Exercices de Math´
ematiques
Structure de groupe (IV)
Corrig´es
Corrig´
e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Cette question a d´ej`a fait l’objet de l’exercice 2.
2. Il est clair que tout xde Gappartient `a x: la relation Rest r´eflexive.
Soient x, y dans Gtel que yRxc’est-`a-dire y=xou y=ax.
Si y=ax alors ay =a2x=x. Dans tous les cas, on a donc x=you x=ay.
Ainsi yRx⇔xRy: la relation Rest sym´etrique.
Soient x, y, z trois ´el´ements de Gtels que xRyet yRz.
On a donc (x=you x=ay) et (y=zou y=az).
Dans tous les cas, sachant que a2=e, on trouve x=zou x=az c’est-`a-dire xRz.
On en d´eduit que Rest transitive. C’est donc une relation d’´equivalence.
3. On sait que les diff´erentes classes d’´equivalence xforment une partition de G.
Or chacune de ces classes est de cardinal 2 : en effet a6=e⇒x6=ax.
Il s’ensuit que Card(G) est pair et que Card(H) = 1
2Card(G).
4. Soient αet βdeux ´el´ements de H.
Il existe donc x, y dans Gtels que α=x=x0et β=y=y0avec x0=ax et y0=ay.
On constate que les ´el´ements xy,x0y,xy0et x0y0sont en relation par R.
En effet chacun d’eux vaut xy ou axy (cons´equence de la commutativit´e et de a2=e.)
La d´efinition α ? β =xy ne d´epend donc pas du choix de xdans αet ydans β.
L’application ϕ:x7→ xest une surjection de Gsur H.
De plus elle v´erifie : ∀(x, y)∈G2, ϕ(xy) = ϕ(x)? ϕ(y).
ϕest donc un morphisme surjectif du groupe (G, ·) sur (H, ?).
Il en d´ecoule que (H, ?) est un groupe commutatif (r´esultat classique).
Plus pr´ecis´ement, le neutre est e={e, a}et le sym´etrique de xest x−1.
Enfin on contaste que : ∀x∈G, x ? x =x2=e(le neutre de H).
Le groupe Hsatisfait donc aux mˆemes hypoth`eses que G(tout ´el´ement est involutif ).
5. Si Gest r´eduit `a son neutre {e}, alors son cardinal est 1 = 20.
Sinon, avec les notations pr´ec´edentes, Card(G) = 2Card(H).
Si Hse r´eduit `a son neutre, alors Card(G) = 2.
Sinon on construit un groupe K`a partir de Hcomme on a construit H`a partir de G.
Ce proc´ed´e peut continuer tant que le groupe obtenu est de cardinal ≥2.
Puisque les cardinaux diminuent de moiti´e `a chaque ´etape, le proc´ed´e est fini.
On forme donc une suite finie de groupes G0=G,G1,G2,. . .,Gn−1,Gnavec `a chaque
´etape Card(Gk) = 2Card(Gk+1) et finalement Card(Gn) = 1.
Il en d´ecoule Card(Gn) = 2n.
Le cardinal de Gest donc bien une puissance de 2.
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