Enchaînements d`opérations - Collège Notre-Dame

Enchaînements d’opérations
1. Effectuer une succession d’opérations : règles de priorités opératoires
Dans une expression sans parenthèses, quand il y a uniquement des additions et des soustractions, on
effectue les calculs de gauche à droite.
Dans une expression sans parenthèses, quand il y a uniquement des multiplications et des divisions, on
effectue les calculs de gauche à droite.
ex :
A = 15 - 7 – 6 + 3
A=
–6+3
8
A=
B = 15 : 3 × 4 : 5
2
A=
B=
+3
5
B=
5
×4:5
20
B=
:5
4
Dans une expression sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. On dit
que la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
ex :
C = 34 + 6 × 3
D = 150 : 5 - 2,5 × 4
C = 34 + 18
D = 30
C=
D=
52
–
10
20
Dans une expression avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant
par les parenthèses les plus intérieures.
ex :
E=(2+3):4
E= 5
:4
F = 2 × [ 8 – ( 1,2 + 3,8)]
F=2×[8–
5]
E=
F=2×
1,25
3
F=6
2. Nommer un calcul
Une expression est:
- une somme si la dernière opération à effectuer est une addition;
- une différence si la dernière opération à effectuer est une soustraction;
- un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication;
- un quotient si la dernière opération à effectuer est une division.
ex : l’expression 10 + 3× 7 est une somme
(on effectue en dernier l’addition)
l’expression (18 - 6 ) : 3 est un quotient ( on effectue en dernier la division)
1
La symétrie centrale
1. Reconnaître des figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent en effectuant un demi-tour
autour du point O.
O est le centre de symétrie.
2. Construire le symétrique d’un point
Soit M un point donné,
le symétrique de M par rapport à O est le point M’ tel que O soit le milieu de [MM’].
M’
Remarque : le symétrique de O est O.
M
O
3. Propriétés
Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même longueur.
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles.
Si deux cercles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont le même rayon.
Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure.
2
4. Trouver le centre de symétrie d’une figure.
Si, par symétrie de centre O, le symétrique d’une figure est la figure elle-même, alors O est le centre de
symétrie de cette figure.
Pas de centre de symétrie
un centre de symétrie
Axes et centre de symétrie des figures usuelles
Rectangle
Losange
Carré
 Deux axes de symétrie
 Deux axes de symétrie
 Quatre axes de symétrie
 Un centre de symétrie
 Un centre de symétrie
 Un centre de symétrie
Triangle isocèle
Triangle équilatéral
 Un axe de symétrie
 Trois axes de symétrie
 Pas de centre de symétrie
 Pas de centre de symétrie
cercle
 Une infinité d’axes de
symétrie (toutes les droites
passant par O)
 Un centre de symétrie
3
La proportionnalité
1.
Définition
Deux suites de nombres sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par un
même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
ex :
Masse de fruits ( en kg)
Prix en €
= 1,5
2
3
5
7,5
= 1,5
11
16,5
14
21
× 1,5
= 1,5
= 1,5
Tous les quotients sont égaux donc la masse est proportionnelle au prix.
Le coefficient de proportionnalité est 1,5
2.
Compléter un tableau de proportionnalité
→ en calculant le coefficient de proportionnalité :
Masse de fruits ( en kg)
Prix en €
4
6,4
Calculons la valeur manquante :
6,4 : 4 = 1,6 ( calcul du coefficient de proportionnalité)
3
×
3 × 1,6 = 4,8
3 kg de fruits coûtent 4,8 €.
→ en additionnant ou soustrayant deux colonnes :
Masse de fruits ( en kg)
Prix en €
Calculons la valeur manquante :
4+5=9
6,4 + 8 = 14,4
4
6,4
5
8
9
9 kg de fruits coûtent 14,4 €.
→ en multipliant ou en divisant les deux nombres d’une même colonne par
un même nombre :
:2
×6
Masse de fruits ( en kg)
Prix en €
Calculons les valeurs manquantes :
4:2=2
6,4 : 2 = 3,2
2 kg de fruits coûtent 3,2 €
4
6,4
2
:2
12
×6
2 × 6 = 12
3,2 × 6 = 19,2
12 kg de fruits coûtent 19,2 €
4
3.
