Unité F

Unité F
Calcul 30 – Unité F – Page 309
Page 310 – Calcul 30 – Unité F
Unité F : Applications pratiques des dérivées
Résultats d’apprentissage généraux (RAG)
 Utiliser la dérivation pour résoudre des problèmes traitant d’optimisation, de taux de variation et
de distance-vitesse-accélération.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques F.1, F.2 et F.3.
Résultats d’apprentissage spécifiques (RAS)
F.1 Résoudre des problèmes mettant en jeu des taux de variation.
F.2 Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
F.3 Déterminer la vitesse instantanée et l’accélération d’une particule, la fonction de sa position étant
connue.
Calcul 30 – Unité F – Page 311
Page 312 – Calcul 30 – Unité F
F.1
Résoudre des problèmes mettant en jeu des taux de variation.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Dans les unités D et E, les élèves ont rencontré certains problèmes comportant des taux de variation
dans leur apprentissage de la dérivation et du traçage de courbes. Cette unité-ci leur donne l’occasion
de revoir et améliorer leurs capacités de résoudre des problèmes de ce type. Dans cette unité, les
élèves doivent pouvoir interpréter la pente d’une tangente comme un taux instantané de variation et
la pente de la sécante comme un taux moyen de variation. Il est très important que les élèves
indiquent les unités de grandeur utilisées dans leurs réponses. Regarder à nouveau le RAS D.4, dans
lequel on a présenté la pente de la tangente comme un taux de variation.
Présentez cet objectif au moyen de l’exemple suivant.
Exemple : Pendant une période de 24 heures, la température, en degrés Celsius, dans notre ville
était donnée par la fonction f  x   0, 002 x3  0, 05 x 2  2,8 x  8 , où x est le nombre d’heures écoulées.
(a) Tracez un graphe de la fonction pour x   0, 24 .
(b) Trouvez la température après 5 heures et après 15 heures.
(c) Trouvez le taux moyen de variation de la température pendant ces 10 heures. Interprétez cela
graphiquement.
(d) Trouvez le taux instantané de variation de la température après 5 heures et après 15 heures.
Solution :
(a) Le graphe apparaît ci-dessous. Les élèves peuvent créer un tableau de valeurs au moyen d’une
calculatrice puis tracer le graphe, ou encore utiliser un utilitaire graphique puis copier le graphe à
y
partir de l’utilitaire.


(b) f  5  20,5 et f 15  32 .
B 15,32 
(c) Le taux moyen de variation de la température pendant
ces 10 heures peut être déterminé en trouvant :
variation de la température
variation du temps
32  20,5 11,5


 1,15 / h
15 h  5 h 10 h
A  5, 20,5 
x
(d) Graphiquement, c’est la pente de la sécante
reliant les points A et B.
(e) Pour trouver le taux instantané de variation après 5 heures, trouvez la pente de la tangente au
point A. (Si l’on trouve le taux moyen de variation sur des intervalles de temps de plus en plus
courts, la sécante tend vers la tangente.)
Comme f   x   0, 006 x 2  0,1x  2,8 , donc f   5   2,15 / h et f  15   0, 05 / h .
Après 5 heures, la température croît au rythme de 2,15 degrés à l’heure et après 15 heures, elle
décroît au rythme de 0,05 degré à l’heure.
Calcul 30 – Unité F – Page 313
F.1 (suite)
Résoudre des problèmes mettant en jeu des taux de variation.
Exemples/activités
La plupart des manuels de calcul sont une source suffisante de questions
de ce type. Voici quelques suggestions. Insistez pour que les élèves
donnent les unités appropriées.
1. Un ballon-sonde météorologique qui renferme 540 m3 d’hélium a
une fuite et se vide en 60 secondes. Supposez que le volume d’hélium
dans le ballon en fonction du temps est donné par
3
t 

V  t   540  1   . Trouvez
 60 
(a) le taux moyen de variation du volume durant les 60 secondes qu’il
prend pour se vider.
(b) le volume du ballon après 40 secondes.
(c) le taux instantané de variation du volume à 40 secondes.
540  0
 9 m3 / sec.
Solution : a)
0  60
t 

b) V  t   540  1  
60



V  40   540 1  40
3
60 
3
V  40   20 m3
 60    160
 27 1  t 
60
V   40   27 1  40 
60
2
c) V   t   1620 1  t
2
2
 3 m3 / sec.
2. Si y  x 2 et x passe de 1 à 5, quelle est la variation moyenne de y?
Quel est le taux instantané de variation de y quand x  4 ?
Solution : y  x 2
y  x2
y  1
y 1
2
variation moyenne
taux instantané
y  52
y  25
25  1 24

6
5 1
4
f  x   x2
f  x  2x
f   4  2  4  8
3. Si on lance une pierre dans l’eau, des ondes circulaires s’étendent
vers l’extérieur à partir du point où la pierre est entrée dans l’eau.
L’aire de l’onde circulaire est donnée par la fonction A  r    r 2 .
(a) Quelle est la variation moyenne de l’aire lorsque r passe de 3 m à
7 m?
Solution :  3,9   7, 49 
49  9
 31, 4 m 2
73
(b) Quel est le taux instantané de variation de l’aire par rapport au
rayon quand le rayon est de 6 m?
Page 314 – Calcul 30 – Unité F
Suggestions/compléments
Demandez aux élèves de discuter de
situations familières mettant en jeu des taux
instantanés et/ou moyens de variation. Les
élèves peuvent aussi créer des problèmes à
résoudre en classe.
Solution : A  r    r 2
A  r   2 r
A  6   2  6 
 12 m 2
4. Supposez que le nombre de personnes qui, à votre école, entendent
une rumeur sur vous x heures après qu’elle eut été lancée est donné
par la fonction N  x   6 x .
(a) Quelle est la vitesse moyenne à laquelle la rumeur se répand
entre x  0 et x  9 ?
Solution : N  x   6 x
N 9  6 9
N  0  6 0
N  9   18
N 0  0
 0, 0 
 9,18 
18  0
 2 personnes / heure
90
(b) Quelle est la vitesse moyenne à laquelle la rumeur se répand après
4 heures?
Solution : N  x   6 x
1
N   x   3x
N   4 
2
1
2
3
 3  1,5 personnes / heure
2
4
(c) La vitesse à laquelle la rumeur se répand est-elle croissante ou
décroissante? Indice : considérez le graphe de la fonction.
Solution : décroissante
5. La valeur d’une nouvelle voiture x années après son achat est donnée
25 000
.
par la fonction V  x  
2
1

 0, 02 x 
(a) Quelle était la valeur de la voiture quand elle était neuve?
25 000
Solution : V  x  
2

