STT2700 Hiver 2009 Série d’exercices # 2 Question 1 (§3.8 # 1) Dans le tableau suivant, vous trouvez la fonction de masse conjointe de deux variables aléatoires X et Y : Y \X 1 2 3 4 1 0,10 0,05 0,02 0,02 0,05 0,20 0,05 0,02 2 3 0,02 0,05 0,20 0,04 0,02 0,02 0,04 0,10 4 a) Trouvez les fonctions de masse marginale de X et Y . b) Trouvez la fonction de masse conditionnelle de X étant donné que Y = 1 et celle de Y étant donnée que X = 2. Question 2 (§3.8 # 7) Trouvez les densités conjointes et marginales correspondantes à la fonction de répartition (1 − e−αx ) 1 − e−βy F(X,Y ) (x, y) = 0 si x ≥ 0 et y ≥ 0, sinon, où α > 0 et β > 0. Question 3 (§3.8 # 24) Soit P une variable aléatoire uniforme sur l’intervalle [0; 1] et supposons que la fonction de masse de X , conditionnelle à la valeur de P = p, est Bernouilli avec une probabilité de succès p. Trouvez la densité conditionnelle de P étant donné que X = x. Question 4 (§3.8 # 30) Pour 0 ≤ α ≤ 1 et 0 ≤ β ≤ 1, montrez que C(u, v) = min u1−α v; uv 1−β est une copule. (Elle s’appelle la copule de Marshall-Olkin.) Question 5 (§3.8 # 43) Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur l’intervalle (0; 1). Trouvez la densité de Y = X1 + X2 . Question 6 (§3.8 # 72) Soient X1 , X2 , . . . , Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de densité fX . Montrez que la fonction répartition conjointe de X(1) ; X(n) est donnée par F(X(1) ;X(n) ) (x, y) = F n (y) − [F (y) − F (x)]n , si x ≤ y, où X(1) = min{Xi } et X(n) = max{Xi }. 1 Réponses Question 1 a) X pX (x) b) X 1 pX|Y (x | Y = 1) 0,527 2 0,263 3 0,105 4 0,105 c) X 1 pY |X (y | X = 2) 0,156 2 0,625 3 0,156 4 0,063 1 0,19 2 0,32 3 0,31 4 (C’est la même fonction de masse marginale pour Y .) 0,18 Question 2 αβ exp {−(αx + βy)} – f(X,Y ) (x, y) = 0 αe−αx si x ≥ 0, sinon βe−βy si y ≥ 0, sinon – fX (x) = 0 – fY (y) = 0 si x ≥ 0 et y ≥ 0 , sinon Question 3 fP |X (p | X = x) = 2px (1 − p)1−x 0 si 0 < p < 1, sinon. Question 5 min(y; 1) − max(y − 1; 0) si 0 < y < 1, fY (y) = 0 sinon. 2