Calcul intégral

Calcul intégral
1 Propriétés de l’intégrale
1.1 Relation de Chasles
Théorème 1 Soit fune fonction admettant des primitives sur un intervalle I:
Quels que soient les réels a; b; c de I:
Zb
a
f(x)dx +Zc
b
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx
Démonstration. Soit Fune primitive de fsur I:
Rb
af(x)dx +Rc bf(x)dx =F(b)¡F(a)+F(c)¡F(b)=F(c)¡F(a)=Rc af(x)dx
1.2 Linéarité
Théorème 2 Soient fet gdeux fonctions admettant des primitives sur un intervalle I:
Quels que soient les réels a; b de I:
Zb
a
[f(x)+g(x)] dx =Zb
a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx
Théorème 3 Soit fune fonction admettant des primitives sur un intervalle I:
Quels que soient les réels a; b de Iet pour tout réel ¸:
Zb
a
¸f (x)dx =¸Zb
a
f(x)dx
1.3 Positivité
Théorème 4 Soit fune fonction admettant des primitives sur un intervalle I:
Quels que soient les réels a; b de Itels que a·b:
1. f¸0sur I)Rb
af(x)dx ¸0
2. f·0sur I)Rb
af(x)dx ·0
Démonstration. Soit Fune primitive de fsur I:
Si f¸0sur Ialors Fest croissante sur Icar 8x2I:F0(x)=f(x):
Donc a·b)F(a)·F(b))Rb
af(x)dx =F(b)¡F(a)¸0:
Démonstration analogue pour f·0sur I:
Corollaire 1 Soient fet gdeux fonctions admettant des primitives sur un intervalle I:
Quels que soient les réels a; b de Itels que a·b:
f·gsur [a;b])Zb
a
f(x)dx ·Zb
a
g(x)dx
Démonstration. f·gsur I,(f¡g)·0sur I)Rb
a[f(x)¡g(x)] dx ·0
D’où Rb
af(x)dx ¡Rb ag(x)dx ·0puis le résultat.

Calcul intégral 2
1.4 Inégalités de la moyenne
Théorème 5 Soit fune fonction admettant des primitives sur un intervalle I:
Soient met Mdeux réels.
Quels que soient les réels a; b de Itels que a·b:
m·f·Msur [a;b])m(b¡a)·Zb
a
f(x)dx ·M(b¡a)
Démonstration. D’après le corollaire précédent :
Rb
amdx·Rb af(x)dx ·Rb aMdxd’où le résultat.
Corollaire 2 Soit fune fonction admettant des primitives sur un intervalle I:
Soit M2R+:Quels que soient les réels a; b de I:
jfj·Msur [a;b])¯¯¯¯Zb
a
f(x)dx¯¯¯¯·Mjb¡aj
Démonstration. ¡M·f·Msur I
a·b)¡M(b¡a)·Rb
af(x)dx ·M(b¡a))¯¯¯Rb af(x)dx¯¯¯·M(b¡a)=Mjb¡aj
a¸b)¯¯Ra
bf(x)dx¯¯·Mja¡bjd’après ce qui précède.
Or ¯¯¯Rb
af(x)dx¯¯¯=¯¯¡Ra bf(x)dx¯¯=¯¯Ra bf(x)dx¯¯et ja¡bj=jb¡ajd’où le résultat.
Dé…nition 1 Soit fune fonction admettant des primitives sur [a;b]avec a<b:
On appelle valeur moyenne de fsur [a;b]le nombre réel
¹=1
b¡aZb
a
f(x)dx
Remarque 1 ¹est une des deux dimensions du rectangle dont l’aire est Rb
af(x)dx; l’autre
dimension étant (b¡a):
Exemple 1 La valeur moyenne sur [0; ¼]de la fonction sinus est ¹=1
¼R¼
0sin xdx =2
¼
1.5 Parité - Périodicité
Nous admettrons les résultat suivants que l’on pourra deviner grâce à l’interprétation graphique
de l’intégrale.
Théorème 6 Soit fune fonction admettant des primitives sur [¡a;a]avec a>0:
1. Si fest paire : Za
¡a
f(x)dx =2
Za
0
f(x)dx
2. Si fest impaire : Za
¡a
f(x)dx =0:
Théorème 7 Soit fune fonction admettant des primitives sur Ret admettant Tpour période.
Pour tout réel aon a :
Za+T
a
f(x)dx =ZT
0
f(x)dx