1
 0, 02 x 
V 0 
25 000
1  0 
2
 25 000$
(b) Quelle était la valeur de la voiture après cinq ans?
25 000
Solution : V  5  
2
1  0, 02  5 
V  5   20 661,16$
(c) Quelle a été la dépréciation annuelle moyenne durant ces cinq
ans?
25 000  26 661,16
Solution :
 867, 77 $
05
Ceci représente la dépréciation annuelle moyenne.
(d) Quel était le taux instantané de variation du prix après 4 ans,
c’est-à-dire quand x  4 ?
25 000
Solution : V  x  
2
1  0, 02 x 
Calcul 30 – Unité F – Page 315
V  x 
V  x 
V   4 
0 1  0, 02 x   2 1  0, 02 x  0, 02  25 000 
2
1  0, 02 x 
4
1 000
1  0, 02 x 
3
1 000
1  0, 02  4  
3
 793,83$ par année
6. Si l’essence coûte 0,80 $/l et que vous parcourez 24 000 km par
année, vos coûts annuels en essence seront donnés par la fonction
C  x   19 200 x , dans laquelle x est le nombre de km/l que peut faire
votre voiture.
(a) Trouvez vos coûts annuels en essence si votre voiture fait 3 km/l.
Solution : C  x   19 200 x
19 200
3
 6 400, 00$ par année par km / L
(b) Trouvez vos coûts annuels en essence si votre voiture fait 8 km/l.
19 200
Solution : C  8  
8
 2 400, 00$ par année par km / L
(c) Quel est le taux moyen de variation de vos coûts annuels en
essence lorsque x passe de 3 à 8.
6 400  2 400
 800, 00$
Solution :
38
Ceci est le taux moyen de variation par km/h.
(d) Quel est le taux instantané de variation de vos coûts annuels en
carburant quand x  5 ?
Solution : C  x   19 200 x 1
C  3 
C   x   19 200 x 2
19 200
52
C   5   768, 00 $
C   5 
Ceci est le taux instantané de variation par km/L.
Page 316 – Calcul 30 – Unité F
F.2
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
L’une des applications les plus puissantes et les plus fascinantes du calcul est la résolution de
problèmes d’optimisation. Tous les ouvrages sur le calcul en renferment, même s’il peut être
nécessaire de chercher dans plusieurs livres pour trouver un nombre suffisant de problèmes sur
lesquels les élèves peuvent tenter de le résoudre sans devenir frustrés. Les ouvrages universitaires sur
le calcul ne présentent qu’un petit nombre de problèmes de difficulté moindre.
Un problème d’introduction se trouve, dans un format interactif, dans le logiciel Journey Through
Calculus. Sachez que ce problème représente un défi et qu’il convient peut-être de présenter d’abord
aux élèves des problèmes plus simples pour qu’ils parviennent rapidement à des solutions.
Le problème a pour objet le dilemme d’un surveillant de plage qui découvre un nageur en détresse.
Le nageur se trouve à 50 m de la rive. Le surveillant de plage est à 150 m du point de la rive
directement opposé au nageur. Le surveillant peut courir à une vitesse de 6 m/s et nager à une vitesse
de 3 m/s. Quel parcours (le long de la plage puis dans l’eau) le surveillant devrait-il prendre pour
atteindre le nageur le plus rapidement possible?
S
50 m
G
150 m
Poser ce problème et laisser les élèves tenter de le résoudre sans aide pendant un temps assez long
peut se révéler très payant. La plupart des élèves essaieront d’abord de résoudre le problème par
tâtonnement. En utilisant des valeurs réelles, les élèves se familiarisent avec le problème et sont plus
en mesure de formuler une expression pour la variable du temps écoulé. Avec un peu de chance, leur
travail expérimental mènera à certaines questions (CCT) :
 Puis-je obtenir une expression pour le temps pris par rapport au point où le surveillant entre dans
l’eau? Si j’obtiens cette expression, que puis-je en faire? Comment le calcul résout-il cette
situation?
La solution du problème en utilisant les deux valeurs les plus probables de x montrera comment
différentes valeurs conduisent à différents niveaux de difficulté dans la dérivation et la résolution de
l’équation résultante.
S
x 2  502
150  x
G
G
x 2  502
3
2
S
 502
50 m
x
x
150 m
150  x
T  x 

6
150  x 
50 m
150  x
150 m
T  x 
x

6
150  x 
2
 502
3
L’équation à gauche est plus facile à résoudre et le temps de sauvetage est minimisé si le surveillant
parcourt 121,13 m avant d’entrer dans l’eau. Le traçage de la fonction sur la calculatrice graphique et
l’utilisation de l’option Calculate Minimum contribuera à confirmer la solution. Les élèves peuvent
voir le graphe de la fonction et se rendre compte qu’ils doivent dériver pour trouver le minimum
relatif. Rappelez aux élèves que s’ils n’ont pas vu le graphe de la fonction, ils ne doivent pas
supposer que le minimum absolu se produit à un minimum relatif. Ils doivent vérifier pour trouver les
valeurs de T  0  et T 150  pour vérifier si elles donnent un temps plus court. Il est aussi extrêmement
important de noter que le domaine de la fonction qui donne le temps du surveillant de plage est
0,150 . (RAS E.2 au besoin)
Calcul 30 – Unité F – Page 317
F.2
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Exemples/activités
Demandez aux élèves de commencer par des problèmes
d’optimisation portant sur des nombres.
1. Un nombre est supérieur à un autre de 4. Comment faut-il le
choisir pour minimiser leur produit? Quel est ce produit minimum?
Vous préféreriez peut-être les questions suivantes. Comment faut-il le
choisir pour maximiser leur produit? Quel est ce produit maximum?
Notez que les deux dernières questions n’ont pas de réponse. Même si
vous ne voulez pas faire le coup trop souvent à vos élèves, ils doivent
se rendre compte que le valeur critique n’est qu’un des endroits où
chercher des extremums absolus. Ils doivent aussi considérez les
points extrêmes du domaine du problème. Dans ce cas, aucune
restriction n’est imposée aux nombres, sinon que l’un d’eux doit être
est supérieur à un autre de 4. Ainsi, il est évident que 1 000 et 1 004
donnent un produit élevé, mais pas aussi grand que 10 000 et 10 004.
Vous avez compris.
2. Deux nombres ont une somme de 4. Comment faut-il les choisir
pour maximiser leur produit? Quel est ce produit maximum?
Solution :
x y  4
P  xy
x y  4
y  4 x
P  x 4  x
2 y  4
P  4x  x
P  4  2 x
0  4  2x
y2
P  xy
4  2x
P   2  2 
2x
P4
2
0  1 4
1   4
Rappelez-vous que ces valeurs de x
représentent la distance sur laquelle le
sauveteur ne court pas, voir le diagramme de
la page précédente.
En explorant ce problème, les élèves doivent
être encouragés à modéliser/représenter le
problème de différentes façons pour accroître
leur compréhension du problème.
x2
m   2    2 
m  4
x 4
x  2
2
4. Quel nombre excède son carré de la plus grande quantité? Quelle
est cette quantité?
2
Solution : q  x  x 2
1  2x
q 1  1
2
2
1 x
q  1  2 x
q 1 1
2
2
4
 
