´Enoncés des exercices

Exercices de Math´ ematiques
Structure de groupe (IV)
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Enonc´es
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Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer qu’un groupe fini d’ordre premier est cyclique.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer qu’un groupe Gdans lequel tout xv´erifie x2=eest commutatif.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer qu’un groupe Gdans lequel on a toujours (xy)2=x2y2est commutatif.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit Gun ensemble muni d’une loi associative (not´ee multiplicativement) telle que :
(Il existe un ´el´ement ede Etel que pour tout x,xe =x
Pour tout xde E, il existe un ´el´ement x0tel que xx0=e.
Montrer que Gest un groupe.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit Gun groupe fini dans lequel tout ´el´ement v´erifie x2=e.
1. Montrer que le groupe Gest ab´elien
2. On fixe un ´el´ement ade G, distinct du neutre e.
Pour tout xde G, on note x={x, ax}.
On d´efinit ensuite une relation Rsur Gen posant xRy⇔y∈x.
Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
3. On note Hl’ensemble des diff´erentes classes d’´equivalences x, quand xparcourt G.
Quel est le cardinal de H?
4. Montrer qu’on d´efinit une loi de groupe sur Hen posant x ? y =xy.
V´erifier que Hsatisfait `a la mˆeme hypoth`ese que le groupe G.
5. Montrer que le cardinal de Gest une puissance de 2.
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Exercices de Math´ ematiques
Structure de groupe (IV)
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Cet exercice peut ˆetre consid´er´e comme une question de cours.
Consid´erer l’ensemble (a) = {an, n ∈ZZ}, avec a6=e.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tous x, y de G,ona(xy)2=xyxy =e.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tous x, y de G,ona(xy)2=x2y2, donc. . .
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tout xde G, il existe x0, x00 tels que xx0=eet x0x00 =e.
Montrer que ex =ex00. En d´eduire x0x=x0x00 =e, puis ex =e.
Ainsi eest neutre et x0est l’inverse de x...
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Voir l’exercice 2.
2. La r´eflexivit´e et la sym´etrie sont faciles. Utiliser a2=epour la transitivit´e.
3. Chaque classe d’´equivalence est de cardinal 2.
4. Montrer que ϕ:x7→ xest un morphisme surjectif de (G, ·) sur (H, ?).
5. Si Gest r´eduit `a {e}, c’est fini, sinon on cr´ee H.
Si Hse r´eduit `a son neutre, c’est fini, sinon. . .
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Exercices de Math´ ematiques
Structure de groupe (IV)
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´ e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Soit aun ´el´ement de G, distinct du neutre e(card(G)≥2).
L’ensemble (a) = {an, n ∈ZZ}des puissances enti`eres de aest un sous-groupe de G.
On sait que l’ordre (le cardinal) d’un sous-groupe d’un groupe fini divise l’ordre de ce groupe.
On en d´eduit que l’ordre de (a) (qui est au moins ´egal `a 2, car il contient e=a0et a=a1)
divise l’ordre p(premier) de Get est donc ´egal `a p.
Ainsi (a) = G, ce qui signifie effectivement que Gest cyclique (et qu’il est d’ailleurs engendr´e
par chacun de ses ´el´ements diff´erent du neutre.)
Corrig´ e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Soient x, y deux ´el´ements de G. On a e= (xy)2=xyxy.
On multiplie cette ´egalit´e `a gauche par xpuis `a droite par y.
On en d´eduit x=x2yxy =yxy, puis xy =yxy2=yx : le groupe Gest donc commutatif.
Corrig´ e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Soient x, y deux ´el´ements de G.Ona(xy)2=x2y2donc xyxy =xxyy.
On simplifie par x`a gauche et on obtient : yxy =xyy.
On simplifie par y`a droite et on obtient : yx =xy : le groupe Gest donc commutatif.
Corrig´ e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Montrons que eest neutre dans G.
Pour cela, soit xdans G. Il faut prouver ex =x.
On sait qu’il existe x0tel que xx0=e.
De mˆeme, il existe x00 tel x0x00 =e.
On peut alors ´ecrire : ex = (ex)(x0x00
|{z}
=e
) = e(xx0
|{z}
=e
)x00 =ex00.
On en d´eduit : x0(ex) = x0(ex00) puis (x0e)x= (x0e)x00 ou encore x0x=x0x00 =e.
Il en d´ecoule x(x0x) = xe =epuis (xx0)x=ec’est-`a-dire ex =e.
On voit donc que eest neutre dans G, et que x0est l’inverse de xcar x0x=xx0=e.
Conclusion : Gest muni d’une structure de groupe.
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Structure de groupe (IV)
Corrig´es
Corrig´ e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Cette question a d´ej`a fait l’objet de l’exercice 2.
2. Il est clair que tout xde Gappartient `a x: la relation Rest r´eflexive.
Soient x, y dans Gtel que yRxc’est-`a-dire y=xou y=ax.
Si y=ax alors ay =a2x=x. Dans tous les cas, on a donc x=you x=ay.
Ainsi yRx⇔xRy: la relation Rest sym´etrique.
Soient x, y, z trois ´el´ements de Gtels que xRyet yRz.
On a donc (x=you x=ay) et (y=zou y=az).
Dans tous les cas, sachant que a2=e, on trouve x=zou x=az c’est-`a-dire xRz.
On en d´eduit que Rest transitive. C’est donc une relation d’´equivalence.
3. On sait que les diff´erentes classes d’´equivalence xforment une partition de G.
Or chacune de ces classes est de cardinal 2 : en effet a6=e⇒x6=ax.
Il s’ensuit que Card(G) est pair et que Card(H) = 1
2Card(G).
4. Soient αet βdeux ´el´ements de H.
Il existe donc x, y dans Gtels que α=x=x0et β=y=y0avec x0=ax et y0=ay.
On constate que les ´el´ements xy,x0y,xy0et x0y0sont en relation par R.
En effet chacun d’eux vaut xy ou axy (cons´equence de la commutativit´e et de a2=e.)
La d´efinition α ? β =xy ne d´epend donc pas du choix de xdans αet ydans β.
L’application ϕ:x7→ xest une surjection de Gsur H.
De plus elle v´erifie : ∀(x, y)∈G2, ϕ(xy) = ϕ(x)? ϕ(y).
ϕest donc un morphisme surjectif du groupe (G, ·) sur (H, ?).
Il en d´ecoule que (H, ?) est un groupe commutatif (r´esultat classique).
Plus pr´ecis´ement, le neutre est e={e, a}et le sym´etrique de xest x−1.
Enfin on contaste que : ∀x∈G, x ? x =x2=e(le neutre de H).
Le groupe Hsatisfait donc aux mˆemes hypoth`eses que G(tout ´el´ement est involutif ).
5. Si Gest r´eduit `a son neutre {e}, alors son cardinal est 1 = 20.
Sinon, avec les notations pr´ec´edentes, Card(G) = 2Card(H).
Si Hse r´eduit `a son neutre, alors Card(G) = 2.
Sinon on construit un groupe K`a partir de Hcomme on a construit H`a partir de G.
Ce proc´ed´e peut continuer tant que le groupe obtenu est de cardinal ≥2.
Puisque les cardinaux diminuent de moiti´e `a chaque ´etape, le proc´ed´e est fini.
On forme donc une suite finie de groupes G0=G,G1,G2,. . .,Gn−1,Gnavec `a chaque
´etape Card(Gk) = 2Card(Gk+1) et finalement Card(Gn) = 1.
Il en d´ecoule Card(Gn) = 2n.
Le cardinal de Gest donc bien une puissance de 2.
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