Exercice 1

Lycéé Al Khawarizmi SERIE 15 05/03/2010
SPE TSI 3
Exercice 1
1. Soit fla fonction 2π−périodique tel que f(x) = x−π
2pour tout x∈[0,2π[.
fest-elle impaire ? paire ?
Soit g=f/(R\2πZ). Montrer que gest impaire.
2. Donner la décomposition en série de Fourier de la fonction fdéfinie par
f(x) = cos(5x).
3. En utilisant le théorème de Parseval, prouver que deux fonctions continues
2π-périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
4. Soit fune fonction continue 2π−périodique. Montrer que (cn(f)) tend vers
0 lorsque |n|tend vers +∞.
5. On suppose de plus que fest de classe Ck. Prouver que cn(f) = o(1/nk).
6. Soit fla fonction "créneau" définie par f(x)=1si x∈[0, π[,f(x) = −1si
x∈[−π, 0[, et prolongée par 2π-périodicité. Quelle est la régularité de cette
fonction ? Que dire de la série de Fourier de fen 0 ?
7. Soit fla fonction paire 2π-périodique définie par f(x) = √xsur [0, π].f
est-elle C1par morceaux ?
Solution
1. fn’est pas impaire car f(−2π)6=−f(2π), on a en fait : f(−2π) = −f(2π) =
f(0) = π
2.
fn’est pas paire car
fπ
2=−π 4et f−π 2=f−π 2+ 2π=f3π 2=π 4
Soit x∈]0,2π[alors g(−x) = g(−x+ 2π). Or −x+ 2π∈]0,2π[, donc g(−x) =
−x+ 2π−π
2=−x+π 2=−g(x)
2. On peut bien sûr se lancer dans des calculs très complexes.... On peut ! Mais quand
même, la décomposition en série de Fourier consiste à représenter une fonction
périodique comme somme des fonctions périodiques les plus élémentaires possibles
(à savoir les sinus et les cosinus). Alors, bien entendu, la décomposition en série
de Fourier de cos(5x)est . . . cos(5x)! A vous de voir si vous jugez utile de justifier
cela ! Cela dit, c’est une bonne occasion de rappeler que
Z2π
0
cos(px) cos(qx)dx = 0 si p6=q
et
Z2π
0
cos(px) sin(qx)dx = 0 pour tous p, q.
3. Posons h=f−g. Alors cn(h) = cn(f)−cn(g)=0. De plus, hest continue et
vérifie donc les conclusions du théorème de Parseval, à savoir
Zπ
−π|h(t)|2dt =X
n∈Z|cn(h)|2= 0.
Puisque t7→ |h(t)|2est continue, positive, d’intégrale nulle sur [−π, π], on en
déduit que h= 0 sur [−π, π]. Par 2π−périodicité, f=gsur Rtout entier.
4. D’après le théorème de Parseval, on sait que
Zπ
−π|f(t)|2dt =X
n∈Z|cn(f)|2.
La série X
n∈Z)|cn(f)|2est donc convergente. Son terme général tend vers 0, et on
conclut que (cn(f)) converge bien vers 0 lorsque |n|tend vers +∞.
5. Tout repose sur des intégrations par parties. En effet, si fest C1et 2π−périodique,
on a
cn(f0) = Zπ
−π
f0(t)e−intdt
=f(t)e−intπ
−π+in Zπ
−π
f(t)e−intdt
= (in)cn(f).
Par récurrence, on obtient que cn(f(k))=(in)kcn(f). Pour n6= 0, on a donc :
cn(f) = 1
iknkcn(f(k)).
Pour conclure, il suffit de remarquer que cn(f(k))tend vers 0 lorsque |n|tend
vers +∞d’après la question précédente. Cette idée d’intégration par parties est
très utile lorsqu’on veut relier régularité d’une fonction et comportement de ses
coefficients de Fourier.