Page 318 – Calcul 30 – Unité F
Appuyez ensuite sur 2nd WINDOW pour
dresser votre tableau de sorte que vous pouvez
entrer vos valeurs de x une à la fois, à mesure
que vous les choissiez, voir ci-dessous.
produit maximum
x2
x2
 x 2  4
150  x
x 2  502

, entrez
6
3
la fonction à l’écran d’édition Y= de la
calculatrice.
sauveteur est y 
Vous pouvez maintenant commencer à deviner
les valeurs de x qui pourraient minimiser le
temps mis par le sauveteur. En voici un
échantillon ci-dessous.
3. Deux nombres ont un produit de 4. Comment faut-il les choisir
pour minimiser leur somme?
Solution :
xy  4
m  x y
y4
y4
x
x
1
4
4
4
y
y
m  x  4x
y
2
x
2
2
m  1  4 x
y2
y  2
m  1  4
Suggestions/compléments
Si vous n’avez pas le logiciel Journey Through
Calculus, vous pouvez quand même faire une
introduction interactive avec les élèves à l’aide
de la calculatrice graphique. Une fois que l’on
a trouvé que l’expression du temps mis par le
 4
q 1
0  1  2x
5. Quel nombre excède sa racine carrée de la plus petite quantité?
Quelle est cette quantité?
1
Solution : q  x  x
q 1  1
1  
4
4
2 x
q  xx
1
2 x 1
2
q 1 1
4
2
1
q 
4
 
1
q  1  1 x 2
x1
2
2
1
q  1 
x 1
4
2 x
1
0  1
2 x
6. Deux nombres positifs doivent avoir une somme de 15. Comment
faut-il les choisir pour maximiser le produit du carré de l’un d’eux
et du cube de l’autre? Quel est ce produit maximum?^
Solution :
P  x3 y 2
x  y  15
P  x 3 15  x 
y  15  x
y  15  0
 0,15 
2
P  x5  30 x 4  225 x 3
P   5 x 4  120 x 3  675 x 2
0  5 x 2  x  15  x  9 
y  15  9
y  6  9, 6 
x  0,9,15
P   0  15   0
3
2
y  15  15
P  15   0   0
y  0 15, 0 
P   9   6   26 244
3
3
2
2
produit maximum 26 244
7. Deux nombres positifs ont un produit de 9. Comment faut-il les
choisir pour minimiser la somme de leurs carrés? Quel est ce
minimum?
Solution :
xy  9
m  x2  y 2
y9
x
y9
x
 x
m  x2  9
m  x  81
2
2
x2
m  x 2  81x 2
m  2 x  162 x 3
2 x  162 x 3
y9
3
y3
m  99
m  18 minimum
x  3
nombres positifs, alors x  3
Vous pouvez aussi essayer quelques problèmes sur des nombres
semblables à ceux ci-dessus, mais qui exigent des élèves de travailler
avec une constante abstraite. Considérez les cas suivants.
8. Trouvez deux nombres positifs dont la somme est k, s’il faut
maximiser leur produit. Quel est le rapport d’un nombre à l’autre?
Solution :
x y  k
P  xy
P  k  2 x
Calcul 30 – Unité F – Page 319
ykx
P  x k  x
k  2 x
P  kx  x
1 kx
2
yk1 k
2
2
rapport
1 k
x
 2  1
y 1 k
2
y1 k
2
9. Deux nombres positifs ont une somme de k. Comment faut-il les
choisir pour minimiser la somme de leurs carrés? Quel est ce
minimum?
Solution :
x y  k
m  x2  y2
ykx
ykx
m  x2   k  x 
2
m  2 x 2  k 2  2kx
m  4 x  2k
2k  4 x
1 kx
2
Page 320 – Calcul 30 – Unité F
yk1 k
2
1
y
k
2

 


2
m 1 k  1 k
2
2
2
1
1
m
k 
k2
4
4
m  1 k2
2

2
F.2 (suite)
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Le problème d’introduction illustre très bien la puissance du calcul et les complications que les élèves
peuvent parfois rencontrer.
Passez ensuite à quelques exemples qui ne sont pas aussi difficiles. Il est préférable que les élèves
connaissent tôt le succès. Avant de vous attendre à ce qu’ils puissent résoudre le type de problème
présenté en introduction, il serait bon de passer une période de classe sur des problèmes
d’optimisation portant sur des nombres et une autre période sur des problèmes portant sur des figures
géométriques. Vous pouvez créer un projet de devoir contenant 4 ou 5 des problèmes les plus
difficiles.
Voici quelques conseils que vous pourrez leur donner au moment opportun. Il ne sert à rien de
passer à travers tous ces conseils d’un seul coup.
 Lisez la question attentivement. Quelle est la quantité que vous essayez de maximiser ou de
minimiser?
 Trouvez une expression pour cette quantité en termes des variables en jeu. Si vous ne trouvez pas
l’expression, faites quelques suppositions, jusqu’à ce que vous voyiez se dessiner un modèle, une
régularité. Trouvez une relation entre les variables de façon que vous puissiez écrire une
expression pour la quantité en termes d’une seule variable. Si vous avez de la difficulté à écrire
l’expression en termes d’une variable, cherchez des relations entre les variables. Si vous
travaillez sur une figure géométrique, le théorème de Pythagore ou les triangles similaires
peuvent souvent conduire à de telles relations.
 Si le problème porte sur une figure géométrique, tracez un schéma très bien étiqueté. Cela aide
souvent à créer l’expression désirée.
 Lorsque vous avez créé l’expression, trouvez sa dérivée et déterminez les valeurs critiques.
 Évaluez l’expression à chacun des valeurs critiques de même qu’aux extrémités de l’intervalle du
domaine de la fonction. Si le domaine de l’expression est entièrement des nombres réels,
considérez ce qui advient de la valeur de l’expression pour des valeurs positives et négatives très
grandes de la variable. Sélectionnez la ou les valeurs critiques qui optimisent la quantité.
 Concluez en une phrase.
Les ouvrages sur le calcul proposent de nombreux problèmes classiques. En voici deux que vous
pouvez proposer aux élèves.
1. Une feuille de papier rectangulaire mesure 20 cm sur 28 cm. Des carrés de même taille doivent
être découpés dans chaque coin de la feuille et les rabats qui restent sont repliés pour former une
boîte sans couvercle. Trouvez les dimensions du carré qu’il faut découper pour maximiser le
volume de la boîte.
2. On veut fabriquer une canette cylindrique, en métal, de volume V connu. Quel est le rapport du
diamètre de la canette à sa hauteur si la quantité de métal utilisée dans sa fabrication doit être
minimisée? Supposez que le métal utilisé a une épaisseur uniforme.
Calcul 30 – Unité F – Page 321
F.2 (suite)
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Exemples/activités
10. Après avoir travaillé sur des problèmes de nombres, vous pouvez
passer à des problèmes sur des figures géométriques, comme les
problèmes « classiques » suivants.
(a) Sadie a 60 m de treillis qu’elle prévoit utiliser pour clôturer
un jardin rectangulaire. Trouvez les dimensions du jardin qui
maximiseront l’aire. Quelle est l’aire maximum?
Solution :
P  2x  2 y
A  xy
A  xy
A  x  30  x 
60  2 x  2 y
A  15 15 
A  225 m 2
A  30 x  x
30  x  y
A  30  2 x
aire maximum
30  15  y
0  30  2x
15  y
30  2x
15  x
(b) Sadie a 60 m de treillis qu’elle prévoit utiliser pour clôturer un
jardin rectangulaire. Un côté du jardin sera adossé à la grange,
de sorte qu’elle n’a pas besoin de clôturer ce côté. Trouvez les
dimensions du jardin qui maximiseront l’aire. Quelle est l’aire
maximum?
P  xy
P  xy
Solution :
30  x  y
2
x
x
y
P  x 60  2x
P 3015
P  60x 2x
P  450m2
2
P  60  4x
0  60x 4x
60 4x
15  x
60  y  2 x
y  60  2 x
y  60  2 15
aire maximum
30m15m
y  30

