LES REGLES DU CALCUL LITTERAL

Cours de Mr Jules v1.2
Classe de Quatrième
Contrat 6 page 1
LES REGLES DU CALCUL LITTERAL
« Les Mathématiques sont des inventions très subtiles et qui peuvent beaucoup servir, tant à
contenter les curieux qu'à faciliter tous les arts et à diminuer le travail des hommes. » Descartes1
I.
Utilisation d'expressions littérales_______________________________________________________ 2
A.
Pour énoncer une formule : _________________________________________________________ 2
B.
Pour désigner un nombre inconnu dans une équation : __________________________________ 2
C.
Pour exprimer "en fonction de":_____________________________________________________ 2
II.
Deux types de lettres utilisées. ________________________________________________________ 2
III.
écritures littérales déjà rencontrées. ___________________________________________________ 3
IV.
Conventions d'écritures dans les produits. ______________________________________________ 3
A.
Ordre des facteurs dans un produit : _________________________________________________ 3
B.
Disparition du signe × dans un produit : ______________________________________________ 3
V.
Réductions des sommes algébriques._____________________________________________________ 4
VI.
suppression des parenthèses : Développement. __________________________________________ 5
A.
Dans une somme : _________________________________________________________________ 5
B.
Dans un produit : _________________________________________________________________ 6
C.
Dans un quotient :_________________________________________________________________ 7
D.
Produit de deux sommes : __________________________________________________________ 7
VII.
Exercices récapitulatifs._____________________________________________________________ 8
1
Descartes : grand philosophe et mathématicien français du XVIIème siècle. Auteur de la célèbre maxime : « Cogito ergo sum (Je
pense donc je suis) ». De son nom est dérivé l’adjectif cartésien (esprit cartésien : esprit rationnel qui pense que toute chose est une
conséquence qui résulte de causes). Il est un ardent défenseur de la Science et de l’esprit scientifique.
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I.
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Contrat 6 page 2
UTILISATION D'EXPRESSIONS LITTERALES
Définition :
Une expression est littérale lorsque des nombres sont représentés par des lettres.
On a déjà utilisé des lettres :
A. Pour énoncer une formule :
Plutôt qu' écrire :
« La longueur
d'un cercle est égale au produit de π par le diamètre D du cercle », on donne une
formule littérale :
(cercle) = πD = 2πR
« La somme de deux fractions de même dénominateur est égale à la fraction dont le numérateur est la
somme des numérateurs et dont le dénominateur est le dénominateur commun. », on a la formule :
a b a +b
+ =
d d
d
B. Pour désigner un nombre inconnu dans une équation2 :
Soit un triangle équilatéral de périmètre égal à 7,2 cm.
On peut trouver la longueur commune de chacun des côtés. Appelons L cette longueur commune cherchée :
On peut alors traduire l’énoncé par l’équation :
3 L = 7,2.
C. Pour exprimer "en fonction de":
On connaît l'aire du disque en fonction du rayon R :
(disque) = π R²
Sachant que R est la moitié du diamètre D, on peut exprimer l'aire du disque en fonction du diamètre D :
D2
D D
D²
(disque) = π 2 = π × × = π ×
2 2
4
II.
DEUX TYPES DE LETTRES UTILISEES.
Quand une lettre représente un nb dont la valeur n’est pas fixée, on dit que cette lettre est une variable :
La valeur de la lettre peut changer !
Si au contraire, la valeur de la lettre est fixée et toujours la même, on dit que cette lettre est une constante :
La valeur de la lettre est TOUJOURS la même !
Exemples : Dans la formule de calcul de l'aire
•
d'un disque,
(disque) = π R²
R ( rayon ) est une ……………………… : sa valeur change car R dépend du disque considéré.
• π est une …………………………… : sa valeur ne change pas !
(ce n'est que l'arrondi que l'on choisit pour π qui peut varier suivant la précision souhaitée).
2
Une équation est une égalité où il y a une ou plusieurs quantités inconnues. Cela sera vue dans ce contrat 6.
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III.
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ECRITURES LITTERALES DEJA RENCONTREES.
Soient a et b deux nombres :
a + b ou b + a désigne leur ……………
b
a
ou
désignent leur ……………
b
a
-a et -b désignent leurs …………………
ab ou ba désigne leur ………………
a² et b² désignent leurs ………………
1
1
et désignent leurs …………………..
a
b
D'autres écritures que l'on peut décrire :
2a
a
2
2n avec n entier
un nombre pair
2n+1 avec n entier
un nombre impair
( a + b )²
a² + b²
IV.
CONVENTIONS D'ECRITURES DANS LES PRODUITS.
