´ee est toujours positive donc le fonction est croissante sur R.
On a
lim
x→+∞
e2x+ 2 = +∞
lim
x→+∞
e2x−2=+∞
ce qui nous donne une ind´etermination. Mais
e2x−2
e2x+ 2 =e2x(1 −2e−2x) e2x(1 + 2e−2x)
=(1 −2e−2x)
(1 + 2e−2x)
Ce qui nous donne
lim
x→+∞
1+2e−2x= 1
lim
x→+∞
1−2e−2x= 1
lim
x→+∞
(1 −2e−2x)
(1 + 2e−2x)= 1
On constate ´egalement que
lim
x→−∞
e2x+ 2 = 2
lim
x→−∞
e2x−2 = −2
lim
x→+∞
e2x−2
e2x+ 2 =−1

Probl`eme 2 [2p] Donner le domaine de d´efinition de la fonction f(x) =
1
ln(x)−2.Donner ses limites.
La fonction est d´efinie si ln(x)6= 2 et si ln(x) est d´efinie. ln(x) est d´efinie
si x > 0 et ln(x)−26= 0 si x6=e2. Le domaine de d´efinition est donc
R+∗\{e2}=]0, e2[∪]e2,+∞[.
Pour les limites, on a
x→0x→e2−x→e2+x→+∞
limite ln(x)−∞ 2−2++∞
limite ln(x)−2−∞ 0−0++∞
limite 1
ln(x)−20−−∞ +∞0+
Probl`eme 3 [3p] Utiliser l’int´egration par parties pour calculer Rπ
0xsin x dx.
On a Zb
a
u0(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]b
a−Zb
a
u(x)v0(x)dx
On pose u0(x) = sin xet v(x) = x. On a u(x) = −cos(x) et v0(x) = 1 d’o`u
Zπ
0
xsin x dx = [−cos(x)×x]π
0−Zπ
0
(−cos(x)) dx
=π+Zπ
0
cos(x)dx
=π+ [sin(x)]π
0=π
Probl`eme 4 [7p] On cherche `a r´esoudre l’´equation diff´erentielle
y00 +y0−2y= 10 sin x(1)
1. D´eterminer les nombres r´eels aet btels que h(x) = asin(x) + bcos(x)
soit solution de l’´equation y00 +y0−2y= 10 sin x
2. On pose g=f+h. Montrer que gest solution de (1) si et seulement
si fest solution de
y00 +y0−2y= 0 (2)
3. R´esoudre (2)
4. Trouver la solution g(x)de (1) qui v´erifie g(0) = 0 et g0(0) = 0.

1. On a
h(x) = asin(x) + bcos(x)
h0(x) = acos(x)−bsin(x)
h00 (x) = −asin(x)−bcos(x)
h00 +h0−2h=−asin(x)−bcos(x) + acos(x)−bsin(x)−2asin(x)−2bcos(x)
= (−3a−b) sin(x)+(−3b+a) cos(x)
On en d´eduit que
h00 +h0−2h= 10 sin(x)⇔−3a−b= 10
−3b+a= 0
⇔a=−3, b =−1
⇔h(x) = −3 sin(x)−cos(x)
2. On a les ´equivalences suivantes:
gest solution de (1) ⇔g00 +g0−2g= 10 sin(x)
⇔(f+h)00 + (f+h)0−2(f+h) = 10 sin(x) car g=f+h
⇔f00 +f0−2f+h00 +h0−2h= 10 sin(x)
car la d´erivation est lin´eaire
⇔f00 +f0−2f= 0 car h00 +h0−2h= 10 sin(x)
⇔fest solution de y00 +y0−2y= 0
3. L’´equation caract´eristique associ´ee est X2+X−2. Son discrimant vaut
12−4×(−2) = 9. Ses racines sont X1=−2 et X2= 1. On en d´eduit
que les solutions de (2) sont de la forme f=Ae−2x+Bex.
4. Les solutions de (1) sont de la forme g=f+h=Ae−2x+Bex−
3 sin(x)−cos(x). On a
g0(x) = −2Ae−2x+Bex−3 cos(x) + sin(x)
g(0) = A+B−1
g0(0) = −2A+B−3
A+B−1 = 0
−2A+B−3=0 ⇔A=−2
3
B=5
3
Probl`eme 5 [2p] On consid`ere le nombre complexe z=1
2+i√3 2´
Ecrire z
sous forme trigonom´etrique

On a
|z|=s(1
2)2+ (√3 2)2=r1 4+3 4= 1
On cherche θtel que cos θ=1
2et sin θ=√3 2. On trouve que θ=π 3. On en
d´eduit que z= cos(π
3) + isin(π 3) = eiπ
3.
Probl`eme 6 [3p] Soient z1= 4+iet z2= 2−2i. Donnez la forme alg´ebrique
de z1+z2, z1×z2et 1
z2.
On a
z1+z2= 4 + i+ 2 −2i= 6 −i
Z1×z2= (4 + i)(2 −2i) = 8 + 2i−8i−2i2= 8 + 2i−8i+ 2 = 10 −6i
1
z2
=1
2−2i=2+2i (2 −2i)(2 + 2i)=2+2i 4+4 =1 4+i1 4