2 y  3x  60
y
60  3x
2
60  3 10 
2
P 150m2
P   30 3x
10m15m
2
y
y

P   30x  3 x 
2
x P   x 30  32 x
x
P1015
10  x
 15
11. Quelles sont les dimensions du rectangle ayant la plus grande aire
et qui a une diagonale de 60 m de longueur?
x 2  y 2  3600
Solution : y
y 2  3600  x 2
60m
x
P  xy
Page 322 – Calcul 30 – Unité F
Vous pouvez entreprendre un grand
projet de classe autour du
problème d’une boîte de conserve. Demandez
aux élèves de choisir une boîte de conserve
contenant un aliment favori et dont le diamètre
est nettement différent de la hauteur. Demandez
aux élèves d’écrire une lettre au fabricant de ce
produit pour lui demander pourquoi l’entreprise
n’économise pas le métal en utilisant le rapport
idéal hauteur = diamètre (COM). Vérifiez
chaque lettre d’étudiant pour vous assurer de
l’exactitude du raisonnement mathématique et
de la correction du français. Expédiez une seule
lettre à chaque fabricant. Vous serez surpris des
réponses — des coupons de réduction jusqu’à de
vraies discussions mathématiques démontrant
que la forme a été choisie pour économiser
l’énergie au cours de la mise en conserve.
Recherche (IL) : pourquoi les abeilles
construisent-elles leurs alvéoles en leur donnant
cette forme? Que minimisent ou maximisentelles?
Comment utilise-t-on les souffleries dans la
conception d’une voiture?
(c) Sadie a 60 m de treillis qu’elle prévoit utiliser pour clôturer un
jardin rectangulaire et subdiviser le jardin en deux rectangles,
voir la figure. Trouvez les dimensions du jardin qui
maximiseront l’aire. Quelle est l’aire maximum?
P  xy
P  xy
Solution : y
x
Suggestions/compléments
Essayez de résoudre le problème 7 de cette page
si le rectangle est inscrit dans le triangle droit,
comme ci-dessous.
y  3600  x 2
Réflexion : les oies volent en adoptant une
formation en V. L’angle de cette formation estil différent à chaque vol, ou y a-t-il un angle
optimal qui réduit la résistance du vent? Les
élèves peuvent vouloir travailler par deux ou en
petits groupes lorsqu’ils abordent les problèmes
d’optimisation. Le travail en groupe favorise le
développement et le tri des idées et des
stratégies. (PSVS, CCT)
P  x  3600  x 2 
1
P    3600  x 2 
1
P    3600  x 2 
1
P 
 2  3600  x 
1
2  2
  x 1
2
2
 2 x 
 3600  x 2   x 2 


3600  2 x 2
 3600  x 
2
0
2
1
2
3600  2 x 2
 3600  x 
2
1
y 2  3600  1800
2
0  3600  2x 2
y  1800
3600  2x
y  30 2
2


dimensions du rectangle 30 2 m  30 2 m
1800  x 2
30 2  x
12. Quel est le périmètre minimum que peut avoir un rectangle tout
en renfermant une aire de 60 m 2 ?
Solution :
P  2x  2 y
A  Lh
y
P  2 x  120 x 1
60  xy
P   2  120 x 2
60  y
x
x
dimensions
2

0  2
120
x2
2 15 15
2  
120
x2
60 15
y
30
2 x 2  120
15 m, 2 15 m
60 15
y
2 15  y
x 2  60
x  2 15
13. Quelles sont les dimensions du rectangle le plus grand qui peut
être inscrit dans un demi-cercle de 60 m de rayon?
Solution :
(a) A  2 xy
(b) x 2  y 2  3600
y  3600  x 2
3600  x 2

A  2 x  3600  x 2 
2
A  2x

1
A  2  3600  x 2 
1
A  2  3600  x 2 
1
2
 2   3600  x 
 2x 1
2
1
2  2
 2 x 
 3600  x 2   x 2 


Calcul 30 – Unité F – Page 323
A 
2  3600  2 x 2 
 3600  x 
0  2  3600  2x 
1
2
2
2
02
0  3600  2x 2
3600  2x 2
1800  x 2
30 2  x
(c) 2x

2 30 2

60 2

y  3600  30 2

2
y  3600  1800
dimensions du rectangle
60 2 m  30 2 m .
y  1800
y  30 2
14. Quelles sont les dimensions du rectangle le plus grand qui peut
être inscrit dans un triangle droit ayant une base de 60 m et une
hauteur de 40 m?
y  40  x 
x  60  y 
A
A
.
Solution :
2
2
40 y  xy 60 x  xy

 xy  1200
40-x
y
2
2
40 y  xy  60 x  xy  2 xy  2400
x
x
A=xy
40 y  60 x  2400
y
60-y
2 y  3 x  120
A  xy
y
120  3x
2
120  3  20 
 120  3x 
A  x
y

