Révisions de première S

Révisions de première S
JeanPhi
mai 2003

Contents
IANALYSE 1
1 RAPPELS SUR LES FONCTIONS 1
1.1 Planducours............................................. 1
1.2 Lesgrandesidées: .......................................... 2
1.3 Lestechniquesdebase........................................ 2
1.3.1 Déterminationdel’ensemblededéfinition ......................... 2
1.3.2 Savoir résoudre graphiquement une équation et une inéquation . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.3 Savoirrechercherlaparitéd’unefonction.......................... 3
1.3.4 Egalitédedeuxfonctions: ................................. 3
1.3.5 Notionsdecourbesassociées:................................ 3
1.3.6 Elémentsdesymétried’unecourbe: ............................ 3
1.3.7 Opérationssurlesfonctions................................. 3
1.3.8 Déterminerlacomposéededeuxfonctions......................... 4
1.3.9 Etudierlesvariationsd’unefonctioncomposée ...................... 4
1.4 Solutionsdesexercices........................................ 4
2LETRINOME 10
2.1 Planducours............................................. 10
2.2 Lesgrandesidées........................................... 10
2.3 Lestechniquesdebase: ....................................... 11
2.3.1 Ladécompositioncanonique:................................ 11
2.3.2 Larésolutiond’uneéquationduseconddegré: ...................... 11
2.3.3 Théorèmedusignedutrinôme: .............................. 11
2.3.4 Résolution d’une inéquation du type ax +b
cx +d<0..................... 11
2.4 Solutionsdesexercices........................................ 11
3 LA DERIVATION 14
3.1 Leplanducours ........................................... 14
3.2 Lesgrandesidées........................................... 15
3.3 Lestechniquesdebase:énoncés .................................. 15
3.3.1 Prouver grâce à la limite qu’une fonction est dérivable en a et calculer le nombre dérivé. 15
3.3.2 Déterminerl’équationdelatangente............................ 15
3.3.3 Approximation affine..................................... 16
3.3.4 Calculsdedérivées...................................... 16
3.3.5 Variations d’une fonction fdérivable............................ 16
3.4 Solutionsdesexercices........................................ 16
v

CONTENTS vi
4 LIMITES D’UNE FONCTION - BRANCHES INFINIES 21
4.1 Leplanducours ........................................... 21
4.2 Lesgrandesidées........................................... 21
4.3 Lestechniquesdebase........................................ 21
4.3.1 Déterminer les limites d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition .... 21
4.3.2 Déterminer de droites asymptotes et étudier leurs positions relatives à la courbe. . . . 22
4.3.3 Uneasymptoten’estpasforcémentunedroite....................... 23
4.4 Solutionsdesexercices........................................ 23
5SUITESNUMERIQUES 27
5.1 Leplanducours ........................................... 27
5.2 Lesgrandesidées........................................... 27
5.3 Lestechniquesdebase........................................ 28
5.3.1 Calculerlestermesd’unesuite ............................... 28
5.3.2 Etudierlamonotonie(oulesvariations)d’unesuite ................... 28
5.3.3 Démontrerqu’unesuiteestmajoréeouminorée...................... 28
5.3.4 Savoir reconnaître une suite arithmétique, donner sa forme explicite et calculer la
sommedesestermes..................................... 28
5.3.5 Savoir reconnaître une suite géométrique, donner sa forme explicite et calculer la
sommedesestermes..................................... 29
5.3.6 Quelques réflexes....................................... 29
5.4 Solutionsdesexercices........................................ 29
6 LIMITES DE SUITES 32
6.1 Leplanducours ........................................... 32
6.2 Lesgrandesidées........................................... 32
6.3 Lestechniquesdebase........................................ 32
6.3.1 Démontrer qu’une suite tend vers +∞........................... 32
6.3.2 Démontrer qu’une suite converge vers l.......................... 33
6.3.3 Lethéorèmedesgendarmes ................................. 33
6.3.4 Trouver sur une représentation graphiquelalimited’unesuiterécurrente ....... 33
6.3.5 Conclure sur la convergence d’une suite arithmétique ou géométrique . . . . . . . . . . 34
6.3.6 Unpeumoinsbasique:lasuitearithméticogéométrque ................. 34
6.4 Solutionsdesexercices........................................ 34
7 Conclusion de cette première partie : 40
7.1 Etudecomplèted’unefonctiondelavariableréelle......................... 40
7.2 Etuded’unesuite........................................... 41
II Géométrie - Statistiques - Probabilités 42
8 La géométrie dans l’espace en seconde 43
8.1 Lecoursproprementdit ....................................... 43
8.1.1 Positionsrelatives ...................................... 43
8.1.2 Parallélismedansl’espace .................................. 44
8.1.3 Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

