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CHAPITRE 4 : ARITHMETIQUE
I.
Divisibilité
1. Division euclidienne
Définition : Soient a et b deux entiers naturels, avec b non nul.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer les deux entiers naturels q et r tels que
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
L’entier « a » est appelé le dividende de cette division, « b » le diviseur, « q » le quotient et « r » le reste.
Exemple :
155 = 4 x 38 + 3 et 3 < 4.
Reste
155
35
3
4
38
Quotient
2. Multiples et diviseurs
Définition : Soient a et b deux entiers naturels.
On dit que b est un diviseur de a, ou que b divise a, ou encore que a est divisible par b, s’il existe un
entier naturel k tel que :
a=bxk
Exemple :
24 = 3 x 8, donc 3 et 8 sont des diviseurs de 24.
Critères de divisibilité :
- Un nombre entier est divisible par 2 revient à dire que son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
- Un nombre entier est divisible par 4 revient à dire que le nombre formé par ses deux derniers chiffres est
un multiple de 4.
- Un nombre entier est divisible par 5 revient à dire que son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 10 revient à dire que son chiffre des unités est 0.
- Un nombre entier est divisible par 3 revient à dire que la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 revient à dire que la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Remarques :
- 1 est un diviseur de tout entier naturel.
- Tout entier naturel est un diviseur de 0.
- Tout entier naturel est un diviseur de lui-même.
3. Nombre premier
Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel ayant exactement deux diviseurs :
1 et lui-même.
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers.
9 admet trois diviseurs : 1,3 et 9. Donc 9 n’est pas un nombre premier.
II.
Le plus grand diviseur commun
1. Définition
Définition : Soient a et b des entiers naturels non nuls.
Le PDCG de a et b, noté PGCD(a ; b), est le plus grand des diviseurs communs à a et b.
Exemple :
Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6 et 18.
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Les diviseurs communs à 18 et 24 sont 1, 2, 3 et 6.
On a donc PGCD (18 ; 24) = 6.
2. Propriétés
Propriété : Soient a et b des entiers naturels non nuls.
- Si b divise a, alors PGCD(a ; b) = b.
- PGCD( a ; a) = a.
- PGCD( a ; 0) = a.
- Si a > b, alors PGCD(a ; b) = PGCD( a – b ; b).
Démonstration :
Soient a et b des entiers naturels non nuls.
- Si b divise a, alors b est un diviseur de a et b est le plus grand diviseur de b. Donc le plus grand diviseur commun
à a et b est b.
- On sait que si b divise a, alors PGCD(a ; b) = b. Prenons b = a, on a bien que a divise a, donc PGCD(a ; a) = a.
- On sait que tout entier naturel non nul divise 0, donc a divise 0. On a donc PGCD(a ; 0) = a
- Soit d le PGCD de a et b. Il existe deux entiers naturels q et p, non nuls, tels que a = q x d et b = p x d.
Si a > b, alors a – b = q x d – p x d = d x (q – p). Donc d divise a – b.
Soit d le PGCD de a - b et b. Il existe deux entiers naturels q et p, non nuls, tels que a - b = q x d et b = p x d.
Si a > b, alors a = a – b + b = q x d + p x d = d x (q + p). Donc d divise a.
Exemples :
PGCD( 18 ; 9) = 9.
PGCD( 16 ; 16) = 16.
PGCD( 15 ; 0) = 15.
PGCD( 95 ; 35) = PGCD( 95 - 35 ; 35) = PGCD(60 ; 35).
Propriété (admise): Soient a et b des entiers naturels non nuls.
Si a > b, alors PGCD(a ; b) = PGCD( b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Exemple :
32 = 5 x 6 + 2 donc PGCD( 32 ; 5) = PGCD(5 ; 2).
a =bxq +r
3. Nombres premiers entre eux
Définition : Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si le PGCD de a et b est égal à 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemple :
- 36 et 24 ont pour diviseur commun 12, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
-
Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4, 8 et ceux de 9 sont 1, 3, 9. 1 est le seul diviseur commun de 8 et 9, ils
sont donc premiers entre eux.
III.
Méthodes de détermination du PGCD d de deux entiers naturels non nuls a et b.
1. Par décomposition
On décompose chacun des deux entiers a et b en produit de nombres premiers ; d étant égal au produit
des nombres premiers communs aux deux décompositions.
Exemple :
36 = 2 x 2 x 3 x 3
84 = 2 x 2 x 3 x 7
PGCD(36 ; 84) = 2 x 2 x 3 = 12.
2. Par l’algorithme des soustractions
On utilise la propriété du cours PGCD(a ; b) = PGCD( a – b ; b).
Pour chercher le pgcd de deux nombres entiers a et b avec a > b, on calcule la différence (a - b) puis on
recommence en remplaçant le plus grand des deux nombres par (a - b) jusqu'à l'obtention de deux
nombres égaux. Le pgcd de a et de b est ainsi égal à ces deux derniers nombres.
Exemple :
PGCD(84 ; 36) = PGCD(84 – 36 ; 36) = PGCD(48 ; 36)
PGCD(48 ; 36) = PGCD (48 – 36 ; 36) = PGCD(12 ; 36)
PGCD(12 ; 36) = PGCD( 12 ; 36 – 12) = PGCD(12; 12)
PGCD (12 ; 12) = 12.
Donc PGCD(84, 36) = 12.
3. Par l’algorithme d’Euclide
On utilise la propriété du cours PGCD(a ; b) = PGCD( b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a
par b.
On effectue la division euclidienne de a par b (si a>b), puis la division euclidienne de b par le reste obtenu,
puis celle de ce reste par le second reste obtenu, et ainsi de suite ; après un nombre fini d’étapes, on
obtient un reste non nul ; d est le dernier reste non nul.
La fin de l'algorithme est atteinte lorsque le reste est 0, le pgcd est donc le dernier reste non nul.
Exemple :
560 = 126 x 4 + 56
donc PGCD (560 ; 126) = PGCD(126 ;56).
126 = 56 x 2 + 14
donc PGCD(126 ; 56) = PGCD(56 ; 14).
56 = 14 x 4 + 0
donc PGCD(56 ; 14) = PGCD(14 ; 0)
Donc PGCD(560 ; 126) = 14.
IV.
Fractions irréductibles
Définition : Soient a et b deux entiers naturels, non nuls. La fraction est irréductible signifie que a et b
sont premiers entre eux.
Remarque :
En simplifiant une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une
fraction irréductible.
Exemple :
PGCD(560 ; 126) = 14
=
= .
est une fraction irréductible.
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