2
2


2
3
y  30
A  60 x 
x
2
A  60  3 x
20  x
dimensions du rectangle 20 m  30 m
15. Trouvez les dimensions du triangle isocèle ayant la plus grande
aire et qui a un périmètre de 60 m.
Solution :
(a) P  x  2 y
(b) c 2  a 2  b 2
60  x  2 y
y
y
b
½x
60  x
y
2
x
1 2
x  b2
4
2
 60  x  1 2 2
 x b
2
4
900  30x  b
y
1
bh
2
1
1
A   x  900  30 x  2
2
1
1
1
A   900  30 x  2  1 x 1  900  30 x  2  30 
2
2
2
(c) A 
 
Page 324 – Calcul 30 – Unité F
1
1
 900  30 x  2  900  30 x   15 x 
2
1
1
A   900  30 x  2  900  45 x 
2
60  x
0  900  45x
(d)
y
2
60  20
20  x
y
2
20  y
(e) dimensions du triangle 20 m  20 m  20 m
A 
16. Une gouttière a une section en forme de trapèze isocèle. Si les
deux côtés et la petite base du trapèze mesurent 10 cm chacun,
trouvez la distance entre les deux côtés, au haut du trapèze, qui
maximisera l’aire du trapèze et, ainsi, la capacité d’évacuation
d’eau de la gouttière.
(a) c 2  a 2  b 2
Solution :
2x+10
10 cm
x
y
10cm
100  y 2  x 2
x
10cm
10cm
100  x 2  y
(b) A 
A
(c) 2 x  10
1
a  b h
2
1
1
 2 x  10  10  100  x 2  2
2
2  5   10  20cm
A  100  x 2 
distance du haut du
0  2  x  10  x  5
trapèze
x5
1
2
 2 x
2
 10 x  100 
17. (a) Après avoir résolu des problèmes semblables à ceux cidessus,
sélectionnez-en un ou deux que vous ferez refaire en
remplaçant le nombre 60 par la constante k.
(ii) c 2  a 2  b 2
Solution :
(i) k  x  2 y
y
y
kx 1 2
2

  x b
 2  4
2
kx
y
2
½x
x
(iii) A 
k 2  2kx
b
2
1
bh
2
 k 2  2kx  2
1
A   x
2
2
1
1
A   x   k 2  2kx  2
4
1
1
A   k 2  2kx  2  k 2  3kx 
4
0  k 2  3kx
0  k  k  3x 
1
(iv)
1
kx
3
1
 60   20
3
On pourra ensuite s’attaquer à des problèmes tridimensionnels.
Calcul 30 – Unité F – Page 325
(b) Une pièce d’étain carrée, de 30 cm sur 30 cm, doit être
transformée en une boîte sans couvercle en découpant des
carrés égaux dans chaque coin et en repliant les rabats.
Trouvez les dimensions des carrés découpés si le volume de la
boîte doit être maximisé.
Solution :
(i) 900  x 2  4 xy  y 2
900   x  2 y 
2
30  x  2 y
30  x
y
2
(ii) V  x 2 y
 30  x 
V  x2 

 2 
V   30 x  3 x 2
2
(iii)

30  x
y
2
30  20
y
2
0  x 30  3 x
2

0  x impossible
5 y
dimensions des carrés
0  30  3 x
2
20  x
découpés 5 cm  5 cm
(c) On doit construire une poubelle en forme de boîte à chaussures
rectangulaire, sans couvercle et ayant une base carrée, en
utilisant exactement 2 700 cm 2 de matériel. Trouvez les
dimensions de la boîte qui assureront le plus grand volume
possible.
Solution : (i) 2700  x 2  4 xy
(ii) V  x 2 y
2700  x 2
y
4x
(iii)
2700  x 2
y
4x
2700   30 
4  30 
 2700  x 2 
V  x2 

4x


V
2700 x x 3

4
4
V 
2700 x 3 2
 x
4
4
2
y
15  y
0
2700 x 3 2
 x
4
4
30  x
dimensions de la boîte
30 cm  30 cm  15 cm
(d) Trouvez les dimensions du cylindre ayant le plus grand volume
qui peut être inscrit dans un cône dont le rayon est de 30 cm et
la hauteur, de 40 cm.
Solution :
Page 326 – Calcul 30 – Unité F
V   r 2h
4 

V   r 2  40  r 
3 

4
V  40 r 2   r 3
3
V   80 r  4 r 2
40  h 40

r
30
40  h 4

r
3
3  40  h   4r
40  h 
4r
3
4r
 40
3
4
0  4 r
0  20  r
h  40  r
3
4
0r
20   r
h  40   20 
3
80
20  r
h  40 
3
120  80
Valeurs critiques r  0, 20
h
3
40
cm
h
3
dimensions du cylindre ayant le plus grand volume
rayon = 20 cm
V   4 r  20  r 
h 
hauteur = 40 cm
3
Calcul 30 – Unité F – Page 327
F.2 (suite)
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Voici d’autres problèmes classiques.
1. La fenêtre normande, celle formée d’un demi-cercle au-dessus d’un rectangle, est encore un
élément architectural populaire. Si le périmètre de la fenêtre est de 300 cm, trouvez le rayon du
demi-cercle qui maximisera l’aire de la fenêtre (pour laisser entrer le plus de lumière).
Solution : rayon du demi-cercle qui maximisera l’aire de la fenêtre
r  42 cm
2. On coupe en deux un bout de fil de 48 cm de long. On plie l’un des morceaux pour former un
cercle et l’autre, un carré. Trouvez les dimensions du carré et le rayon du cercle qui
permettront d’obtenir une aire totale combinée qui sera un minimum.
Solution : dimensions du carré et le rayon du cercle pour obtenir une aire totale combinée qui
sera un minimum
dimensions du carré 11,12 cm  11,12 cm
rayon du cercle r  3,54 cm
3. Trouvez les dimensions du cylindre de volume le plus grand que l’on peut inscrire dans une
sphère de 27 cm de rayon.
Solution : dimensions du cylindre le plus grand
rayon = 9 6
hauteur = 18 3
Page 328 – Calcul 30 – Unité F
F.2 (suite)
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Exemples/activités
Suggestions/compléments
Les questions proposées ci-dessus sont classiques, traditionnelles.
Quels sont les projets d’avenir de vos élèves? Rassemblez des problèmes de
différentes sources touchant l’économie, la médecine, la pharmacie, la
biologie, le génie, etc., et laissez-les se spécialiser dans leur champ d’intérêt.
Commencez cette collection et augmentez-la au fil des ans.
Des problèmes tirés de certains de ces champs d’intérêt figurent dans l’unité
E de ce guide. En voici d’autres.
Les élèves peuvent aussi chercher dans leurs
champs d’intérêt pour trouver des situations et
des problèmes courants d’optimisation.
18. La résistance d’une poutre varie conjointement avec sa largeur et le
carré de sa hauteur. Trouvez les dimensions de la poutre la plus résistante
que l’on peut tirer d’un tronc de 30 cm de diamètre.
Solution :
r  Lh 2
L2  h 2  900
r  L  900  L2 
h 2  900  L2
r  900 L  L3
r   900  3L2
h 2  900  300
h 2  600
0  900  3L2
h  600
900  3L
300  L2
h  10 6
2
300  L
10 3  L
dimensions de la poutre
largeur = 10 3 cm
hauteur = 10 6 cm
19. Un puits de pétrole a été découvert au large de la côte, en W, à 200 m
du point S, le plus proche sur la côte. La ville T est construite le long de
la côte à 1 000 m du point S. Un oléoduc doit être posé sous l’eau entre
W et V, puis le long de la côte entre V et T. S’il en coûte 500 $/m pour
construire l’oléoduc sous l’eau et 200 $/m le long de la côte, à quelle
distance de S faut-il que V soit situé pour minimiser le coût total de
l’oléoduc?
Solution :
W
200 m
x
V
T
S
1000 m
c  x   200 1000  x   500  x 2  2002 
c   x   200  250  x 2  2002 
200 
1
2
1
2
 2x 
500 x
x
2
 2002 
1
1
c   x 2  2002  2
2
 x 2  2002 12    5 x 
   2 