CONTENTS vii
8.2 Lestechniquesdebase........................................ 47
8.2.1 Démontrerquedeuxplanssontparallèles: ........................ 47
8.2.2 Démontrerquedeuxdroitessontparallèles:........................ 47
8.2.3 Démontrer que deux droites sont orthogonales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2.4 Tracerl’intersectionentreunsolideetunplan:...................... 48
8.3 ..................................................... 50
8.4 Solutionsdesexercices........................................ 50
9 Les vecteurs de l’espace 54
9.1 Leplanducours ........................................... 54
9.2 Lesgrandesidées........................................... 54
9.3 Lestechniquesdebase........................................ 55
9.3.1 Démontrerquedeuxdroitessontparallèles ........................ 55
9.3.2 Etudierlacoplanaritédetroisvecteurs(oudequatrepoints) .............. 55
9.3.3 Démontrer que deux plans sont parallèles ou qu’une droite est parallèle à un plan. . . 56
9.4 Solutionsdesexercices........................................ 56
10 Repérage cartésien dans l’espace 61
10.1Leplanducours ........................................... 61
10.2Lesgrandesidées........................................... 61
10.3Lestechniquesdebase........................................ 62
10.3.1 Déterminerlescoordonnéesd’unvecteur.......................... 62
10.3.2 Démontrerquedesvecteurssontcolinéaires-coplanaires ................ 62
10.3.3 Equationsd’objetsdel’espace................................ 63
10.4Solutionsdesexercices........................................ 64
11 Angles orientés - Repérage polaire 70
11.1Leplanducours ........................................... 70
11.2Lesgrandesidées........................................... 70
11.3Lestechniquesdebase........................................ 71
11.3.1 Déterminerlamesureprincipaled’unangle ........................ 71
11.3.2 Utiliser la relation de Chasles ainsi que les propriétés des angles. . . . . . . . . . . . . 71
11.3.3 Trouver un angle sur une figure............................... 71
11.3.4 Résoudreuneéquationtrigonométrique .......................... 72
11.3.5 Résoudredesproblèmesdelieux .............................. 72
11.3.6 Utiliserlescoordonnéespolaires............................... 72
11.4Solutionsdesexercices........................................ 73

CONTENTS viii
12 Barycentres dans l’espace 79
12.1Leplanducours ........................................... 79
12.2Lesgrandesidées........................................... 79
12.3Lestechniquesdebase........................................ 80
12.3.1 Placerunbarycentre..................................... 80
12.3.2 Démontrerunalignement .................................. 80
12.3.3 Démontrer que des droites sont concourantes (ou sécantes dans l’espace) . . . . . . . . 81
12.3.4 Anouveaudesproblèmesdelieux ............................. 81
12.3.5 Somme des coefficientsnulle................................. 81
12.4Solutionsdesexercices........................................ 82
13 Le produit scalaire 87
13.1Leplanducours ........................................... 87
13.2Lesgrandesidées........................................... 87
13.3Lestechniquesdebase........................................ 87
13.3.1 Utilisationduprojetéorthogonal.............................. 87
13.3.2 Propriétésalgébriquesduproduitscalaire ......................... 88
13.3.3 Démontreruneorthogonalité ................................ 88
13.3.4 Calculsdedistancesetd’angles............................... 89
13.3.5 Géométrieanalytique .................................... 89
13.3.6 Problèmesdelieux...................................... 89
13.4Solutionsdesexercices........................................ 90
14 Applications du produit scalaire 95
14.1Leplanducours ........................................... 95
14.2Lesgrandesidées........................................... 95
14.3Lestechniquesdebase........................................ 95
14.3.1 Théorèmedelamédiane................................... 95
14.3.2 Théorème d’Al Kashi (ou Pythagore généralisé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
14.3.3 Formuledusinus....................................... 96
14.3.4 Equationsdedroites..................................... 97
14.3.5 Equationsdecercles(enrepèreorthonormé)........................ 97
14.4Solutiondesexercices ........................................ 98
15 Formules trigo 104
15.1Lecoursproprementdit.......................................104