phy_10_mouvement de chute verticales

Nicolas MAILLARD TS2 2004 / 2005 - Bar sur Aube http://nicolas.sup.fr
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MOUVEMENT DE CHUTE VERTICALES
I La force de pesanteur
- Force de pesanteur : le Poids
C'est la force d'origine gravitationnelle due à la Terre qui agit sur un corps.
Les caractéristiques sont :
m.g
P
(N) :Valeur
répartie) (forceG : Origine
bas le vers: Sens
lieudu verticale:Direction
- g : champ de pesanteur
Il caractérise l'attraction terrestre en un lieu donné.
1
. 81.9 :Valeur
point autreou tout G : Origine
bas le vers: Sens
lieudu verticale:Direction
−
sm
g
gmP
kg
.=
Remarques :
- la valeur du champ de pesanteur dépend du lieu.
- g est considéré comme uniforme dans une région de quelques km.
α = 1° entre 2 vecteurs
g
. d = 111 Km.
g diminue de 1 % si on s'élève de 30km.
Vocabulaire :
La pesanteur
≠ L'apesanteur : absence totale de pesanteur
≠ L'impesanteur : cas des cosmonautes.
II La poussée d'Archimède
Expérience : Un cylindre de volume 74 cm3 est suspendu à un dynamomètre qui mesure son poids : P = 2.0 N. Lorsque
le cylindre est plongé dans un liquide, l'indication du dynamomètre est modifiée : le cylindre est soumis à une force
supplémentaire appelée poussée d'Archimède.
Eau Hexane
Poids du cylindre 2.0 N 2.0 N
Indicateur du
dynamomètre
1.3 N 1.5 N
Valeur de la poussée
d'Archimède
0.7 N 0.5 N
Densité 1.0 0.78
Masse du liquide
déplacé
74 x 1.0 = 74 g 74 x 0.78 = 57 g
Poids du liquide
déplacé
74.10-3 x 9.8 = 0.73 N 57.10-3 x 9.8 = 0.56 N
Le poids du liquide déplacé est égal à la valeur de la poussée d'Archimède.
Enoncé : Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis de la part de celui-ci à une force
verticale orientée vers le haut. Cette force est égale au poids du liquide déplacé.

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III Etude d'une chute libre verticale sans frottements
1) Définition
Un corps est en chute libre si la seule force qui s'y applique est son poids. Ne s'applique rigoureusement que dans le
vide (ou dans l'air mais seulement pendant les premiers mètres de chute (h < 10m)
Conditions :
- Réalisée rigoureusement uniquement dans le vide
- S'applique à la chute de corps dense et de petite dimension sur une hauteur de quelques mètres
2) Equation différentielle du mouvement
- Dispositif :
Une bille est lâchée sans vitesse initiale à t = 0. La chute est considérée comme libre.
A
(poussée d'Archimède) est
négligeable, et f (force de frottement dans l'air) est aussi négligeable. La bille est étudiée dans référentielle
terrestre supposé galiléen et est soumis uniquement à son poids.
gmP .=
- Schéma :
Au mouvement de la bille, on associe un repère d'espace ),( kO et on sais que : à t = 0, z0 = 0 et
v0 = 0.
- Accélération :
Théorème du centre d'inertie ou deuxième loi de Newton :
Gext
amF .=Σ
G
G
amgm
amP
. .
.
=
=
ga
G
=
 Conséquences :
¤ L'accélération de la bille est égale au champ de pesanteur
g
¤ Cette accélération est indépendante de la masse du système.
¤ L'accélération existe dès que la bille est lâchée bien que sa vitesse soit nulle.
- Equation différentielle :
Dans le repère ),( kO , le vecteur g a pour caractéristiques : kgg .=
Soit : kga
G
.=
Coordonnée de
G
a suivant k :
ga
G
=
Soit :
g
dt
dv
G
=
3) Equation horaires
Le but est d'établir les expressions horaires de la vitesse et de la position de la bille au cours de sa chute.

