STT2700 Hiver 2009 Série d`exercices # 2 Question 1 (§3.8 # 1

STT2700 Hiver 2009
Série d’exercices # 2
Question 1 (§3.8 # 1)
Dans le tableau suivant, vous trouvez la fonction de masse conjointe de deux variables
aléatoires Xet Y:
Y\X1 2 3 4
1 0,10 0,05 0,02 0,02
2 0,05 0,20 0,05 0,02
3 0,02 0,05 0,20 0,04
4 0,02 0,02 0,04 0,10
a) Trouvez les fonctions de masse marginale de Xet Y.
b) Trouvez la fonction de masse conditionnelle de Xétant donné que Y= 1 et celle de Y
étant donnée que X= 2.
Question 2 (§3.8 # 7)
Trouvez les densités conjointes et marginales correspondantes à la fonction de répartition
F(X,Y )(x, y) = 
(1 −e−αx)1−e−βysi x≥0et y≥0,
0sinon,
où α > 0et β > 0.
Question 3 (§3.8 # 24)
Soit Pune variable aléatoire uniforme sur l’intervalle [0; 1] et supposons que la fonction
de masse de X, conditionnelle à la valeur de P=p, est Bernouilli avec une probabilité de
succès p. Trouvez la densité conditionnelle de Pétant donné que X=x.
Question 4 (§3.8 # 30)
Pour 0≤α≤1et 0≤β≤1, montrez que
C(u, v) = min u1−αv;uv1−β
est une copule. (Elle s’appelle la copule de Marshall-Olkin.)
Question 5 (§3.8 # 43)
Soient X1et X2deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur l’intervalle (0; 1).
Trouvez la densité de Y=X1+X2.
Question 6 (§3.8 # 72)
Soient X1, X2, . . . , Xnnvariables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées
de densité fX. Montrez que la fonction répartition conjointe de X(1);X(n)est donnée par
F(X(1);X(n))(x, y) = Fn(y)−[F(y)−F(x)]n,
si x≤y, où X(1) = min{Xi}et X(n)= max{Xi}.
1

Réponses
Question 1
a) X1 2 3 4
pX(x)0,19 0,32 0,31 0,18 (C’est la même fonction de masse marginale pour Y.)
b) X1 2 3 4
pX|Y(x|Y= 1) 0,527 0,263 0,105 0,105
c) X1 2 3 4
pY|X(y|X= 2) 0,156 0,625 0,156 0,063
Question 2
–f(X,Y )(x, y) = 
αβ exp {−(αx +βy)}si x≥0et y≥0,
0sinon
–fX(x) = 
αe−αx si x≥0,
0sinon
–fY(y) = 
βe−βy si y≥0,
0sinon
Question 3
fP|X(p|X=x) = 
2px(1 −p)1−xsi 0<p<1,
0sinon.
Question 5
fY(y) = 
min(y; 1) −max(y−1; 0) si 0< y < 1,
0sinon.
2