ts exp etudes de fonctions

TS EXPONENTIELLE : ETUDES DE FONCTIONS
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1
C
Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer :
- l’ensemble de définition I de la fonction ;
- les limites de la fonction aux bornes de I ;
- la dérivée et le signe de la dérivée ;
- le tableau de variation complet de la fonction.
1
xe)x(f
x
+= 2 xe)x(f
x
−=
3
x
xe)x(f =
4
x
e
)x(f
x
=
5
1x6²x2
e)x(f
++−
=
6
xe)x(f
3x
+=
+−
7 1e
3e
f(x)
x
x
+
+
=
8 1x
e
f(x)
x
+
=
9
x
e)5x²x()x(f −+=
10 xe3ef(x)
x2x
+−=
2
C
On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = e
x
– x – 2. On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1) Etudier les limites de f en
−∞
et
+∞
.
2) Calculer la dérivée f’ de f et préciser son signe. Etablir le tableau de variation de f.
3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 1.
3
C
Partie A :
On considère la fonction P définie sur R par P(x) = x
3
– x² - x + 1.
1) Calculer P(1)
2) Factoriser au maximum P
3) Résoudre l’inéquation P(x) ≥ 0.
Partie B :
On considère la fonction f définie sur R
*
par f(x) =
x
e
x
1
2x 
−− .
On note C sa courbe représentative.
1) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2) En déduire que C admet une asymptote horizontale et une asymptote verticale dont on précisera les équations.
3) Calculer la dérivée f’ de f.
4) En déduire les variations de f.
5) Déterminer, par le calcul les coordonnées des points d’intersections de C avec l’axe des abscisses.
6) Tracer C.
4
C
Partie A : Questions préliminaires
1) Soit g la fonction définie sur [0 ;
+∞
[par g(x) = e
x
– x - 1.
a) Montrer que pour tout x>0 on a g’(x)>0. En déduire les variations de g sur [0 ;
+∞
[.
b) Calculer g(0). En déduire que pour tout x>0 on a g(x) > 0.
2) Soit h la fonction définie sur [0 ;
+∞
[ par h(x) = (2-x)e
x
- 1.
a) Etudier la fonction h et dresser son tableau de variations.
b) Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution et une seule
α
sur [1 ; 2].
c) Donner un encadrement de α d’amplitude 10
−2
.
d) Préciser suivant les valeurs du réel positif x le signe de h(x).
Partie B : Etude de la fonction f et tracé de la courbe C
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par xe
1e
f(x)
x
x
−
−
=. Soit C sa courbe représentative (u.g. 5cm)
1) Justifier que f est définie en tout point de [0 ;
+∞
[.
2) Montrer que pour tout x
≠
0 on peut écrire
x-
-x
xe-1
e-1
f(x) =.
En déduire la limite de f(x) en + ∝ et interpréter le résultat obtenu.
3) Exprimer f’(x) en fonction de h(x). Etudier la fonction f et dresser son tableau de variation.
4) Préciser la tangente à C en son point d’abscisse 0.
5) Tracer C en faisant figurer sur le dessin la droite d d’équation y = 1 ainsi que tous les éléments obtenus au cours de
l’étude.