25 x 2
x 2  40000 
4
4 x 2  160000  25 x 2
16000  21x 2
87,3m  x
2
c2  a 2  b2
c 2  x 2  2002
2
V doit être situé à 87,3 m de S
pour minimiser le coût.
Calcul 30 – Unité F – Page 329
20. Le propriétaire d’un ensemble immobilier a 45 unités qui sont toutes
occupées si le loyer demandé est de 600 $ par mois. Le propriétaire
estime qu’à chaque augmentation de 20 $ du loyer, une des unités
devient vacante. Le propriétaire met de côté 60 $ par mois de
chacune des unités occupées pour constituer un fonds d’entretien.
Quel loyer mensuel doit-il demander pour maximiser son bénéfice
net s’il n’y a pas d’autres dépenses? Quel est son bénéfice net
mensuel maximum? Combien d’unités sont occupées?
Solution : P   45  x  600  20 x   60  45  x 
P  27000  600 x  900 x  20 x 2  2700  60 x
P  20 x 2  360 x  24300
P   40 x  360
0  40 x  360
40 x  360
x9
Loyer mensuel 600  20 x  600  20  9   780, 00$
Bénéfice net mensuel maximum
P   45  9   600  20  9    60  45  9   25920, 00$
 45  9   36 unités sont occupées.
21. S’il en coûte 1 000 $ pour fabriquer 200 gadgets, alors le coût
moyen de fabrication de chaque gadget est de 1000 $ 200 ou 5 $.
Supposez que le coût de fabrication de x gadgets est donné par la
fonction f  x   700  0,3x  0, 006 x 2 . Trouvez le nombre de
gadgets qu’il faut fabriquer pour minimiser le coût moyen par
gadget.
Solution : f  x   700  0,3 x  0, 006 x 2
Pour minimiser le coût moyen
f  x
f  x 
x
700
 0,3  0, 006 x
0,3  0, 012 x 
x
x  341, 6
341gadgets
22. Après le déversement de déchets dans un étang, la concentration
d’oxygène dans l’eau commence par diminuer, mais à mesure que
les déchets s’oxydent, l’oxygène revient presque, avec le temps, à
sa concentration initiale. Supposez que la quantité normale
d’oxygène dans l’étang est égale à 1 et que la concentration
d’oxygène x jours après le déversement de déchets peut être
x 2  7 x  13
, x   0,   . Après
modélisée par la fonction f  x   2
x  6 x  13
combien de jours la concentration d’oxygène est-elle à son plus bas?
Quand la concentration d’oxygène est-elle à son maximum?
x 2  7 x  13
1
Solution : lim 2
x  x  6 x  13
C’est le plus bas après 7 jours. La concentration est au
maximum au début quand x  0 .
Page 330 – Calcul 30 – Unité F
F.2 (suite)
Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Après avoir eu affaire à des taux de variation au RAS F.1, les élèves doivent être capables de faire
sans grande difficulté la transition pour trouver la vitesse et l’accélération instantanées.
Dans ce RAS, nous traitons de mouvement le long d’une ligne droite, et non en deux ou trois
dimensions. Considérez la position d’une particule le long de cette ligne droite par rapport à un point
de référence fixe, l’origine de nos mesures. Il est habituel de considérer cette ligne droite comme
étant horizontale (comme la ligne horizontale des nombres) ou verticale (comme la ligne verticale des
nombres). Si la particule est à la droite de (ou au-dessus de) l’origine, alors sa position est considérée
comme positive, tandis que si la particule est à gauche de (ou au-dessous de) l’origine, sa position est
considérée comme négative.
Pour établir que les fonctions vitesse et accélération sont les dérivées premières et secondes de la
fonction position, utilisez un exemple comme celui qui suit. Proposez aux élèves, un jour ou deux
avant cette leçon, de vérifier s’ils peuvent trouver la vitesse instantanée à t  3 .
Exemple : une supervoiture se déplace en ligne droite de telle sorte que sa position après t secondes
est donnée par la fonction s  t   t 3 .
(a) Donnez aux élèves les valeurs du temps et demandez-leur de remplir la partie « position » du
tableau.
t
0
1
2
3
4
5
6
s(t)
0
1
8
27
64
125
216
(b) Demandez ensuite aux élèves de tracer le graphe de la position en fonction du temps.
s t 
La pente de la sécante
donne la vitesse
200
150
m
100
La pente de la
tangente donne
vitesse instantanée
50
0
0
2
1
3
secondes
4
5
6
t
(c) Demandez-leur de déterminer la vitesse moyenne entre t  3 et t  5 , et interprétez la signification
graphique de ce résultat.
Définition : vitesse moyenne 
vitesse moyenne 
points
s  5   s  3
5s  3s