1

6. La fonction fest de classe C1par morceaux. En effet, sur l’intervalle [0, π[, elle est
la restriction à [0, π[d’une fonction de classe C1sur [0, π](la fonction identique-
ment égale à 1), et sur [−π, 0[, elle est la restriction de d’une fonction de classe C1
sur [0, π](la fonction identiquement égale à −1). Le théorème de Dirichlet peut
donc s’appliquer. En particulier, en 0, la série de Fourier de fconverge vers
1
2lim
x→0−
f(x) + lim
x→0+f(x)= 0.
7. fn’est pas C1par morceaux : en effet, sinon, on pourrait définir sur [0, π]une
fonction de classe C1qui coïncide avec fsur ]0, π]. Ce n’est pas possible car f0(x)
tend vers +∞en 0.
Exercice 2
Déterminer les séries de Fourier (termes en sinus et cosinus) des fonctions sui-
vantes :
1. f2π−périodique, définie par f(x) = xsi −π≤x<π.
2. la fonction créneau : fest 2π-périodique, définie par f(x)=1si x∈[0, π[,
et f(x) = −1si x∈[−π, 0].
3. la fonction L−périodique, où L > 0, définie par f(x) = |x|si x∈[−L/2, L/2].
Solution
1. Cette fonction est impaire, les coefficients en cosinus sont nuls. On a par défini-
tion :
bn=1
πZπ
−π
xsin(nx)dx.
On calcule ce coefficient grâce à une intégration par parties :
bn= (−1)n+1 2
n
2. Cette fonction est elle-aussi impaire, et il suffit là encore de calculer les coefficients
en sinus :
bn=1
πZ0
−π
(−1) sin(nx)dx +1
πZπ
0
sin(nx)dx =2
nπ (1 −cos(nπ)).
Ceci s’écrit plus simplement :
bn=(0pour npair
4
nπ pour nimpair
3. Remarquons que la fonction est paire : il suffit de calculer les coefficients en cosi-
nus. On a :
a0=1
LZL/2
−L/2|x|dx =2
LZL/2
0
xdx =L
4.
an=2
LZL/2
−L/2|x|cos 2π
Lnxdx =4 LZL/2
0
xcos 2π
Lnxdx.
On calcule ceci par intégration par parties pour trouver :
an=L
n2π2((−1)n−1) = (0si nest pair
−2L
n2π2si nest impair
Exercice 3
Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période 2πdéfinie
par f(x) = x2pour −π≤x≤π. En déduire la somme des séries X
n≥1
1
n2,
X
n≥1
(−1)n+1
n2,X
n≥1
1
n4.
Solution
La fonction fest paire, ses coefficients en sinus sont nuls, et on a :
a0=1
2πZπ
−π
x2dx =π2
3,
an=2
πZπ
0
x2cos(nx)dx.
La calcul de anse fait par une double intégration par parties, et on trouve :
an= (−1)n4
n2.
Maintenant, fest continue et C1par morceaux : cette fonction est somme de sa série
de Fourier pour tout réel, et on a donc, pour tout xdans [−π, π],
x2=π2
3+ 4 X
n≥1
(−1)n
n2cos(nx).
Si l’on fait x=π, on obtient :
π2=π2
3+ 4 X
n≥1
1
n2.
On obtient exactement :
X
n≥1
1
n2=π2 6.
2

Si l’on fait x= 0, on obtient cette fois :
X
n≥1
(−1)n+1
n2=π2 12 .
Pour calculer la dernière somme demandée, il faut pouvoir mettre les coefficients au
carré, et c’est ce que l’on obtient dans l’égalité de Parseval, que l’on peut appliquer ici
puisque fest continue :
1
2πZπ
−π
x4dx =π4
9+1 2X
n≥1
16
n4.
Ceci donne :
X
n≥1
1
n4=π4 81 5−1 9=π4 90 .
Exercice 4
Soit fla fonction 2π−périodique, définie pour x∈[0,2π[par f(x) = x2.