Afin d'alléger les écritures des produits (et seulement pour eux !), on adopte les 2 conventions suivantes :
A. Ordre des facteurs dans un produit :
Les facteurs d’un produit s'écrivent dans l'ordre suivant :
1. Les nombres isolés hors parenthèses.
2. Puis les lettres isolées hors parenthèses dans l'ordre alphabétique.
3. Puis les parenthèses dans l’ordre alphabétique.
B. Disparition du signe × dans un produit :
♦ Le signe de la multiplication ( × ) disparaît :
- entre deux lettres :
ex : a × b s'écrit ………………
- entre un nombre et une lettre :
ex : 3 × a ou a × 3 s'écrit de la seule façon :
- entre des nombres, des lettres et des parenthèses :
ex : 4 × a × ( 2x + 1) s'écrit ………
♦ Enfin, 1 × a s'écrit …………
(-1) × a s'écrit …………
a
s'écrit ……………
1
ex : 1 × (x + y) = ………….
ex : (-1) × z = …………..
ex :
b+1
= …………….
1
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exercices : simplifiez les écritures des produits suivants : exemple : 2 × c × (u + 5) × 7b = 14bc(u + 5)
a × 2 × b = ………………..
7a × ( x + 2 ) × 5 × b = ……………………
b × 2 × a × 6= ……………………….
y × 2 × a × 5 b = .....................................
b × 4 × (y + 3) × a × 2 = …………………………
(y + 5) × z × (-f − 3) × 2k × 5 = …………………
V.
REDUCTIONS DES SOMMES ALGEBRIQUES.
Définition :
Une somme algébrique est une suite d'additions et/ou de soustractions de termes littéraux ou numériques.
Exemple :
soit l'expression
E = 5 + a² + 2b - 2 + 3a² − b − 7 + 5a² + 10a²
Cette expression comporte trois sortes de termes :
♦ Les quatre termes exprimant un certain nombre de a² : + a² ; + 3a² ; + 5a² ; + 10a²
♦ Les deux termes exprimant un certain nombre de b : + 2b et - b
♦ Les trois termes numériques : 5 ; - 2 ; - 7
Définition :
Réduire l'écriture de l'expression E, c'est compter ensemble les termes de même sorte pour les rassembler 3.
Dans notre exemple E, on calcule :
+ a² + 3a² + 5a² + 10a² =…………
+ 2b − b = …………
5 − 2 − 7 = ………….
Finalement ,on obtient l'écriture réduite ou simplifiée de E :
E = ………………………………………
Remarques : Ce n'est que l'écriture qui est réduite, mais pas la valeur de l'expression : on opère des
transformations dans la présentation.
Si on attribue une valeur particulière à chacune des variables a et b, la valeur de l'expression E sera identique
quelle que soit la forme présentée. C'est même un bon moyen de vérifier qu'il n'y a pas eu d'erreur au cours
des transformations.
•
Exercice : Réduire les expressions suivantes :
2+a–3=
•
5 × a + 6 − 3× a + 3 =
•
3y + 2 × y – 4y =
•
3a – 2y + 5 – 8a + 3y – 6 =
•
2c – 3 + 2a –c –a – c – a − 3 =
•
5 + 2ab − 10 + a + b − 3a +5ab + 2a =
•
2xy − 6z + 8yz − xy − yz +z =
3
Réduire les termes revient en fait à factoriser les termes de même sorte.
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•
2x − x² + 3 × x − 2 × x + 3 +5 x² − 1 =
•
5 − x + 6 × x − 10 x² + 10 − x² + x =
VI.
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R = 4x² + 3 x + 2
R = -11x²+ 6 x + 15
SUPPRESSION DES PARENTHESES : DEVELOPPEMENT.
Supprimer des parenthèses est souvent appelé "développer" :
c’est en fait transformer un produit en une …………………
A. Dans une somme :
•
Une parenthèse précédée du signe + est "neutre" : on les enlève tout simplement ! D’où :
a + ( b + c ) = ………………………
ex : x + ( -3 + y ) = x + (-3) + y
a + ( b − c ) = ……………………
exercice : développer puis réduire :
x + (2 + 2x) =
(5 + x ) − 3x =
y + (-3 – y) − 2 =
(-y + 2) − 4y − 3 =
2 − x + (y + 2x) =
(2 − x + y) + 3x − y +5 =
•
ex : 5 + ( 2 – t ) = 5 + 2 – t
Quand une parenthèse est précédée du signe − :
On supprime les parenthèses ET ce signe −.
On remplace tous les termes de la parenthèse par leurs opposés.
D’où les règles :
a− (b+c) = a–b–c
a – (-b – c) = a + b + c
a − ( b − c ) = ……………………… a − (- b + c) = ………………………
Exemple : développer puis réduire :
-3 − (x − 5) = -3 − x + 5
on a développé.
=-x+2
on a réduit.
Exercice : développer puis réduire :
3 – (2 + y) =
2x – ( x – y ) =
5 – ( y – 2x) =
x – (x – 5) =
n – ( 3y – n) =
-z – (-x + z) =
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B. Dans un produit :
k
Pour calculer l'aire totale du grand rectangle formé par les
deux rectangles et , il y a deux manières possibles :
b
a
Première manière
Deuxième manière
On calcule directement l'aire du grand rectangle.