variation de position
.
variation du temps
Donc,
125m  27 m 98m

 49m / s .
2s
2s
C’est la pente de la sécante reliant les
 3, s  3  et  5, s  5  .
(d) Déterminez la vitesse instantanée lorsque t  3 . La vitesse moyenne entre t  3 et t  3  h est
donnée par
s  3  h   s  3
h
. Pour trouver la vitesse instantanée à t  3 , prenez la vitesse moyenne
sur des intervalles de temps de plus en plus courts. Pour ce faire, trouvez lim
h 0
s  3  h   s  3
h
ou
la dérivée de s  t  lorsque t  3 . Puisque s   t   3t 2 , s   3  3  32  27 m/s. C’est la pente de
la tangente au graphe position-temps au point  3, s  3  .
s   3 ,
Calcul 30 – Unité F – Page 331
F.3
Déterminer la vitesse instantanée et l’accélération d’une particule, la fonction de sa
position étant connue.
Exemples/activités
Demandez aux élèves de résoudre d’abord quelques problèmes de
mouvement sur l’axe des x pour leur donner confiance. Faites
attention à la fonction que vous créez pour la position. Si la fonction
n’est pas toujours croissante pour t   0,   , alors la particule fera
« marche arrière » ou « double marche arrière », donnant de graves
maux de tête. Réservez ce type de fonctions aux élèves qui ont besoin
de défis.
Parfois, les élèves pensent que « après 4 secondes » est équivalent à
t  5 . Ce n’est pas le cas! Préparez-vous à devoir l’expliquer.
1. Déterminez les fonctions vitesse et accélération pour les fonctions
position suivantes.
(a) s  t   2t 2  5t
Solution : v  t   4t  5
3t  1
1
2
 3
3t  1 2
2
3
a  t    3  3t  1 2  3
4
3
  9  3t  1 2
4
1
3
L’objet ralentit si v  t   a  t   0 (l’accélération
agit dans le sens opposé à la vitesse).
Si la position d’une particule le long de l’axe
des x est donnée par la fonction
s  t   t 3  12t 2  36t en t  0 , vous trouverez
4t
(c) s  t   2
t 1
Solution : s  t   4t  t 2  1
1
v  t   4  t 2  1  4t  1  t 2  1
1
 4  t  1
2
 4  t 2  1
2
2
2
 2t 
 t 2  1  2t 2 


2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
3
2. Une particule se déplace le long de l’axe des x de sorte que sa
position, en mètres, après t secondes est donnée par la fonction
1
5
s  t   t 3  t 2 . Trouvez :
3
2
Page 332 – Calcul 30 – Unité F
que la particule s’éloigne de l’origine en
t   0, 2    6,   tandis qu’elle se dirige vers
l’origine en t   2, 6  . Elle accélère en
t   2, 4    6,   et ralentit en
 t  1
 4  t  1  t  1
a  t   8  t  1  2t    4   t  1  2t 
 4  t  1  4t   t  1  2t  
 4  t  1  2t  2t  4t 
 4  t  1  2t  2t 
 4  t  1  2t   t  1
8t  t  1

 t  1
2
L’objet se dirige vers l’origine si
s t   v t   0 .
positive et l’accélération est positive ou la
vitesse est négative et l’accélération est
négative, c’est-à-dire que l’accélération agit
dans le même sens que la vitesse).
(b) s  t   3t  1
2
vitesse est positive ou la position est négative et
la vitesse est négative.)
L’objet accélère si v  t   a  t   0 (la vitesse est
a t   4
Solution : v  t   1
Suggestions/compléments
Avec les élèves plus doués, vous pouvez
explorer des situations dans lesquelles un objet
se déplace vers l’origine, un objet s’éloigne de
l’origine, la vitesse est croissante, la vitesse est
décroissante.
Curieux? Des manuels vous montreront que
l’objet s’éloigne de l’origine quand
s  t   v  t   0 (La position est positive et la
t   0, 2    4, 6  .
(a) La vitesse et l’accélération pour n’importe quel t.
1
5
Solution : s  t   t 3  t 2
3
2
2
v  t   t  5t
a  t   2t  5
(b) La vitesse quand t  4 .
Solution : v  4   16  20
 36 m / s
(c) L’accélération quand t  3 .
Solution : a  3  6  5
 11 m / s 2
(d) La position de la particule quand la vitesse est de 66 m/s.
Solution : 66  t 2  5t
0  t 2  5t  66
0   t  11 t  6 
t  11 t  6
3
2
s 6  1 6  5 6
3
2
 162 m
(e) La vitesse de la particule quand l’accélération est de 13 m/s 2 .
Solution : 13  2t  5
8  2t
4  t t  4s
v  t   16  20
 36 m / s
Le type de problème suivant doit être plus pratique.
3. Avec une fronde, on lance une pierre vers le haut à partir du toit
d’un hôtel de façon que sa hauteur au-dessus du sol, en mètres,
t secondes après avoir été libérée, est donnée par la fonction
h  t   35  30t  5t 2 .
(a) À quelle hauteur au-dessus du sol la pierre se trouve-elle
initialement?
Solution : h  t   35  30t  5t 2
h  0   35  0  0
 35 m
(b) Quand la pierre atteint-elle sa hauteur maximum?
Solution : v  t   30  10t
À sa hauteur maximum
0  30  10t
la vitesse est 0.
30  10t
3s  t
(c) Quelle est la hauteur maximum atteinte par la pierre?
Solution : h  3  35  30  3  5  3
 35  90  45
 80 m
(d) Quand la pierre atteindra-t-elle le sol?
Solution : 0  35  30t  5t 2
0  5  t 2  6t  7 
2
0  5  t  7  t  1
t  7s
Calcul 30 – Unité F – Page 333
(e) À quelle vitesse la pierre atteint-elle le sol?
Solution : v  7   30  10  7 
 40 m / s
(f) Expliquez le signe négatif de votre réponse en (e).
Solution : La vitesse est réduite par 40 m/s.
(g) Quelle a été l’accélération subie par la pierre?
Solution : v  t   30  10t
v   t   10t
v  t   a  t 
a  t   10 m / s 2
4. Si un projectile est lancé verticalement vers le haut à partir du sol,
1
sa hauteur est donnée par la fonction h  t   vi t  gt 2 , dans
2
laquelle vi est la vitesse initiale du projectile, en m/s, et g
l’accélération due à la pesanteur.
(a) Trouvez la hauteur maximum atteinte par un projectile sur terre
si sa vitesse initiale est de 490 m/s. Utilisez g  9,8 m/s 2 .
1 2
gt
2
v   t   vi  gt
Solution : h  t   vi t 
Pour trouver la hauteur
maximum v  t   0
0  490  9,8t
50 s  t
h  t   vi t 
1 2
gt
2
h  50    490  50   1
2
9,8  2500 
 12 250 m
(b) Trouvez la hauteur maximum atteinte par le projectile en (a)
sur la lune si l’accélération due à la pesanteur y est d’un
cinquième
de celle de la terre.
1  9,8   1,96
Solution : v  t   vi  gt
5
0  490  1,96  t
 
