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CHAPITRE 4 : ARITHMETIQUE I. Divisibilité 1. Division euclidienne Définition : Soient a et b deux entiers naturels, avec b non nul. Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer les deux entiers naturels q et r tels que a = bq + r et 0 ≤ r < b. L’entier « a » est appelé le dividende de cette division, « b » le diviseur, « q » le quotient et « r » le reste. Exemple : 155 = 4 x 38 + 3 et 3 < 4. Reste 155 35 3 4 38 Quotient 2. Multiples et diviseurs Définition : Soient a et b deux entiers naturels. On dit que b est un diviseur de a, ou que b divise a, ou encore que a est divisible par b, s’il existe un entier naturel k tel que : a=bxk Exemple : 24 = 3 x 8, donc 3 et 8 sont des diviseurs de 24. Critères de divisibilité : - Un nombre entier est divisible par 2 revient à dire que son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. - Un nombre entier est divisible par 4 revient à dire que le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4. - Un nombre entier est divisible par 5 revient à dire que son chiffre des unités est 0 ou 5. - Un nombre entier est divisible par 10 revient à dire que son chiffre des unités est 0. - Un nombre entier est divisible par 3 revient à dire que la somme de ses chiffres est un multiple de 3. - Un nombre entier est divisible par 9 revient à dire que la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Remarques : - 1 est un diviseur de tout entier naturel. - Tout entier naturel est un diviseur de 0. - Tout entier naturel est un diviseur de lui-même. 3. Nombre premier Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel ayant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers. 9 admet trois diviseurs : 1,3 et 9. Donc 9 n’est pas un nombre premier. II. Le plus grand diviseur commun 1. Définition Définition : Soient a et b des entiers naturels non nuls. Le PDCG de a et b, noté PGCD(a ; b), est le plus grand des diviseurs communs à a et b. Exemple : Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6 et 18. Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Les diviseurs communs à 18 et 24 sont 1, 2, 3 et 6. On a donc PGCD (18 ; 24) = 6. 2. Propriétés Propriété : Soient a et b des entiers naturels non nuls. - Si b divise a, alors PGCD(a ; b) = b. - PGCD( a ; a) = a. - PGCD( a ; 0) = a. - Si a > b, alors PGCD(a ; b) = PGCD( a – b ; b). Démonstration : Soient a et b des entiers naturels non nuls. - Si b divise a, alors b est un diviseur de a et b est le plus grand diviseur de b. Donc le plus grand diviseur commun à a et b est b. - On sait que si b divise a, alors PGCD(a ; b) = b. Prenons b = a, on a bien que a divise a, donc PGCD(a ; a) = a. - On sait que tout entier naturel non nul divise 0, donc a divise 0. On a donc PGCD(a ; 0) = a - Soit d le PGCD de a et b. Il existe deux entiers naturels q et p, non nuls, tels que a = q x d et b = p x d. Si a > b, alors a – b = q x d – p x d = d x (q – p). Donc d divise a – b. Soit d le PGCD de a - b et b. Il existe deux entiers naturels q et p, non nuls, tels que a - b = q x d et b = p x d. Si a > b, alors a = a – b + b = q x d + p x d = d x (q + p). Donc d divise a. Exemples : PGCD( 18 ; 9) = 9. PGCD( 16 ; 16) = 16. PGCD( 15 ; 0) = 15. PGCD( 95 ; 35) = PGCD( 95 - 35 ; 35) = PGCD(60 ; 35). Propriété (admise): Soient a et b des entiers naturels non nuls. Si a > b, alors PGCD(a ; b) = PGCD( b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Exemple : 32 = 5 x 6 + 2 donc PGCD( 32 ; 5) = PGCD(5 ; 2). a =bxq +r 3. Nombres premiers entre eux Définition : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Si le PGCD de a et b est égal à 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. Exemple : - 36 et 24 ont pour diviseur commun 12, donc ils ne sont pas premiers entre eux. - Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4, 8 et ceux de 9 sont 1, 3, 9. 1 est le seul diviseur commun de 8 et 9, ils sont donc premiers entre eux. III. Méthodes de détermination du PGCD d de deux entiers naturels non nuls a et b. 1. Par décomposition On décompose chacun des deux entiers a et b en produit de nombres premiers ; d étant égal au produit des nombres premiers communs aux deux décompositions. Exemple : 36 = 2 x 2 x 3 x 3 84 = 2 x 2 x 3 x 7 PGCD(36 ; 84) = 2 x 2 x 3 = 12. 2. Par l’algorithme des soustractions On utilise la propriété du cours PGCD(a ; b) = PGCD( a – b ; b). Pour chercher le pgcd de deux nombres entiers a et b avec a > b, on calcule la différence (a - b) puis on recommence en remplaçant le plus grand des deux nombres par (a - b) jusqu'à l'obtention de deux nombres égaux. Le pgcd de a et de b est ainsi égal à ces deux derniers nombres. Exemple : PGCD(84 ; 36) = PGCD(84 – 36 ; 36) = PGCD(48 ; 36) PGCD(48 ; 36) = PGCD (48 – 36 ; 36) = PGCD(12 ; 36) PGCD(12 ; 36) = PGCD( 12 ; 36 – 12) = PGCD(12; 12) PGCD (12 ; 12) = 12. Donc PGCD(84, 36) = 12. 3. Par l’algorithme d’Euclide On utilise la propriété du cours PGCD(a ; b) = PGCD( b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. On effectue la division euclidienne de a par b (si a>b), puis la division euclidienne de b par le reste obtenu, puis celle de ce reste par le second reste obtenu, et ainsi de suite ; après un nombre fini d’étapes, on obtient un reste non nul ; d est le dernier reste non nul. La fin de l'algorithme est atteinte lorsque le reste est 0, le pgcd est donc le dernier reste non nul. Exemple : 560 = 126 x 4 + 56 donc PGCD (560 ; 126) = PGCD(126 ;56). 126 = 56 x 2 + 14 donc PGCD(126 ; 56) = PGCD(56 ; 14). 56 = 14 x 4 + 0 donc PGCD(56 ; 14) = PGCD(14 ; 0) Donc PGCD(560 ; 126) = 14. IV. Fractions irréductibles Définition : Soient a et b deux entiers naturels, non nuls. La fraction est irréductible signifie que a et b sont premiers entre eux. Remarque : En simplifiant une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une fraction irréductible. Exemple : PGCD(560 ; 126) = 14 = = . est une fraction irréductible.
