STT2700 Hiver 2009 Série d`exercices # 2 Question 1 (§3.8 # 1

STT2700 Hiver 2009
Série d’exercices # 2
Question 1 (§3.8 # 1)
Dans le tableau suivant, vous trouvez la fonction de masse conjointe de deux variables
aléatoires X et Y :
Y \X
1
2
3
4
1
0,10 0,05 0,02 0,02
0,05 0,20 0,05 0,02
2
3
0,02 0,05 0,20 0,04
0,02 0,02 0,04 0,10
4
a) Trouvez les fonctions de masse marginale de X et Y .
b) Trouvez la fonction de masse conditionnelle de X étant donné que Y = 1 et celle de Y
étant donnée que X = 2.
Question 2 (§3.8 # 7)
Trouvez les densités conjointes et marginales correspondantes à la fonction de répartition

(1 − e−αx ) 1 − e−βy
F(X,Y ) (x, y) = 
0
si x ≥ 0 et y ≥ 0,
sinon,
où α > 0 et β > 0.
Question 3 (§3.8 # 24)
Soit P une variable aléatoire uniforme sur l’intervalle [0; 1] et supposons que la fonction
de masse de X , conditionnelle à la valeur de P = p, est Bernouilli avec une probabilité de
succès p. Trouvez la densité conditionnelle de P étant donné que X = x.
Question 4 (§3.8 # 30)
Pour 0 ≤ α ≤ 1 et 0 ≤ β ≤ 1, montrez que
C(u, v) = min u1−α v; uv 1−β
est une copule. (Elle s’appelle la copule de Marshall-Olkin.)
Question 5 (§3.8 # 43)
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur l’intervalle (0; 1).
Trouvez la densité de Y = X1 + X2 .
Question 6 (§3.8 # 72)
Soient X1 , X2 , . . . , Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées
de densité fX . Montrez que la fonction répartition conjointe de X(1) ; X(n) est donnée par
F(X(1) ;X(n) ) (x, y) = F n (y) − [F (y) − F (x)]n ,
si x ≤ y, où X(1) = min{Xi } et X(n) = max{Xi }.
1
Réponses
Question 1
a)
X
pX (x)
b)
X
1
pX|Y (x | Y = 1) 0,527
2
0,263
3
0,105
4
0,105
c)
X
1
pY |X (y | X = 2) 0,156
2
0,625
3
0,156
4
0,063
1
0,19
2
0,32
3
0,31
4
(C’est la même fonction de masse marginale pour Y .)
0,18
Question 2

αβ exp {−(αx + βy)}
– f(X,Y ) (x, y) = 
0

αe−αx
si x ≥ 0,
sinon

βe−βy
si y ≥ 0,
sinon
– fX (x) = 
0
– fY (y) =
0
si x ≥ 0 et y ≥ 0 ,
sinon
Question 3
fP |X (p | X = x) =

2px (1 − p)1−x
0
si 0 < p < 1,
sinon.
Question 5
min(y; 1) − max(y − 1; 0)
si 0 < y < 1,
fY (y) = 
0
sinon.
2