250 s  t
h  250    490  250   1 1,96  250 
2
 61250 m
Page 334 – Calcul 30 – Unité F
2
F.3 (suite)
Déterminer la vitesse instantanée et l’accélération d’une particule, la fonction de sa
position étant connue.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Maintenant que les élèves savent que la vitesse instantanée est donnée par s   t  , ils peuvent remplir
la partie « vitesse » du tableau ci-dessous. Présentez la notation v  t  pour décrire la vitesse
t
0
s(t)
0
v(t)
1
instantanée au temps t.
1
1
3
2
8
12
3
27
27
4
64
48
5
125
75
6
216
108
Faites observer aux élèves que la vitesse moyenne entre t  3 et t  5 était de 49 m/s et que cela
n’est pas la même chose que de faire la moyenne de v  3 et de v  5  , qui donne
vitesse moyenne n’est pas une moyenne de deux vitesses.
Tracez un graphe de la fonction vitesse v  t   3t 2 .
v t 
27  75
 51 m/s .
2
La
La pente de la
sécante donne
100
m/s
75
La pente de la tangente
donne l’accelérétion
instantanée
50
25
0
0
2
1
3
Définition : accélération moyenne 
4
secondes
variation de vitesse
.
variation du temps
5
6
t
Demandez aux élèves de trouver l’accélération
moyenne entre t  3 et t  5 , et interprétez la signification graphique de ce résultat.
accélération moyenne 
v  5   v  3
5s  3s

75m / s  27m / s 48m / s

 24m / s / s ou 24 m / s 2 . C’est la pente de la
2s
2s
sécante passant par les deux points  3, v  3  et  5, v  5  .
Trouvez maintenant l’accélération instantanée lorsque t  3 . Pour ce faire, prenez l’accélération
moyenne sur des intervalles de plus en plus courts. Ainsi a  3  lim
h 0
v  3  h   v  3
h
 v  3 .
Puisque
v  t   3t 2 , v   t   6t .
Donc a  3  v  3  6  3  18m / s 2 . Notez que c’est la pente de la tangente au
graphe vitesse-temps au point  3, v  3  . Présentez le symbole a  t  pour l’accélération instantanée.
Finalement, remplissez la partie « accélération instantanée » du tableau.
t
s(t)
v(t)
A(t)
0
0
1
0
1
1
3
6
2
8
12
12
3
27
27
18
4
64
48
24
5
125
75
30
6
216
108
36
Concluez en traçant le graphe de la fonction de l’accélération instantanée.
En résumé : a  t   v  t  ; v  t   s  t  , donc a  t   v  t   s   t  ou v  t  
ds
dv d 2 s
et a  t    2 .
dt dt
dt
Calcul 30 – Unité F – Page 335
F.3 (suite)
Déterminer la vitesse instantanée et l’accélération d’une particule, la fonction de sa
position étant connue.
Exemples/activités
1
5. Au moyen de la fonction h  t   vi t  gt 2 , déterminez la vitesse
2
initiale nécessaire à un projectile pour qu’il atteigne une hauteur
maximum de 1 960 m s’il est lancé de la surface de la terre.
Utilisez g  9,8 m/s 2 .
1 2
gt
2
v  t   vi  gt
Solution : h  t   vi t 
0  vi  gt
vi
t
g
v
h  t   vi  i
g

 1  vi 
 g 
 2 g
vi 2 vi

g 2g
2
2
2
h t  
vi
2g
1960 
vi
2  9,8 
2
196 m / s  vi vitesse initiale
6. La vitesse initiale d’un projectile est de 375 m/s (vitesse à laquelle
la balle quitte le canon du fusil). Si le projectile est tiré
verticalement vers le haut et si le fuselage d’un avion peut résister
à des projectiles se déplaçant à une vitesse d’au plus 32 m/s, quelle
est la hauteur minimum à laquelle l’avion doit voler s’il subit des
1
tirs? Utilisez h  t   vi t  gt 2 avec g  9,8 m/s 2 .
2
1
Solution : h  t   vi t  gt 2
2
v  t   vi  gt
32  375   9,8  t
35 s  t
h  35    375  35   1
h  35   7122,5 m
2
9,8  35 
2
L’avion doit voler un peu plus haut que 7 km afin de ne
pas subir des tirs.
Essayez le projet expérimental suivant de calcul de distance, de
vitesse et d’accélération.
Matériel nécessaire : une bicyclette, plusieurs dispositifs de
chronométrage (montres-bracelets ou chronomètres, autant de cônes
de signalisation routière que de dispositifs de chronométrage, un
ruban métrique (100 m si possible).
Emplacement : une colline proche de l’école. Y a-t-il une colline
artificielle dans votre cours d’école?
Page 336 – Calcul 30 – Unité F
Suggestions/compléments
Demandez aux élèves de créer leur propre
variante de l’expérience de la bicyclette ou de
la pierre de curling en se basant sur des
activités auxquelles ils participent.
L’action : à partir du sommet de la colline, placez les cônes à distance
égale les uns des autres (tous les 10 m? ou suivant leur nombre)
jusqu’au bas de la colline. Un étudiant muni d’un dispositif de
chronométrage est placé devant chaque cône. À un signal donné par
un étudiant, commencez à descendre la colline en roue libre à partir
d’une position au repos. Lorsque la bicyclette passe devant chaque
cône, l’étudiant placé à cet endroit note le temps.
De retour en classe : les données temps-distance sont entrées dans les
listes de votre calculatrice graphique et un graphe des données est
tracé. Ajustez une courbe aux données — préférablement cubique ou
quartique, mais choisissez le meilleur ajustement. Connaissant
l’équation de la position en fonction du temps, vous pouvez
déterminer les fonctions vitesse et accélération. Vous pouvez tracer le
graphe de toutes ces fonctions et déterminer quand la vitesse était
croissante ou décroissante. De même, vous pouvez déterminer quand
l’accélération était positive ou négative. Vous pouvez ensuite créer
une série de questions demandant aux élèves de déterminer quelle a
été la distance parcourue par la bicyclette avant d’atteindre une
certaine vitesse, quelle a été l’accélération quand la vitesse atteignait
une valeur donnée et d’autres questions encore que vous pouvez
imaginer.
Vous pourriez faire une expérience similaire sur la piste de curling.
Les élèves pourraient faire des mesures de distance-temps de la pierre
à partir du moment où la pierre traverse la ligne de jeu jusqu’à son
immobilisation — en supposant un lancer de placement.
Calcul 30 – Unité F – Page 337
Page 338 – Calcul 30 – Unité F