Calcul intégral 3
2Intégrationparparties
Théorème 8 Si uet vsont deux fonctions dérivables sur l’intervalle Iet si u0et v0admettent
des primitives sur I; pour tous réels aet bde I:
Zb
a
u(x):v0(x)dx =[u(x):v (x)]b
a¡Zb
a
u0(x):v (x)dx
Démonstration. (uv)0=u0v+uv0)uv0=(uv)0¡u0v:
D’où Rb
au(x):v0(x)dx =Rb a(uv)0(x)dx ¡Rb au0(x):v (x)dx
D’où le résultat puisque Rb
a(uv)0(x)dx =[(uv)(x)]b
a
Exemple 2 Soit I=Re
1xln xdx
Posons u(x)=lnxet v0(x)=x:
Alors u0(x)=1
xet v(x)=x2 2(on a le choix pour v(x)).
Alors I=hx2
2:ln xie
1¡Re
1
1
x
x2
2dx =e2 2¡1 2Re
1xdx =e2
2¡1 2hx2 2ie
1=e2+1
4
3 Aires - Volumes
Théorème 9 Soit fune fonction admettant des primitives sur [a;b]:(on a donc a·b!).
Soit Cla courbe représentative de fdans le repère orthogonal ³O;~ i;~ j´:
Si f¸0sur [a;b];l’aire du domaine limité par C;l’axe des abscisses et les droites d’équations
x=aet x=best A=Rb
af(x)dx: Résultat en unités d’aire : aire du rectangle de côtés OI
et OJ où Iet Jsont dé…nis par ~ i=¡! OI et ~ j=¡! OJ
-
6
~
i
~
j
(C)
Rb
af(x)dx
..
........
.......
........
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.....
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-
6
I
J
Oa b
1u.a
Remarque 2 Si f·0sur [a;b];les représentations graphiques de fet de ¡fétant symétriques
par rapport à l’axe des abscisses : A=¡Rb
af(x)dx
Remarque 3 Si f·gsur [a;b]l’aire de la surface délimitée par Cf;Cget les droites d’équations
x=aet x=bvaut, en unités d’aire : A=Rb
a[g(x)¡f(x)] dx
Théorème 10 Soit ¤un solide de l’espace limité par deux plans d’équations z=aet z=b
avec a<b:Si le plan d’équation z=tcoupe le solide ¤suivant une surface d’aire S(t),le
volume, en unités de volume, du solide ¤vaut
V=Zb
a
S(t)dt

Calcul intégral 4
4Primitivesetintégrales
Théorème 11 Si fadmet des primitives sur l’intervalle Iet si a2I; la fonction 'dé…nie par
'(x)=Zx
a
f(t)dt
est la primitive de fqui s’annule en a:
Démonstration. Si Fdésigne un primitive de fsur I:
8x2I:'(x)=[F(t)]x
a=F(x)¡F(a)
Fétant dérivable sur I; ' est dérivable sur Iet 8x2I:'0(x)=F0(x)=f(x):
Donc Fest une primitive de fsur I:
De plus '(a)=F(a)¡F(a)=0
Exemple 3 ln x=Zx
1
1
tdt
Remarque 4 Le théorème peut être utile pour déterminer une primitive. Par exemple :
Déterminons une primitive de x7! ln xsur ]0; +1[:
Rx
1ln tdt est la primitive de ln sur ]0; +1[qui s’annule en 1:
Or Rx
1ln tdt =[tln t]x
1¡Rx
1t1
tdt =xln x¡(x¡1) = xln x¡x+1
La fonction 'dé…nie sur ]0; +1[par '(x)=xln x¡x+1 est donc la primitive de ln sur ]0; +1[
qui s’annule en 1:
Remarque : la fonction Fdé…nie sur ]0; +1[par F(x)=xln x¡xest une primitive de ln sur
]0; +1[car Fet 'di¤èrent d’une constante