LES REGLES DU CALCUL LITTERAL

Cours de Mr Jules v1.2 Classe de Cinquième Contrat 6 page 1
LES REGLES DU CALCUL LITTERAL
« Les Mathématiques sont des inventions très subtiles et qui peuvent beaucoup servir, tant à
contenter les curieux qu'à faciliter tous les arts et à diminuer le travail des hommes. » Descartes1
I. Utilisation d'expressions littérales_______________________________________________________ 2
A. Pour énoncer une formule : _________________________________________________________ 2
B. Pour désigner un nombre inconnu dans une équation : __________________________________ 2
C. Pour exprimer "en fonction de":_____________________________________________________ 2
II. Deux types de lettres utilisées. ________________________________________________________ 2
III. écritures littérales déjà rencontrées. ___________________________________________________ 3
IV. Conventions d'écritures dans les produits. ______________________________________________ 3
A. Ordre des facteurs dans un produit : _________________________________________________ 3
B. Disparition du signe ×
××
× dans un produit :______________________________________________ 3
V. Réductions des sommes algébriques._____________________________________________________ 4
VI. suppression des parenthèses : Développement. __________________________________________ 5
A. Dans une somme : _________________________________________________________________ 5
B. Dans un produit : _________________________________________________________________ 6
1. Formule :_______________________________________________________________________ 6
2. Quatre remarques : _______________________________________________________________ 6
3. Exercices :______________________________________________________________________ 7
C. Dans un quotient :_________________________________________________________________ 7
VII. Exercices récapitulatifs._____________________________________________________________ 7
1 Descartes : grand philosophe et mathématicien français du XVIIème siècle. Auteur de la célèbre maxime : « Cogito ergo sum (Je
pense donc je suis) ». De son nom est dérivé l’adjectif cartésien (esprit cartésien : esprit rationnel qui pense que toute chose est une
conséquence qui résulte de causes). Il est un ardent défenseur de la Science et de l’esprit scientifique.

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I. UTILISATION D'EXPRESSIONS LITTERALES
Définition : Une expression est littérale lorsque des nombres sont représentés par des lettres.
On a déjà utilisé des lettres :
A. Pour énoncer une formule :
Plutôt qu' écrire :
« La longueur  d'un cercle est égale au produit de π par le diamètre D du cercle », on donne une
formule littérale : (cercle) = πD = 2πR
« La somme de deux fractions de même dénominateur est égale à la fraction dont le numérateur est la
somme des numérateurs et dont le dénominateur est le dénominateur commun. », on a la formule :
a
d
b
d
a b
d
+ =
+
B. Pour désigner un nombre inconnu dans une équation
2
:
Soit un triangle équilatéral de périmètre égal à 7,2 cm.
On peut trouver la longueur commune de chacun des côtés. Appelons L cette longueur commune cherchée :
On peut alors traduire l’énoncé par l’équation : 3 L = 7,2.
C. Pour exprimer "en fonction de":
On connaît l'aire  du disque en fonction du rayon R :  (disque) = π R²
Sachant que R est la moitié du diamètre D, on peut exprimer l'aire du disque en fonction du diamètre D :
 = π 
D
2
2
 = π × D
2 × D 2 = π × D² 4
II. DEUX TYPES DE LETTRES UTILISEES.
 Quand une lettre représente un nb dont la valeur n’est pas fixée, on dit que cette lettre est une variable :
La valeur de la lettre peut changer !
 Si au contraire, la valeur de la lettre est fixée et toujours la même, on dit que cette lettre est une constante :
La valeur de la lettre est TOUJOURS la même !
Exemples : Dans la formule de calcul de la longueur d'un cercle, (cercle) = 2π R
• R ( rayon ) est une ……………………… : sa valeur change car R dépend du disque considéré.
• π est une …………………………… : sa valeur ne change pas !
(ce n'est que l'arrondi que l'on choisit pour π qui peut varier suivant la précision souhaitée).
2 Une équation est une égalité où il y a une ou plusieurs quantités inconnues. Cela sera vue dans ce contrat 6.

