Untitled - XMaths

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Remarques
●
Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une
infinité de points ayant chacun une longueur nulle.
●
L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une
intégrale. Pourtant cette partie du plan est constituée d'une
infinité de segments ayant chacun une aire nulle.
●
De la même façon on peut définir une loi de probabilité sur
un intervalle [a ; b], en utilisant une intégrale.
Et ceci même si chaque nombre de [a ; b] a une probabilité
nulle. La fonction que l'on intègrera sera appelée fonction de
densité de la loi probabilité.
Définition
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b].
On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b] tels que u £ v
on a p(u £ X £ v) =
⌡
⌠
u
v
1
b - a dx
c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,
de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x)
où la fonction f est définie sur [a ; b] par f(x) = 1
b - a
Cette fonction f définie par f(x) = 1
b - a est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b].
Remarques
●
Dans le cas d'une loi uniforme, l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x) est un
rectangle et on a de façon évidente p(u £ X £ v) = (v - u) x 1
b - a = v - u b - a .
●
La valeur 1
b - a a été choisie de telle façon que p(a £ X £ b) = 1 .
●
On pourra utiliser la notation p(u £ X £ v) = p([u ; v]).
●
On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) .
●
Il est parfois utile que la fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] soit définie sur IR.
Dans ce cas, on prendra f(x) = 1
b - a pour x ∈ [a ; b] et f(x) = 0 pour x ∉ [a ; b].
Exercice 03 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [-1 ; 1].
Déterminer : p(X £ 0,3) ; p - 1
2 £ X £ 1 2 ; p(X > 0,3) ; p
X ∈ 1
4 ; 3 4
[]
; p X ∉
1
6 ; 1 2
Exercice 04 (voir réponses et correction)
Julie doit aller dans un magasin qui ouvre à 8h30. Elle s'y rend en bus et elle arrive entre 8h et 9h30.
Son heure d'arrivée T suit la loi uniforme sur l'intervalle [8 ; 9,5].
Quelle est la probabilité que Julie arrive avant l'ouverture du magasin ?
La direction a décidé, sans l'annoncer publiquement, que toutes les personnes qui entreraient dans le
magasin entre 9h et 9h15 recevraient un cadeau. Quelle est la probabilité que Julie reçoive un cadeau ?
Exercice 05 (voir réponses et correction)
On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1].
Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit un 3 ?
Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit pair ?
Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,6 quelle est la probabilité qu'il soit inférieur à 0,95 ?
Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,963 quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α,
le deuxième chiffre après la virgule soit multiple de 3 ?
1
b - a
b u
v
a
M

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Exercice 06 (voir réponses et correction)
On considère l'intervalle I = ]0 ; 10].
1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude :
]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10]
On considère l'univers Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω.
On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω.
Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude :
]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10]
On considère l'univers Ω = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; … ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω.
On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω.
Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis
en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification)
4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de E(X).
5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 1
10 . Calculer ⌠
⌡
0
10
x f(x) dx .
Définition
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b].
Soit f une fonction définie, positive et continue sur [a ; b] telle que
⌡
⌠
a
b
f(x) dx = 1 .
On dit que X suit une loi de fonction de densité f sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b]
tels que u £ v on a p(u £ X £ v) =
⌡
⌠
u
v
f(x) dx
c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,
de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x)
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X
le nombre réel E(X) =
⌡
⌠
a
b
x f(x) dx
Remarques
●
On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) .
●
Il est parfois utile que la fonction de densité soit définie sur IR.
Dans ce cas, on prendra f(x) = 0 pour x ∉ [a ; b].
Exercice 07 (voir réponses et correction)
X suit la loi uniforme sur [a ; b] (avec a < b). Définir la fonction de densité f.
Calculer l'espérance mathématique de X.
Propriété
Si X suit la loi uniforme sur [a ; b] alors son espérance mathématique est E(X) = a + b
2 .
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X prend ses valeurs dans [1 ; 4].
On veut modéliser la situation en utilisant une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie
sur [1 ; 4] par f(x) = λx où λ est un réel fixé.
1°) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera.
2°) Déterminer les probabilité suivantes : p(2 < X £ 3) ; p(X < 2) ; p(X > 3,95).
3°) Calculer l'espérance mathématique de X.
Remarque
Si une variable aléatoire prend ses valeurs dans un intervalle non borné, par exemple [0 ; +∞[, on ne peut
pas utiliser une loi uniforme, mais on pourra néanmoins utiliser une loi à densité.
b
u v
a
M