1. Déterminer la série de Fourier de f.
2. Calculer X
n≥1
1
n2, puis X
n≥1
1
n4.
Solution
1. On a d’abord :
a0(f) = 1
2πZ2π
0
x2dx =4π2
3.
D’autre part, en réalisant deux intégrations par parties, on a :
an(f) = 1
πZ2π
0
x2cos(nx)dx
=1
πx2sin nx n2π
0−2
πn Z2π
0
xsin(nx)dx
=2
πn hxcos nx ni2π
0−2
πn2Z2π
0
cos(nx)dx
=4
n2.
De même, on trouve bn=−4π
n.La série de Fourier de fest donc :
4π2
3+X
n≥14
n2cos(nx)−4π nsin(nx).
2. fest C1par morceaux. Pour tout xde R, on a donc :
1
2f(x+ 0) + f(x−0)=4π2 3+X
n≥14
n2cos(nx)−4π nsin(nx).
Pour x= 0, on trouve :
1
2((2π)2+ 0) = 4π2 3+X
n≥1
4
n2.
Ceci donne donc :
X
n≥1
1
n2=π2 6.
L’autre somme se calcule en appliquant le théorème de Parseval. On a donc :
Z2π
0
x4dx =4π2
32
+1
2X
n≥116
n4+16π2 n2.
En utilisant le fait que Z2π
0
x4dx =16π4
5, et en réinjectant le calcul précédent,
on trouve que
X
n≥1
1
n4=π4 90 .
Exercice 5
Déterminer la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie sur [−π, π]par
f(x) = |x|. En déduire la valeur des sommes suivantes :
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)2et
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)4.
Solution
La fonction est paire, donc les coefficients de Fourier en sinus sont nuls. Calculons les
autres coefficients :
a0(f) = 1
πZπ
0
xdx =π, an=2
πZπ
0
xcos(nx)dx =2
πn2(cos(nπ)−1) .
Or, cos(nπ) = (−1)n, et donc on a a2n= 0, et a2n+1 =4
π(2n+ 1)2.La série de Fourier
de fest donc :
π
2−4 πX
n≥0
cos((2n+ 1)x
(2n+ 1)2.
3

Elle est continue et C1par morceaux. Elle vérifie donc les hypothèses du théorème de
Dirichlet, et fest somme de sa série de Fourier pour tout xde R. En particulier, pour
x= 0, il vient :
X
n≥0
1
(2n+ 1)2=π2 8.
Enfin, écrivons l’égalité de Parseval :
1
2πZπ
−π
x2dx =π2
4+1 2×16 π2×X
n≥0
1
(2n+ 1)4.
En isolant la somme, on trouve donc :
X
n≥0
1
(2n+ 1)2=π4 96 .
Exercice 6
Soit fla fonction 2π-périodique telle que f(x) = exsi x∈[−π, π[. Déterminer la
série de Fourier de f. En déduire la valeur des sommes suivantes : X
n≥1
1
n2+ 1 et
X
n≥1
(−1)n
n2+ 1.
Solution
On calcule les coefficients de Fourier de f. On trouve
a0=1
2πZπ
−π
f(x)dx =1
2πeπ−e−π=sinh π π.
Pour n≥1, il vient
an=1
πZπ
−π
f(x) cos(nx)dx
=1
πZπ
−π
excos(nx)dx
=1
πZπ
−π
ex<e(einx)dx
=<e1
πZπ
−π
e(1+in)xdx
=<e1
π1 1 + ine(1+in)π−e(1+in)−π
=1
π<e(−1)neπ−(−1)ne−π 1 + in 
=(−1)n
π<e2 sinh π 1 + in 
=(−1)n
π<e2(1 −in) sinh π n2+ 1 
=2(−1)nsinh π
π(n2+ 1) .
Pour les coefficients en sinus, une démarche similaire donne
bn=(−1)n
π=m2 sinh π 1 + in 
=(−1)n
π=m2(1 −in) sinh π n2+ 1 
=2n(−1)n+1 sinh π
π(n2+ 1) .