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5
C
Partie A : Soit la fonction g, définie sur R, qui, à tout x, associe : g(x) = e
x
(x - 1) + x
2
.
1) Montrer que la dérivée de la fonction g sur R est : g'(x) = x(e
x
+ 2)
2) Déterminer les limites de g en +∞ et -∞.
3) Étudier le signe de g'(x) sur R, et dresser le tableau de variation de g sur R.
4) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution a et une seule sur l'intervalle [0, +∞[.
Montrer que a est dans l'intervalle  =1;
2
1
I .
5) En déduire le signe de g sur l'intervalle [0, +∞[.
Partie B : Soit la fonction f définie sur [0, +∞[ par : xe
e
f(x)
x
x
+
=.
1) Montrer que les équations f(x) = x et g(x) = 0 sont équivalentes sur [0, +∞[, et que, par suite, l'équation f(x) = x admet
a pour solution unique sur I
2) Calculer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur [0, +∞[.
3) Déterminer la limite de f en +∞.
4) Dresser le tableau de variation de f.
5) Construire la courbe représentative (C) de f sur [0, +∞[ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en
particulier les tangentes à (C) aux points d'abscisse 0 et 1.
6
C Soit la fonction f définie sur R par :
x
e²)x1(f(x)
−
−= . On note C sa courbe représentative.
1) Déterminer la limite de f sur son ensemble de définition. Interpréter le résultat.
2) Déterminer la fonction dérivée f’.
3) Etablir le tableau de variations de f.
4) Déterminer une équation de la tangente T en A d’abscisse 0.
5) Tracer T et C.
7 Soit la fonction f définie sur R par : 1e
4e
1f(x)
2x
x
+
−= . On note C sa courbe représentative.
1) Etudier les variations de f sur [0, +∞[.
2) Montrer que C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
3) Dresser le tableau de variations de f sur R.
8
C Soit la fonction f définie sur [- 1, +∞[ par :
x
ex1f(x)
−
+= . On note C sa courbe représentative.
1) Déterminer la limite de f en +∞. Interpréter le résultat.
2) Déterminer la fonction dérivée f’.
3) Démontrer que f admet un maximum égal à 2
e pour une valeur de x à déterminer.
4) Etablir le tableau de variations de f.
9 Exponentielle et Systèmes
Partie A.
On considère une fonction f définie sur R par f(x) = (ax² + bx + c)e
–x
. On note C sa représentation graphique.
On sait que C passe par le point A (0 ; 1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1. On sait aussi que
f’(0) = - 6. Déterminer les coefficients a, b et c.
Partie B.
On considère une fonction f définie sur R par f(x) = (x² - 5x + 1)e
–x
.
1) Calculer f(0)
2) Etudier les limites de f en
−∞
et
+∞
. Interpréter graphiquement.
3) Calculer f’(x) puis factoriser.
4) En déduire le tableau de variation de f.
5) Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse 0.
10 On considère les fonctions f et g définies sur R par ²x5.0x1e)x(getx1ef(x)
xx
−−−=−−= .
1) Etudier les variations de f sur R. Donner la valeur de f(0) et en déduire le signe de f sur R.
2) Etudier les variations de g sur R. Donner la valeur de g(0) et en déduire le signe de g sur R.
3) Montrer que pour tout x réel négatif, ²x5.0x1ex1
x
++≤≤+
4) Quel encadrement de
1.0
e
−
obtient-on ?

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11
C On considère la fonction f définie sur R par )e2)(1x(f(x)
x−
−−=
1) Calculer f’(x) et f’’(x).
2) Etudier le signe de f’’(x) pour tout x de R. En déduire les variations de f’ sur R.
3) Donner le signe de f’ sur R.
4) Dresser le tableau de variations de f sur R.
12
C On considère la fonction f définie sur R
*
par f(x) = 1e
1
12x
x
−
+−
1) Expliquer pourquoi f est définie sur R
*
.
2) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3) Calculer la dérivée f’ de f.
4) Résoudre l’inéquation 2e
2x
– 5e
x
+ 2 > 0
5) Dresser le tableau de variations de f
6) Tracer la courbe représentative de f et ses asymptotes.
13 Soit f la fonction définie par 1e
1e
f(x)
2x
2x
+
−
=
1) Étudier les variations de f
2) Etudier les limites de f en -∞ et en +∞. Dresser son tableau de variations.
3) Soit (C) la courbe représentative de f. Donner l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0. Tracer (C) et T.
4) Démontrer que l'équation 2
1
f(x) = a une solution unique α dans IR. Donner une valeur approchée de α .
14
C On considère la fonction f définie sur R
*
par f(x) =
x
e
x
4x −. On note C sa représentation graphique dans un repère.
1) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2) Calculer la dérivée f’ de f et préciser son signe.
3) Etablir le tableau de variation de f.
4) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 2.
5) Tracer C.
15
C
On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = (x+1)²e
-
x
. On note C sa représentation graphique.
1) Etudier les limites de f en
−∞
et
+∞
. En déduire l’existence d’asymptotes.
2) Calculer la dérivée f’ de f et préciser son signe.
3) Etablir le tableau de variation de f.
4) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 0.
5) Tracer C et T.