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III. ECRITURES LITTERALES DEJA RENCONTREES.
Soient a et b deux nombres :
a + b ou b + a désigne leur …………… ab ou ba désigne leur ………………
a
b ou b a désignent leur …………… a² et b² désignent leurs ………………
-a et -b désignent leurs ………………… a − b et b − a désignent leurs …………………..
D'autres écritures que l'on peut décrire :
2a
a
2
2n avec n entier un nombre pair
2n+1 avec n entier un nombre impair
( a + b )²
a² + b²
IV. CONVENTIONS D'ECRITURES DANS LES PRODUITS.
Afin d'alléger les écritures des produits (et seulement pour eux !), on adopte les 2 conventions suivantes :
A. Ordre des facteurs dans un produit :
Les facteurs d’un produit s'écrivent dans l'ordre suivant :
1. Les nombres isolés hors parenthèses.
2. Puis les lettres isolées hors parenthèses, dans l'ordre alphabétique.
3. Puis les parenthèses dans l’ordre alphabétique.
B. Disparition du signe ×
××
× dans un produit :
♦ Le signe de la multiplication ( × ) disparaît :
- entre deux lettres : ex : a × b s'écrit ………………
- entre un nombre et une lettre : ex : 3 × a ou a × 3 s'écrit de la seule façon :
- entre des nombres, des lettres et des parenthèses : ex : 4 × a × ( 2x + 1) s'écrit ………
♦ Enfin, 1 × a s'écrit ………… ex : 1 × (x + y) = ………….
(-1) × a s'écrit ………… ex : (-1) × z = …………..
a
1
s'écrit …………… ex : b + 1
1 = …………….

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exercices : simplifiez les écritures des produits suivants : exemple : 2 × c × (u + 5) × 7b = 14bc(u + 5)
a × 2 × b = ……………….. 7a × ( x + 2 ) × 5 × b = ……………………
b × 2 × a × 6= ………………………. y × 2 × a × 5 × b = .....................................
b × 4 × (y + 3) × a × 2 = …………………………
V. REDUCTIONS DES SOMMES ALGEBRIQUES.
Définition :
Une somme algébrique est une suite d'additions et/ou de soustractions de termes littéraux ou numériques.
Exemple : soit l'expression E = 5 + a + 2b - 2 + 3a − b − 7 + 5a + 10a
Cette expression comporte trois sortes de termes :
♦ Les quatre termes exprimant un certain nombre de a : + a ; + 3a ; + 5a ; + 10a
♦ Les deux termes exprimant un certain nombre de b : + 2b et - b
♦ Les trois termes numériques : 5 ; - 2 ; - 7
Définition :
Réduire l'écriture de l'expression E, c'est compter ensemble les termes de même sorte pour les rassembler 3.
Dans notre exemple E, on calcule :
+ a + 3a + 5a + 10a =………… + 2b − b = ………… 5 − 2 − 7 = ………….
Finalement ,on obtient l'écriture réduite ou simplifiée de E :
E = ………………………………………
Remarques : Ce n'est que l'écriture qui est réduite, mais pas la valeur de l'expression : on opère des
transformations dans la présentation.
Si on attribue une valeur particulière à chacune des variables a et b, la valeur de l'expression E sera identique
quelle que soit la forme présentée. C'est même un bon moyen de vérifier qu'il n'y a pas eu d'erreur au cours
des transformations.
Exercice : Réduire les expressions suivantes :
• 2 + a – 3 =
• 5 × a + 6 − 3× a + 3 =
• 3y + 2 × y – 4y =
• 3a – 2y + 5 – 8a + 3y – 6 =
• 2c – 3 + 2a –c –a – c – a − 3 =
• 5 + 2ab − 10 + a + b − 3a +5ab + 2a =
• 2xy − 6z + 8yz − xy − yz +z =
3 Réduire les termes revient en fait à factoriser les termes de même sorte.

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• 2x − x² + 3 × x − 2 × x + 3 +5 x² − 1 = R = 4x² + 3 x + 2
VI. SUPPRESSION DES PARENTHESES : DEVELOPPEMENT.
Supprimer des parenthèses est souvent appelé "développer" :
c’est en fait transformer un produit en une …………………
A. Dans une somme :
• Une parenthèse précédée du signe + est "neutre" : on les enlève tout simplement ! D’où :
a + ( b + c ) = ……………………… ex : x + ( -3 + y ) = x + (-3) + y
a + ( b − c ) = …………………… ex : 5 + ( 2 – t ) = 5 + 2 – t
exercice : développer puis réduire :
x + (2 + 2x) =
y + (-3 – y) − 2 =
2 − x + (y + 2x) =
(5 + x ) − 3x =
(-y + 2) − 4y − 3 =
(2 − x + y) + 3x − y +5 =
• Quand une parenthèse est précédée du signe −
−−
− :
 On supprime les parenthèses ET ce signe −
−−
−.
 On remplace tous les termes de la parenthèse par leurs opposés.
D’où les règles :
a − ( b + c ) = a – b – c a – (-b – c) = a + b + c
a − ( b − c ) = ……………………… a − (- b + c) = ………………………
Exemple : développer puis réduire :
-3 − (x − 5) = -3 − x + 5 on a développé.
= - x + 2 on a réduit.
Exercice : développer puis réduire :
3 – (2 + y) =
5 – ( y – 2x) =
n – ( 3y – n) =
2x – ( x – y ) =
x – (x – 5) =
-z – (-x + z) =