VECTEURS ET REPERAGE 1. Translation de vecteur

Chapitre 10 : Vecteurs
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Translation de vecteur , vecteurs égaux
•
Coordonnées d’un vecteur
•
Somme de vecteurs
•
Multiplication d’un vecteur par un réel
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Colinéarité et alignement
VECTEURS ET REPERAGE
1. Translation de vecteur
1.1. Définition
A et B désignent deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tel que
les segments [ BC ] et [ AD ] ont le même milieu.
1er cas : C n’appartient pas à la droite ( AB )
B
A
2ème cas : C appartient à la droite ( AB )
B
A
D
C
D
C
D est le point tel que ABDC est un
parallélogramme.
On dit que ABDC est un parallélogramme
aplati.
La transformation qui permet de passer de A en B est
AB
appelé la translation de vecteur ⃗
On indique le sens de A vers B .
B
A
1.2. Vecteurs égaux
B
AB et ⃗
CD sont égaux signifie
Dire que deux vecteurs ⃗
que la translation qui transforme A en B ,
associe au point C le point D .
AB=⃗
CD
On note ⃗
AB et ⃗
CD sont égaux si, et seulement
Deux vecteurs ⃗
si, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme,
éventuellement aplati.
A
D
C
A
B
C
D
Remarque
AB=⃗
CD=⃗
u
• On dit que ⃗
•
0 , est associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C, …
Le vecteur nul, noté ⃗
Ainsi ⃗
0 =⃗
AA=⃗
BB=⃗
CC= …
•
AB est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A,
Le vecteur opposé au vecteur ⃗
c’est le vecteur ⃗
BA , −⃗
AB=⃗
BA
2. Coordonnées
2.1. Coordonnées d’un vecteur
u sont les
Dans un repère ( O ;I ; J ) les coordonnées d’un vecteur ⃗
⃗
u
coordonnées du point M tel que OM=⃗
Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes
coordonnées dans un repère.
⃗
u x
y
( ) et ⃗v ( x'y' ) sont égaux si et seulement si, x= x' et y= y'
Dans un repère, A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) sont deux points.
AB sont x B −x A
Les coordonnées du vecteur ⃗
y B− y A
(
)
Exemple
A ( −5 ;2 ) et B ( 3 ;−1 )
AB sont
Les coordonnées du vecteur ⃗
3−(−5 ) soit 8
−3
−1−2
(
)
( )
2.2. Coordonnées du milieu
Les propositions suivantes sont équivalentes :
I est le milieu de [ AB ]
•
⃗
•
AI=⃗
IB
1
⃗
•
AI= ⃗
AB
2
xA + xB yA + yB
;
• I a pour coordonnées
2
2
(
)
3. Somme des deux vecteurs
3.1. Définition
u et ⃗
v est le vecteur associé à la
La somme de deux vecteurs ⃗
u
translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur ⃗
v
et de vecteur ⃗
u +⃗
v
On note ce vecteur ⃗
•
•
•
u +⃗
v =⃗
v +⃗
u
⃗
u +⃗
0 =⃗
u
⃗
(⃗
u +⃗
v ) +⃗
w =⃗
u +(⃗
v +⃗
w)
Remarque
u −⃗
v =⃗
u + (−⃗
v)
⃗
u et du vecteur ⃗
v s’obtient en ajoutant au vecteur ⃗
u l’opposé du
La différence du vecteur ⃗
v
vecteur ⃗
3.2. Construction géométrique
Relation de Chasles
Quels que soient les points A, B et C, on a
⃗
AB+ ⃗
BC=⃗
AC
Règle du parallélogramme
Les points A, B et C étant donnés, ⃗
AB+ ⃗
AC=⃗
AD
⇔ ABDC est un parallélogramme.
4. Multiplication d’un vecteur par un réel
4.1. Définition
u par le réel k est le
⃗
u a un vecteur et k un réel. Le produit du vecteur ⃗
b
u de coordonnées k a
vecteur noté k ⃗
kb
()
( )
u =⃗
AB
Si ⃗
alors k ⃗
u =⃗
AC
• C appartient à la demi droite [ AB ) et AC=k AB si k >0
• C appartient à la droite ( AB ) mais pas à la demi droite [ AB ) et
AC=−k AB si k <0
4.2. Propriétés
u et ⃗
v et pour tout réel k et k '
Pour tous vecteurs ⃗
u +⃗
v ) =k ⃗
u +k ⃗
v
• k (⃗
u =k ⃗
u +k' ⃗
u
• ( k + k ' )⃗
u =k ( k ' ⃗
u)
• ( k k' ) ⃗
Remarque
u =⃗
0
Si k =0 alors k ⃗
u =⃗
0 alors k ⃗
u =⃗
0
Si ⃗
5. Colinéarité de deux vecteurs
5.1. Définition
u et ⃗
v non nuls sont colinéaires signifie qu’il existe
Dire que deux vecteurs ⃗
v =k ⃗
u
un réel k non nul tel que ⃗
Remarques :
•
Deux vecteur s colinéaires sont portés par deux droites parallèles.
0 est colinéaire à tout vecteur.
•
Par convention le vecteur nul ⃗
5.2. Alignement
AB et ⃗
Les points A , B , et C alignés si et seulement si les vecteurs ⃗
AC sont
colinéaires.
5.3. Parallélisme
AB et ⃗
CD
Les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗
sont colinéaires