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CORRIGE :
1
C
Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer :
- l’ensemble de définition I de la fonction ;
- les limites de la fonction aux bornes de I ;
- la dérivée et le signe de la dérivée ;
- le tableau de variation complet de la fonction.
1
xe)x(f
x
+= ; I = R ; 0)x('f,Rxet1e)x('f
x
>∈∀+=
x -
∝ + ∝
Signe de f’(x) +
Variations de f +
∝
+ ∝
2
0x0)x('f;1e)x('f;RI;xe)x(f
xx
≥⇔≥−==−=
x -
∝ 0 + ∝
Signe de f’(x) - 0 +
Variations de f +
∝ + ∝
1
3
x
xe)x(f =.1x0)x('fe)x1()x('f
x
−≥⇔≥+=
x -
∝ -1 + ∝
Signe de f’(x) - 0 +
Variations de f 0 +
∝
-e
-1
4
x
e
)x(f
x
= ; 1x0)x('f;
²x
)1x(e
)x('f,Ix;[;0][0;]I
x
≥⇔≥
−
=∈∀∞+∪∞−=
x -∝ 0 1 +∝
Signe de f’(x) - - 0 +
Variations de f 0 +∝ +∝
-∝ e
5
2
3
x0)x('f;e)6x4()x('f;RI;e)x(f
1x6²x21x6²x2
≤⇔≥+−===
++−++−
x -∝ 3/2 +∝
f’(x) + 0 -
f(x) e
11/2
0 0
6
xe)x(f
3x
+=
+−
; I = R ; 3x0)x('f;1e)x('f
3x
≥⇔≥+−=
+−
x -∝ 3 +∝
Signe de f’(x) - 0 +
Variations de f +∝ +∝
4
7
1e
3e
f(x)
x
x
+
+
=0)x('f,Rx;
1)²(e
2e-
(x)f'
x
x
<∈∀
+
=
LA courbe admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote en +∝ et la droite d’équation y = -1/3 en -∝.
x -∝ +∝
f’(x) -
f(x) 3
1

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1x
e
f(x)
x
+
= ; 0x0)x('f;
1)²(x
xe
(x)f';[;1-][1-;-]I
x
≥⇔≥
+
=∞+∪∞=
x -∝ -1 0 +∝
Signe de f’(x) - - 0 +
Variations de f 0 +∝ +∝
-∝ 1
9
xx
e)4x3²x()x('f;e)5x²x()x(f −+=−+=
x -∝ -4 1 +∝
f’(x) + 0 - 0 +
f(x)
4
e7
−
+∝
0
e
3
−
10
1e3e2)x('f;xe3ef(x)
xx2x2x
+−=+−=
x -∝ -ln2 0 +∝
f’(x) + 0 - 0 +
f(x)
2ln
4
5−− +∝
-∝
2
−
2 On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = e
x
– x – 2. On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1) +∞=
−∞>−
)x(flim
x
et donc
x
2
1
x
e
x)x(f
x
−−= +∞=
+∞>−
)x(flim
x
La courbe n’admet pas d’asymptotes horizontales ni verticales.
2) 0x0)x('fet1e)x('f
x
≥⇔≥−=
3)
x -∝ 0 +∝
Signe de f’(x) - 0 +
Variations de f +∝ +∝
-1
4) y = (e – 1)x – 2
3 Partie A : Etude d’un polynôme.
1) P(1) = 0
2) P(x)= (x – 1)(x² - 1) = (x – 1)²(x + 1)
3) S = [-1 ; +∝[ ∪ { 1 }
Partie B : Etude d’une fonction comportant une exponentielle.
1) 0)x(flim
x
=
−∞>−
+∞=
+∞>−
)x(flim
x
; +∞=
−
>−
)x(flim
0x
−∞=
+
>−
)x(flim
0x
2) La courbe admet la droite d’équation x = 0 comme asymptote verticale. ; la courbe admet l’axe des abscisses comme
asymptote horizontale