Probabilités

Chapitre 12 Probabilités
I) Événements
Une expérience est aléatoire si on ne peut pas prévoir le résultat.
Une éventualités est un résultat possible de l’expérience.
L’univers est l’ensemble de toutes les éventualités. On note cet ensemble Ω ou U.
Un événement est une partie de l’univers.
Un événement ne comportant qu’une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
∅est un évènement c’est l’évènement impossible.
Ω est un événement, c’est l’événement certain.
Le nombre d’éventualités d’un événement s’appelle le cardinal de l’événement et on note par exemple
card(A)
Exemple 1
On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
– les éventualités sont .... . . .. . . ... . . . . . ... . . .. . . . .. . . . .. . . ... . . . . . ... . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .
– l’univers est donc Ω = .. . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . ... . . .. . . ... . . . . . ... . . .. . . ..... . . .. . . . .. . . . . . . . . . . .
– on note Al’événement « obtenir un chiffre pair ». Alors A=......................................
– on note Bl’événement « obtenir un six ». Alors B=......... : c’est un événement élémentaire.
– «Obtenir 0» est l’événement . . . . . . . . . . . .
– «Obtenir un nombre paire ou un nombre impair» est l’événement . . . . . . . . . . . .
Exemple 2
Une expérience consiste à extraire au hasard une boule de l’urne représentée
ci-contre.
L’urne contient trois boules bleues numérotées de 1 à 3 (on les notes B1,B2et
B3), deux boules rouges portant les numéros 4 et 5 (notées R4et R5) et une boule
verte portant le numéro 6 et notée V6.B1V6B3
R4B2R5
– les éventualités sont .... . . .. . . ... . . . . . ... . . .. . . . .. . . . .. . . ... . . . . . ... . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .
– l’univers est donc ... . . .. . . ... . . . . . ... . . .. . . . .. . . . . . . . ... . . . . . ... . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . .
– on note Al’événement « obtenir une boule bleue ». Alors A={.........};
– on note Bl’événement « obtenir une boule ayant un numéro pair ». Alors B={.........}:
II) Probabilités
1) D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
Pour certaines expériences aléatoires, on connaît à priori la probabilité de chaque éventualités. Par
exemple si le dé est équilibré la probabilité d’avoir 6 est 1
6.
Dans le cas contraire, on répète un grand nombre de fois l’expérience et on remarque que la fréquence
d’apparition se stabilise.
C’est au XVIIesiècle Bernouilli démontre que cette fréquence se «stabilise». Il la définit alors comme la
probabilité de l’évènement considéré.
Définition
Loi des grands nombres : La probabilité d’un évènement est sa fréquence stabilisée observée ex-
périmentalement après répétition de l’expérience aléatoire d’un grand nombre de fois.
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Exemple 3
On lance cent fois de suite une fléchette sur une cible ayant cinq zones : noire, rouge, jaune, bleue et
verte. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau ci-après :
zone touchée noire rouge jaune bleue verte
nombre de touches 5 15 20 35 25
fréquence 0,05 0,15 0,20 0,35 0,25
La probabilité d’avoir une zone noire est donc 0,05, une zone rouge 0,15 , une zone bleue 0,35 et une
zone verte 0,25.
Définition
La donnée du tableau eie1e2... en
pip1p2... pn
s’appelle loi de probabilité.
Propriété
On considère une expérience aléatoire d’univers Ω = {e1, e2,...en}et Aun événement.
•p1+p2+...+pn= 1
•0≤P(A)≤1.
•La probabilité de l’évènement A noté p(A) est la somme des probabilités des éventualités qui consti-
tuent A.
•p(∅) = 0 et p(Ω) = 1
2) É`qfi˚u˚i¯p˚r`o˝bˆa˜b˘i˜lˇi˚t´é
Les névénements élémentaires d’un univers Ω lié à une expérience aléatoire sont dits équiprobables si la
probabilité de chacun d’eux est 1
n.
Dans ce cas la probabilité d’un événement Aest :
p(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de Ω =Card(A) Card(Ω)
Remarque
Dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement dans
l’énoncé une expression du type :
– on lance un dé non pipé. . . ;
– on tire dans un jeu de cartes non truqué...;
– dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher. . . ;
– on rencontre au hasard une personne parmi. . . ;
– . . .
III) Quelques exemples de référence
Dans cette partie, nous allons étudier quelques exemples d’exercices « classiques » qu’il faut avoir en
mémoire pour bien appréhender un problème de probabilité. D’autres situations sont bien sûr possibles
et cette liste d’exemples n’est pas exhaustive. . .