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¤ De g
dt
dv
G
= cstgtv
G
+
=
G
v est la primitive de la constante g.
La constante d'intégration est déterminée à partir des conditions initiales.
A t = 0, v0 = 0. Soit :
cstg
+
×
=
00
g
a
v
GG
=
=
& =>
gtv
G
=
La vitesse est proportionnelle au temps, le mouvement est dis uniformément varié.
¤ Par définition :
dt
OMd
v
G
= ou
dt
dz
v
z
=
Soit :
dt
dz
gt =
Z est la primitive de la fonction gt par rapport au temps
t
v
z
G
=
& =>
cstgtz += ²
2
1
La constante est déterminée par les conditions initiales
A t = 0, z0 = 0 :
cstg +×= 0
2
1
0
d'où :
²
2
1gtz =
IV Etude d'une chute verticale avec frottement
1) Les forces de frottements fluides
A cours d'un mouvement dans un fluide (gaz ou liquide), il s'exerce un ensemble de force sur la surface du solide
modélisée par la force de frottement f qui a pour caractérisation :
Valeur de v , nature du fluide, forme du solide, état de la surface,
masse…
- Ecoulement laminaire :
vhf .−=
(Petits objets et de faible vitesse : quelques m.s-1)
h : coefficient de frottement laminaire.
- Ecoulement turbulent :
vvf .. λ −=
λ
est le coefficient de frottement turbulent.
: paramètresnombreux de depend :Valeur -
G inertied' centre : Origine-
và opposée : Sens -
)v( vitessela de celle :Direction -
f

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2) chute verticale avec frottements laminaires
On considère une bille, de masse m qui tombe dans un fluide. Les frottements sont considérés comme laminaires
d'expression :
vhf .−=
La chute est verticale, la bille est lâchée sans vitesse initiale à t = 0.
Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre galiléen.
Les forces qui s'appliquent sur la bille sont :
Le poids :
P
; la poussée d'Archimède
A
; les forces de frottements f .
Théorème du centre d'inertie :
G
Gext
amfAP
amF
.
.
=++
=Σ
Mouvement vertical d'où le repère ) ; ( kO
A t = 0, z0 = 0
Dans le repère ) ; ( kO , la relation vectorielle s'écrit :
P – A – f = m.a
(1) m.g - ρ.V.g – hv = m.a
ρ : masse volumique du fluide
V : volume de la bille
g : intensité de la pesanteur
v : valeur de la vitesse
h : coefficient laminaire
(1)  a et v sont les variables
dt
dv
a=
Vgmghv
dt
dv
m
dt
dv
mhvVgmg
ρ
ρ
−=+
=−−
α
ρ
=−=+ )1( m
V
gv
m
h
dt
dv
Cette équation est l'équation différentielle d'une chute verticale avec frottements laminaires.
Vitesse limite : vmax
La bille, après une hauteur de chute qui dépend de son volume, de sa masse, de la nature du fluide, atteint une
vitesse limite, qui est sa vitesse maximale, et continu sa chute a vitesse constante.
0
max
=→= dt
dv
cstv
De l'équation différentielle :
α
ρ
=−=+ )1(0
max
m
V
gv
m
h
Soit
h
m
v
α
=
max
Solution de l'équation différentielle

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L'équation différentielle s'écrit α =+ vk
dt
dv
1
avec
m
h
k=
1
et )1( m
V
g
ρ
α −=
Mathématiquement, cette équation différentielle admet pour solution une fonction exponentielle du temps (comme
pour les circuits RL et RC)
τ
t
BeAv
−
+=
Les constantes A, B et τ se déterminent à partir des conditions initiales et de la vitesse maximale atteinte à t = ∞
==+∞→
===
h
m
vvt
zvt
α
lim
, à
0 ,0 ,0 à
À t = 0,
B
A
BeA
+
=
+=
−
0
0
τ
Soit A = -B
A t ∞,
τ
α
∞
−
−= AeA
h
m
0−= A
h
m
α
Soit a = -B =
h
m
α
)1(
τ
α
∞
−
−= e
h
m
v
Exercice 32 des annales :
][
]].[[ ][
1
s
skgkg
h
m==
−
τ est le temps caractéristique.
Détermination de τ
La détermination de τ est identique aux méthodes graphiques utilisées pour la constante de temps des circuits RL
et RC.
Expression de la vitesse de chute :
)1(
.
lim
τ
th
evv
−
−=
3) Chute verticale avec frottements turbulents : f = λ v²
G
G
G
amgVvmg
amAfmg
amAfP
...²
.
.
=−− =−− =++ ρλ
gVvmg
dt
dv
m..² ρλ −−=
)
.
(² mVm gv
mdt
dv
ρ
λ
−
=+
Vitesse limite :
0=
dt
dv
).(²0 Vm
m
g
v
m
ρ
λ
−=+
).(
lim
Vm
g
v ρ
λ
−=
Solution de l'équation différentielle
τ ==
h
m
k
1