Sa longueur et sa largeur sont :
On calcule la somme des aires des deux petits
rectangles :
………………et …….
Aire du grand rectangle =
Aire Rectangle
= ……………
Aire Rectangle
= ……………
Aire du grand rectangle =
Les deux calculs permettant de calculer la même aire, les deux écritures sont donc équivalentes.
On peut donc écrire : …………………………..= …………………………………….
Généralisons : pour toutes valeurs de k, a et b, on a :
……………………
k a + k b = k (a + b)
……………………
Le sens
permet de transformer une ………………… en un ………………………
C’est l’action de factoriser ou Factorisation.
Le sens
permet de transformer un …………………… en une ………………………
C’est l’action de développer ou Développement.
5 Remarques :
• Une même expression peut donc avoir 2 formes :
une forme développée ou somme : ka + kb
et
•
une forme factorisée ou produit : k(a + b)
Le facteur k s’appelle le facteur commun. Il est commun aux deux termes ka et kb, ce qui nous permet
de le factoriser (le mettre en commun) dans ka + kb pour trouver k(a + b)
•
L’égalité k(a + b) = ka + kb s’appelle :
égalité de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition4.
•
L’égalité reste évidemment valable avec la soustraction :
k(a – b) = ……… – ………
Evidemment, on a aussi par exemple
k(a + b + c − d) = …… + …… + …… − ……
• On retrouve les 2 cas de suppressions des parenthèses devant un signe + ou un signe − (voir VI A] p.5) :
+ (a + b) = + 1 × (a + b)
un + devant une parenthèse revient à multiplier cette parenthèse par (+1).
= (+1) × a + (+1) × b
on a développé en utilisant k (a + b).
=
a
+
b
on retrouve le résultat du VI A].
− (a + b) = − 1 × (a + b)
= (−1) × a + (−1) × b
=
−a − b
4
un − devant une parenthèse revient à multiplier cette parenthèse par (−
−1).
on a développé en utilisant k (a + b).
on retrouve le résultat du VI A].
Quand on développe k (a + b) en ka + kb, c’est comme si on « distribuait » k sur a et sur b.
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2 Exercices :
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Développement :
Méthode : On veut développer 2(3a − 5) par exemple.
2 (3a − 5 ) = 2a × 3 − 2 × 5
On développe le produit 2(3a+5) en utilisant le sens
=
6a − 10
.
On réduit les écritures.
Avec de l’habitude, on effectuera directement
2 (3a + 5) = 6a + 10
2(a+5)=
3( b - 8 ) =
6(x+ 6) =
y(2 - a) =
(π − 5) × 3 =
2(5 − t) × 5 =
Factorisation :
Méthode : On veut factoriser 15a − 5a par exemple.
15a − 5 = 5 × 3a − 5 × 1 On a décomposé chaque groupe en produit pour faire apparaître le facteur commun 5.
= 5 (3a − 1)
On a mis 5 en facteur commun et transformé la différence en produit grâce au sens
.
2m − 4 =
14 + 35b =
3x + 3 =
(rectangle) = 2L + 2 =
ax − 2a =
8ab − 2b =
C. Dans un quotient :
La barre de fraction joue le rôle de parenthèses (priorité au quotient) : développer revient donc à séparer la
fraction.
8x + 2 8x 2
=
+ = 4x + 1
2
2 2
16 a − 3 16 a 3
3
=
− = 2a −
8
8
8
8
11 + 3 x 11 3
=
+ x
5
5 5
ac
bc
ad
bd
a
b
c
D. Produit de deux sommes :
L'aire du rectangle peut être calculée de deux manières qui
sont équivalentes :
l’aire du grand rectangle = la somme des aires des 4 petits rectangles
d’où :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
d
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exemple : développer puis réduire (x + 4)(3 – x) :
(x + 4)(3 – x) = 3× x + x × (-x) + 4 × 3 + 4 × (-x)
= 3x
– x2
+ 12
= - x2 – x + 12
– 4x
on a développé en distribuant (x + 4 ) sur (3 − x)
on a effectué les 4 produits en faisant bien attention aux signes
on a réduit.
Exercices : développer et réduire en colonnes :
(x + 3)(2x – 5) =
(3y – 8)( - 3 – x) =
VII. EXERCICES RECAPITULATIFS.
• Développer puis réduire en colonnes (attention aux priorités et aux signes) :
3 + (x − 5) − 2 (3 − 2x) =
R = 5x − 8
2x + 3 + 5(6 − x) =
R = -3x + 33
(y × 5 + 5) − (5 − y)× 4 + 10 − 6y =
-(9 − t) − 2 (6t + 3) + 5t + 10 =
R = 3y −5
R=-6t−5
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5
15
( 10x − ) =
25
9
R = 2x−
1
x
1
( x − 4) + 3 ( − ) =
2
6
3
R = -
(3y − 5)(2 +6y) + 2y² − 3y + 5 =
(a − b)(a + b) =
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1
3
x
3
−
2
2
R = 20 y² − 27y − 5
(a + b)² =