VECTEURS ET REPERAGE 1. Translation de vecteur

Chapitre 10 : Vecteurs
•Translation de vecteur , vecteurs égaux
•Coordonnées d’un vecteur
•Somme de vecteurs
•Multiplication d’un vecteur par un réel
•Colinéarité et alignement
VECTEURS ET REPERAGE
1. Translation de vecteur
1.1. Définition
A
et
B
désignent deux points du plan.
La translation qui transforme
A
en
B
associe à tout point
C
du plan l’unique point
D
tel que
les segments
[ BC ]
et
[ AD ]
ont le même milieu.
1er cas :
C
n’appartient pas à la droite
( AB )
A
B
C
D
D
est le point tel que
ABDC
est un
parallélogramme.
2ème cas :
C
appartient à la droite
( AB )
A
BC
D
On dit que
ABDC
est un parallélogramme
aplati.
La transformation qui permet de passer de
A
en
B
est
appelé la translation de vecteur
⃗
AB
On indique le sens de
A
vers
B
.
A
B
1.2. Vecteurs égaux
Dire que deux vecteurs
⃗
AB
et
⃗
CD
sont égaux signifie
que la translation qui transforme
A
en
B
,
associe au point
C
le point
D
.
On note
⃗
AB=
⃗
CD
A
B
C
D
Deux vecteurs
⃗
AB
et
⃗
CD
sont égaux si, et seulement
si, le quadrilatère
ABDC
est un parallélogramme,
éventuellement aplati.
ABCD
Remarque
•On dit que
⃗
AB=
⃗
CD=
⃗
u
•Le vecteur nul, noté
⃗
0
, est associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C, …
Ainsi
⃗
0=
⃗
AA=
⃗
BB=
⃗
CC= …
•Le vecteur opposé au vecteur
⃗
AB
est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A,
c’est le vecteur
⃗
BA
,
−
⃗
AB=
⃗
BA

2. Coordonnées
2.1. Coordonnées d’un vecteur
Dans un repère
( O ;I; J )
les coordonnées d’un vecteur
⃗
u
sont les
coordonnées du point M tel que
⃗
OM=
⃗
u
Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes
coordonnées dans un repère.
⃗ u
(
x
y
)
et
⃗ v
(
x'
y'
)
sont égaux si et seulement si,
x=x'
et
y=y'
Dans un repère,
A
(
xA;yA
)
et
B
(
xB;yB
)
sont deux points.
Les coordonnées du vecteur
⃗
AB
sont
(
xB−xA
yB−yA
)
Exemple
A ( −5 ; 2 )
et
B ( 3 ;−1 )
Les coordonnées du vecteur
⃗
AB
sont
(
3− ( −5 )
−1−2
)
soit
(
8
−3
)
2.2. Coordonnées du milieu
Les propositions suivantes sont équivalentes :
•
I
est le milieu de
[ AB ]
•
⃗
AI=
⃗
IB
•
⃗
AI=1
2
⃗
AB
•
I
a pour coordonnées
(
xA+xB
2;yA+yB 2
)
3. Somme des deux vecteurs
3.1. Définition
La somme de deux vecteurs
⃗
u
et
⃗
v
est le vecteur associé à la
translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur
⃗
u
et de vecteur
⃗
v
On note ce vecteur
⃗
u+
⃗
v
•
⃗
u+
⃗
v=
⃗
v+
⃗
u
•
⃗
u+
⃗
0=
⃗
u
•
(
⃗
u+
⃗
v ) +
⃗
w=
⃗
u+ (
⃗
v+
⃗
w )
Remarque
⃗
u−
⃗
v=
⃗
u+ ( −
⃗
v )
La différence du vecteur
⃗
u
et du vecteur
⃗
v
s’obtient en ajoutant au vecteur
⃗
u
l’opposé du
vecteur
⃗
v

3.2. Construction géométrique
Relation de Chasles
Quels que soient les points A, B et C, on a
⃗
AB+
⃗
BC=
⃗
AC
Règle du parallélogramme
Les points A, B et C étant donnés,
⃗
AB+
⃗
AC=
⃗
AD
⇔ABDC
est un parallélogramme.
4. Multiplication d ’ un vecteur par un réel
4.1. Définition
⃗ u
(
a
b
)
un vecteur et
k
un réel. Le produit du vecteur
⃗
u
par le réel
k
est le
vecteur noté
k
⃗
u
de coordonnées
(
k a
k b
)
Si
⃗
u=
⃗
AB
alors
k ⃗ u=
⃗
AC
•
C
appartient à la demi droite [
AB
) et
AC=kAB
si
k>0
•
C
appartient à la droite
( AB )
mais pas à la demi droite [
AB
) et
AC=−kAB
si
k<0
4.2. Propriétés
Pour tous vecteurs
⃗
u
et
⃗
v
et pour tout réel
k
et
k '
•
k (
⃗
u+
⃗
v ) =k
⃗
u+k
⃗
v
•
( k+k ' )
⃗
u=k
⃗
u+k '
⃗
u
•
( k k' )
⃗
u=k ( k '
⃗
u )
Remarque
Si
k=0
alors
k
⃗
u=
⃗
0
Si
⃗
u=
⃗
0
alors
k
⃗
u=
⃗
0
5. Colinéarité de deux vecteurs
5.1. Définition
Dire que deux vecteurs
⃗
u
et
⃗
v
non nuls sont colinéaires signifie qu’il existe
un réel
k
non nul tel que
⃗
v=k
⃗
u
Remarques :
•Deux vecteur s colinéaires sont portés par deux droites parallèles.
•Par convention le vecteur nul
⃗
0
est colinéaire à tout vecteur.

5.2. Alignement
Les points
A
,
B
, et
C
alignés si et seulement si les vecteurs
⃗
AB
et
⃗
AC
sont
colinéaires.
5.3. Parallélisme
Les droites
( AB )
et
( CD )
sont parallèles si et seulement si les vecteurs
⃗
AB
et
⃗
CD
sont colinéaires