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Remarque ( voir animation )
On considère une variable aléatoire X
n
suivant la loi binomiale B(n ; p).
On sait que son espérance mathématique est E = n x p et que son écart-type est σ = n x p x (1 - p)
Lorsqu'on fait une représentation graphique de la loi binomiale, on obtient pour toutes les valeurs de n et
de p une forme dite "en cloche", mais ce graphique dépend des valeurs de n et de p.
Afin de standardiser la courbe en vue d'étendre les résultats à une infinité de valeurs en utilisant une
fonction de densité, on peut commencer par centrer la variable (la courbe en cloche semble symétrique).
Pour cela on considère la variable aléatoire : Y
n
= X
n
- n x p .
D'après les propriétés connues, cette variable aléatoire Y
n
aura alors une espérance mathématique
égale à 0 et un écart-type identique à celui de la variable aléatoire X
n
.
Puis afin de standardiser les écarts possibles de la variable aléaloire, on la divisera par l'écart-type σ.
On obtient alors la variable aléatoire Z
n
= X
n
- n x p
n x p x (1 - p)
.
D'après les propriétés connues, la variable aléatoire Z
n
aura alors une espérance mathématique égale à 0 et
un écart-type égal à 1.
On dit que Z
n
est la variable aléatoire centrée réduite associée à X
n
.
Lorsqu'on fait une représentation graphique de la loi de probabilité de Z
n
on obtient une forme en cloche qui
reste très stable lorsqu'on fait varier les valeurs de n et de p.
Lorsqu'on superpose à ce graphique
la courbe de la fonction f définie sur IR
par f(x) = 1
2π e
-
1
2
x
2
( voir animation )
on remarque, lorsque n est suffisamment grand,
une coïncidence quasi-parfaite.
Remarque
Les études sur ces probabilités sont principalement dues à :
Jacques BERNOULLI (1654-1705)
Abraham de MOIVRE (1667-1754)
Pierre-Simon LAPLACE (1749-1827)
Carl Friedrich GAUSS (1777-1855)

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Exercice 09 (voir réponses et correction)
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 1
2π e
-
1
2
x
2
1°) Justifier que f(x) > 0 pour tout x ∈ IR.
2°) Étudier le sens de variation de f. Justifier que f a un maximum que l'on déterminera.
En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de f sur l'intervalle [-4 ; 4].
3°) En utilisant GeoGebra, conjecturer la valeur de
⌡
⌠
0
b
f(x) dx lorsque b est très grand.
(On ne cherchera pas à calculer cette intégrale)
Définition
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans IR.
On dit que X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) lorsque
pour tout u ∈ IR et tout v ∈ IR tels que u £ v ,
on a p(u £ X £ v) =
⌡
⌠
u
v
1
2π e
-
1
2
t
2
dt
c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,
de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x)
La fonction f définie sur IR par f(t) = 1
2π e
-
1
2
t
2
est appelée
fonction de densité de la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Remarques
●
On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) .
●
On ne peut pas, à partir des fonctions déjà connues, trouver de primitive de la fonction de densité de la
loi normale centrée réduite N(0 ; 1), c'est-à-dire de la fonction f définie sur IR par f(t) = 1
2π e
-
1
2
t
2
●
La fonction de densité de la loi normale centrée réduite a une courbe symétrique par rapport à (Oy),
donc si x est un nombre réel positif, on a
⌡
⌠
-x
0
1
2π e
-
1
2
t
2
dt =
⌡
⌠
0
x
1
2π e
-
1
2
t
2
dt
c'est-à-dire p(-x £ X £ 0) = p(0 £ X £ x) et par conséquent p(-x £ X £ x) = 2 x p(0 £ X £ x)
●
Pour les mêmes raisons de symétrie on a aussi p(X £ 0) = p(X ³ 0) = 1
2
Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Son espérance mathématique est E(X) = 0 et son écart-type est σ(X) = 1.
Remarque
Lorsqu'on parle de la loi normale centrée réduite, le mot "centrée" indique que l'espérance mathématique est
égale à 0, cela correspond au premier paramètre de la notation N(0 ; 1), le mot "réduite" indique que le carré
de l'écart-type est égal à 1, cela correspond au deuxième paramètre de la notation N(0 ; 1).
Exercice 10 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). On donne dans le tableau suivant des
valeurs approchées de p(X < x) pour certaines valeurs de x.
x
-
1
-
0,75
-
0,5
-
0,25 0 0,25 0,5 0,75 1
p(X <
x
) 0,159 0,227 0,309 0,401 0,500 0,599 0,691 0,773 0,841
En utilisant ce tableau, déterminer : p(X £ 0,5) ; p(X ³ -0,75) ; p(-1 < X < 0,5) .
Exercice 11 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). On donne p(X £ -1,3) ≈ 0,0968 .
Déterminer p(X ³ -1,3) ; p(X ³ 1,3) ; p(X £ 1,3) ; p(-1,3 £ X £ 0) ; p(-1,3 £ X £ 1,3)
u
v
M