Exercices : Trigonométrie ( directe et réciproque)

Exercices : Trigonom´etrie ( directe et r´eciproque)
Exercice 1
1. Calculer tan(p)−tan(q) en fonction de sin(p−q), cos(p) et cos(q).
2. En d´eduire
n
X
k=1
1
cos(kθ) cos((k+ 1)θ)
CORRECTION INDICATIONS
Exercice 2
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes:
1. (√6 + √2) cos(θ)+(√6−√2) sin(θ) = 2
(indication: calculer cos( π
12 ))
2. sin(7θ)−sin(θ) = sin(3θ)
CORRECTION INDICATIONS
Exercice 3
Utiliser les formules donnant cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x) pour r´esoudre:
1. 4 sin3(x) + sin(3x) = 3
2
2. cos(4x) + 8 cos(x)2−9 = 0
CORRECTION INDICATIONS
Exercice 4
R´esoudre les ´equations:
1. arctan(x) = 2 arctan 1
2
2. arcos(x) = 2arcos 3
4
3. arctan(2x) = 3 arctan(x)
CORRECTION INDICATIONS
Exercice 5
Calculer A= arctan 1
2+ arctan 1 3
CORRECTION INDICATIONS
1

Exercice 6
1. Simplifier, selon les valeurs de x, arctan(x) + arctan 1
x
2. Mˆeme question avec arcos(1 −2x2)
CORRECTION INDICATIONS
2

Indications pour l’exercice 1
1. Mettre tout sous le mˆeme d´enominateur et remarquer une formule de trigo.
2. Utiliser la question pr´ec´edente pour faire apparaitre une somme t´el´escopique.
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Indications pour l’exercice 2
1. Utiliser le cours (transformation de Asin(x) + Bcos(x))
2. Utiliser les formules sin(p)−sin(q)
RETOUR AUX ENONCES
Indications pour l’exercice 3
Utiliser les complexes pour exprimer cos(nx) en fonction de cos(x) et sin(x).
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Indications pour l’exercice 4
Utiliser les techniques vues en cours. Attention ! en composant on a qu’une seule implication, il faut v´erifier
que les solutions trouv´ees conviennent bien.
Cette v´erification peut se faire en rempla¸cant, ou en regardant dans quel intervalle se trouvent les nombres.
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Indications pour l’exercice 5
Composer par tan. Attention `a la logique.
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Indications pour l’exercice 6
1. Cf TD
2. On pourra poser x= sin(u).
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3

Correction de l’exercice 1
1. On a:
tan(p)−tan(q) = sin(p)
cos(p)−sin(q) cos(q)
=sin(p)cos(q)−sin(q)cos(p)
cos(p)cos(q)
=sin(p−q)
cos(p)cos(q)
2. Calculons d’abord les valeurs de θpour lesquelles cette somme n’est pas d´efinie: On doit avoir
∀k∈ {1. . . n}, cos(kθ)cos((k+ 1)θ)6= 0 ⇔ ∀k∈ {1. . . n + 1}, cos(kθ)6= 0
⇔
cos(θ)6= 0
cos(2θ)6= 0
.
.
.
cos((n+ 1)θ)6= 0
⇔
θ6=π
2[π]
θ6=π
4[π 2]
.
.
.
θ6=π
2(n+1) [π
n+1 ]
Ensuite, en faisant p=k+ 1 et q=kdans la formule pr´ec´edente, on a :
tan((k+ 1)θ)−tan(kθ) = sin(θ)
cos(kθ)cos((k+ 1)θ)(1)
1er cas : si sin(θ)6= 0
On peut diviser par sin(θ) dans (1), ce qui permet d’´ecrire:
n
X
k=1
1
cos(kθ) cos((k+ 1)θ)=
n
X
k=1
tan((k+ 1)θ)−tan(kθ)
sin(θ)
=1
sin(θ)
n
X
k=1
tan((k+ 1)θ)−tan(kθ)
=tan((n+ 1)θ)−tan(θ)
sin(θ)(somme t´el´escopique)
2i`eme cas : si sin(θ) = 0
On a alors:
•Soit θ= 0 [2π], et donc ∀k∈ {1, . . . n}cos(kθ) cos((k+ 1)θ) = 1.
Ainsi n
X
k=1
1
cos(kθ) cos((k+ 1)θ)=n
•Soit θ=π[2π], et donc ∀k∈ {1, . . . n}cos(kθ) cos((k+ 1)θ) = −1.
Ainsi n
X
k=1
1
cos(kθ) cos((k+ 1)θ)=−n
4

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Correction de l’exercice 2
1. La forme de l’´equation nous fait penser qu’une transformation de acos(x) + bsin(x) serait judicieuse.
Comme sugg´er´e, on calcule:
cos π
12 = cos π 3−π 4
= cos π
3cos π 4+ sin π 3sin π 4
=√6 + √2
4
On en d´eduit que √6 + √2 = 4cos π
12 et que √6−√2 = 4sin π 12
(√6 + √2)cos(θ)+(√6−√2)sin(θ) = 2 ⇔4cos π
12cos(θ)+4sin π 12sin(θ) = 2
⇔cos π
12cos(θ) + sin π 12sin(θ) = 1 2
⇔cos(θ−π
12) = 1 2
⇔(θ=π
3+π 12 [2π] = 5π 12 [2π]
θ=−π
3+π 12 [2π] = −π 4[2π]
2. On a, d’apr`es une c´el`ebre formule, sin(7θ)−sin(θ) = 2 sin(3θ) cos(4θ)
sin(7θ)−sin(θ) = sin(3θ)⇔2 sin(3θ) cos(4θ) = sin(3θ)
⇔sin(3θ)(1 −2 cos(4θ)) = 0
⇔(sin(3θ) = 0
cos(4θ) = 1
2⇔(θ= 0 [π
3]
θ=±π
12 [π 2]
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Correction de l’exercice 3
1. On peut ´ecrire sin(3x) = Im(e3ix) = Im(eix3) = Im((cos(x) + isin(x))3).
En developpant (cos(x) + isin(x))3avec la formule du binˆome, on trouve sin(3x) = 3sin(x)−4sin3(x).
4 sin3(x) + sin(3x) = 3
2⇔3 sin(x) = 3 2
⇔(x=π
6[2π]
x=π−π
6[2π]
2. En utilisant les nombres complexes, on a: cos(4x) = 8 cos4(x)−8 cos2(x)+1
cos(4x) + 8 cos(x)2−9 = 0 ⇔8cos4(x)−8cos2(x) + 1 + 8 cos(x)2−9 = 0
⇔cos4(x)−1 = 0
⇔
cos(x) = 1
ou
cos(x) = −1
⇔x= 0 [π]
5