La série de Fourier de fest donc
sinh π
π+X
n≥1
2(−1)nsinh π
π(n2+ 1) cos(nx) + 2n(−1)n+1 sinh π π(n2+ 1) sin(nx).
Remarquons aussi que la fonction fest de classe C1par morceaux (mais elle n’est pas
continue en les points π+ 2kπ,k∈Z). D’après le théorème de Dirichlet, la série de
Fourier de fconverge en chaque réel xvers 1
2f(x+) + f(x−). En particulier, pour
x= 0, on trouve
sinh π
π+X
n≥1
2(−1)nsinh π
π(n2+ 1) cos(n0) + 2n(−1)n+1 sinh π π(n2+ 1) sin(n0) = f(0)
4

soit sinh π
π+X
n≥1
2(−1)nsinh π
π(n2+ 1) = 1.
On trouve donc
X
n≥1
(−1)n
n2+ 1 =π 2 sinh π×1−sinh π π=π−sinh π 2 sinh π.
Pour calculer la première somme, on choisit x=π, et on remarque que
f(π+) + f(π−)
2=eπ+e−π 2= cosh π.
On trouve donc
sinh π
π+X
n≥1
2(−1)nsinh π
π(n2+ 1) cos(nπ) + 2n(−1)n+1 sinh π π(n2+ 1) sin(nπ) = cosh π
soit
X
n≥1
1
n2+ 1 =π 2 sinh π×cosh π−sinh π π=πcosh π−sinh π 2 sinh π.
Exercice 7
Soit fla fonction 2π-périodique définie par f(x) = π−x
2si x∈[0,2π[, et soit g
définie sur Rpar g(x) = f(x+ 1) −f(x−1).
1. Déterminer les séries de Fourier de fet de g.
2. En déduire que X
n≥1
sin n
n=X
n≥1
sin2n
n2.
Solution
1. On commence par remarquer que la fonction est C1par morceaux (elle n’est pas
continue en les points de 2πZ) et est impaire, et donc les coefficients de Fourier
en cosinus sont nuls. Pour calculer ceux en sinus, il suffit d’une simple intégration
par parties, et on trouve que la série de Fourier de fest
X
n≥1
sin nx
n.
Pour trouver la série de Fourier de g, on peut chercher la valeur de gsur un in-
tervalle de longueur 2πpuis intégrer... On peut aussi ruser de la façon suivante :
on commence par remarquer que gest paire (vérification facile). De plus, on a
Z2π
0
g(x) cos(nx)dx =Z2π
0
f(x+ 1) cos(nx)dx −Z2π
0
f(x−1) cos(nx)dx
=Z2π−1
−1
f(x+ 1) cos(nx)dx −Z2π+1
1
f(x−1) cos(nx)dx
=Z2π
0
f(u) cos(nu −n)du −Z2π
0
f(u) cos(nu +n)du
=Z2π
0
2f(u) sin(n) sin(nu)du
= 2sin n
n.
La série de Fourier de gest donc
X
n≥1
2 sin n
ncos(nx).
2. Puisque fest C1par morceaux et qu’elle est continue en 1, on a
X
n≥1
sin n
n=f(1) = π−1 2.
D’autre part, gest continue par morceaux, 2π-périodique, on peut donc lui ap-
pliquer le théorème de Parseval, et on obtient
1
2πZ2π
0g(x)2dx =1
2X
n≥1
4 sin2n
n2.
Reste à calculer l’intégrale, et pour cela à calculer gsur [0,2π]:
– si x∈[1,2π−1], alors
g(x) = π−x−1
2−π−x+ 1 2=−1.
– si x∈[0,1], alors f(x−1) = f(x−1+2π) = π−x+ 1 −2π
2et on obtient donc
g(x) = −1 + π.
– si x∈[2π−1,2π]alors f(x+1) = f(x+1−2π) = π−x−1+2π
2et on obtient
g(x) = −1 + π.
5