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Unité F : Applications pratiques des dérivées
Résultats d’apprentissage généraux (RAG)
 Utiliser la dérivation pour résoudre des problèmes traitant d’optimisation, de taux de variation et
de distance-vitesse-accélération.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques F.1, F.2 et F.3.
Résultats d’apprentissage spécifiques (RAS)
F.1 Résoudre des problèmes mettant en jeu des taux de variation.
F.2 Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
F.3 Déterminer la vitesse instantanée et l’accélération d’une particule, la fonction de sa position étant
connue.

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F.1 Résoudre des problèmes mettant en jeu des taux de variation.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Dans les unités D et E, les élèves ont rencontré certains problèmes comportant des taux de variation
dans leur apprentissage de la dérivation et du traçage de courbes. Cette unité-ci leur donne l’occasion
de revoir et améliorer leurs capacités de résoudre des problèmes de ce type. Dans cette unité, les
élèves doivent pouvoir interpréter la pente d’une tangente comme un taux instantané de variation et
la pente de la sécante comme un taux moyen de variation. Il est très important que les élèves
indiquent les unités de grandeur utilisées dans leurs réponses. Regarder à nouveau le RAS D.4, dans
lequel on a présenté la pente de la tangente comme un taux de variation.
Présentez cet objectif au moyen de l’exemple suivant.
Exemple : Pendant une période de 24 heures, la température, en degrés Celsius, dans notre ville
était donnée par la fonction , où x est le nombre d’heures écoulées.
32
0,002 0,05 2,8 8   fx x x x
(a) Tracez un graphe de la fonction pour
0,24x.
(b) Trouvez la température après 5 heures et après 15 heures.
(c) Trouvez le taux moyen de variation de la température pendant ces 10 heures. Interprétez cela
graphiquement.
(d) Trouvez le taux instantané de variation de la température après 5 heures et après 15 heures.
Solution :
(a) Le graphe apparaît ci-dessous. Les élèves peuvent créer un tableau de valeurs au moyen d’une
calculatrice puis tracer le graphe, ou encore utiliser un utilitaire graphique puis copier le graphe à
partir de l’utilitaire.
(b) et
15 32 . 520,5 f f 
(c) Le taux moyen de variation de la température pendant
ces 10 heures peut être déterminé en trouvant :
variation de la température
variation du temps
32 20,5 11,5 1,15 / h
15 h 5 h 10 h
(d) Graphiquement, c’est la pente de la sécante
reliant les points A et B.
(e) Pour trouver le taux instantané de variation après 5 heures, trouvez la pente de la tangente au
point A. (Si l’on trouve le taux moyen de variation sur des intervalles de temps de plus en plus
courts, la sécante tend vers la tangente.)
Comme , donc
2
0,006 0,1 2,8
  fx x x
52,15/h f et 15 0,05 /h f.
Après 5 heures, la température croît au rythme de 2,15 degrés à l’heure et après 15 heures, elle
décroît au rythme de 0,05 degré à l’heure.
y
A 5, 20,5
B
15,32
x
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