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III) Quelques exemples de référence
Dans cette partie, nous allons étudier quelques exemples d’exercices « classiques » qu’il faut avoir en
mémoire pour bien appréhender un problème de probabilité. D’autres situations sont bien sûr possibles
et cette liste d’exemples n’est pas exhaustive. . .
Exemple 12 (le dé équilibré)
On lance un dé équilibré à six faces. On considère l’événement A: « obtenir un chiffre pair » et l’évé-
nement B: « obtenir un diviseur de six ». Calculer la probabilité de chacun de ces deux événements.
Le dé est équilibré donc on est dans une situation d’équiprobabilité. On a donc pour 1≤i≤6,p(i) = 1
6.
On a : A={2; 4; 6}et B={1; 2; 3; 6}. Donc p(A) = 3
6=1 2, et p(B) = 4 6=2 3.
Exemple 13 (les boules de couleurs)
Dans une urne on place dix boules de couleurs numérotées. Les boules sont indiscernables au toucher et
sont réparties comme suit :
– quatre boules rouges numérotées 1, 2, 3 et 4 ;
– trois boules blanches numérotées 1, 2 et 3 ;
– deux boules vertes numérotées 1 et 2 ;
– une boule jaune numérotée 1.
On tire au hasard une boule de l’urne. Calculer les probabilités des événements suivants :
–U: « obtenir une boule numérotée 1 » ;
–B: « obtenir une boule blanche » ;
–A: « obtenir un chiffre pair sur une boule rouge » ;
–I: « obtenir un chiffre impair ».
Les boules sont indiscernables au toucher et le tirage se fait au hasard, on est donc dans une situation
d’équiprobabilité : chaque boule a une probabilité p=1
10 d’être tirée. En notant chaque éventualité par
l’initiale de la couleur suivie du chiffre de la boule, on a :
–U={R1; B1; V1; J1}, donc p(U) = 4
10 = 0,4;
–B={B1; B2; B3}, donc p(B) = 3
10 = 0,3;
–A={R2; R4}, donc p(A) = 2
10 = 0,2;
–I={R1; R3; B1; B3; V1; J1}, donc p(I) = 6
10 = 0,6.
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Exemple 14 (le jeu de cartes)
On choisit une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes non truqué. On appelle « figure » les rois,
dames et valets. Calculer les probabilités des événements suivants :
–A: « obtenir une figure » ;
–B: « obtenir un pique » ;
–C: « obtenir un as ».
Le jeu de cartes n’est pas truqué et le choix se fait au hasard, on est donc dans une situation d’équipro-
babilité : chaque carte a une probabilité p=1
52 d’être choisie.
– Dans le jeu il y a 4×3 = 12 figures. Donc p(A) = 12
52 =3 13 .
– Dans le jeu il y a 13 piques. Donc p(B) = 13
52 =1 4.
– Dans le jeu, il y a 4 as. Donc p(C) = 4
52 =1 13 .
Exemple 15 (rencontre)
Dans une classe, 20 % des élèves ont 16 ans, 35 % ont 17 ans, 30 % ont 18 ans et 15 % ont 19 ans.
On rencontre au hasard un élève de cette classe. Calculer la probabilité qu’il ait « au moins 17 ans ».
Même question pour « strictement plus de 17 ans ».
– On note Al’événement l’élève a au moins 17 ans. p(A) = 35% + 30% + 15% = 80%.
– On note Bl’événement l’élève a strictement plus de 17 ans. p(B) = 30% + 15% = 45%.
Exemple 16 (non-équiprobabilité)
Un dé est pipé de sorte que les faces 1, 2, 3, 4 et 5 aient les probabilités suivantes d’apparaître :
p(1) = p(2) = p(3) = 0,1; p(4) = p(5) = 0,2;
1. Calculer p(6).
2. Calculer p(A)et p(B)où Aet Bsont les événements définis dans l’exemple 12.
1. La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1, donc :
p(6) = 1 −(p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)) = 0,3
2. p(A) = p(2) + p(4) + p(6) = 0,6et p(B) = p(1) + p(2) + p(3) + p(6) = 0,6.
Exemple 17
On lance deux dés à six faces non truqués et on note la somme des chiffres obtenus sur la face supérieure
de chacun d’eux. On peut modéliser cette expérience de deux façons différentes (au moins) :
– Quel est l’ensemble des sommes possibles ?
– Représenter cette expérience avec un tableau.
– Si on utilise 3 dés, peut on représenter cette situation avec un tableau ?
– Donner la loi de probabilité.
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