Pourcentages :
a. Prendre un pourcentage :
t
100 .
Pour prendre « t % » d’un nombre, on le multiplie par
Exemple : 35% des élèves d’un collège de 560 élèves sont demi-pensionnaires.
Cela veut dire que s’il y avait 100 élèves dans le collège, 35 d’entre eux seraient demi-pensionnaires.
On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
Elèves demi-pensionnaires
35
Total des élèves
100
× 0,35
560
× 5,6
Calcul à effectuer :
35 : 100 × 560 = 0,35 × 560
ou
560 : 100 × 35 = 5,6 × 35
= 196
= 196
Il y a 196 élèves demi-pensionnaires.
b. Calculer un pourcentage :
Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100.
Exemple : Dans une école de 250 élèves, 80 sont demi-pensionnaires :
demi-pensionnaires
80
total
250
100
× 0,32
Calcul à effectuer :
80 : 250 × 100 = 0,32 × 100
= 32
ou
100 : 250 × 80 = 0,4 × 80
= 32
32 % des élèves sont demi-pensionnaires.
5
4.
Échelles :
Sur un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles. On appelle « échelle » le
coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances du plan
(les distances étant exprimées dans la même unité).
a. Utiliser une échelle
1
».
25 000
Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à 25 000 cm ( 250 m ) dans la réalité.
Exemple : sur une carte on peut lire : « réduction à l’échelle
Les longueurs sur la carte sont donc 25 000 fois plus petites que les longueurs réelles.
Distance sur le plan
(en cm)
Distance réelle
(en cm)
: 25 000
1
40
25 000
× 25 000
16 000
Calculs à effectuer :
16 000 : 25000 = 0,64 cm
40 × 25 000 = 1 000 000 cm
= 6,4 mm
= 10 km
b. Calculer une échelle
Une distance réelle de 8 km est représentée par une distance de 2 cm sur une carte.
Quelle est l’échelle de cette carte ?
Distance sur la carte (en cm)
Distance réelle (en cm)
2
800 000
1
Le plus souvent, cela revient à se demander, quelle est la distance réelle dans l’unité choisie pour une
distance de 1 sur la carte (dans la même unité).
800 000 : 2 = 400 000
Les longueurs réelles sont 400 000 fois plus grandes que les longueurs de la carte .
L’échelle de la carte est donc 1/400 000
6
Prisme droit et cylindre de révolution
1. Caractériser un prisme droit et le représenter en perspective
Un prisme droit est un solide qui a :
-
deux faces polygonales, parallèles et superposables : les bases ;
-
les autres faces sont des rectangles perpendiculaires aux bases : les faces latérales.
La longueur d’une arête reliant les deux bases est la hauteur du prisme.
base
base
hauteur
hauteur
Face latérale
Face latérale
Remarque : un pavé droit est un prisme droit particulier.
2. Caractériser un cylindre de révolution et le représenter en perspective
Un cylindre de révolution est un solide qui a :
-
deux faces parallèles, superposables qui sont des disques : ce sont les bases ;
-
une surface latérale dont le patron est un rectangle.
hauteur
hauteur
base
7
3. Réaliser un patron de prisme droit et de cylindre de révolution
périmètre du cercle :
ou
× diamètre
2 × × rayon
8
Nombres en écriture fractionnaire
I- Vocabulaire
Numérateur
Lorsque a et b sont des nombres entiers (b ≠ O),
a
b
cette écriture s’appelle une fraction.
Dénominateur
Exemple :
On dit que
3
2
est une fraction.
3
est le quotient de 3 par 2.
2
3
=
2
Ecriture fractionnaire
3: 2
=
Ecriture en ligne
1,5
Ecriture décimale
c’est toujours une valeur
exacte
3
3
est le nombre qui, multiplié par 2, donne 3, c’est-à-dire : × 2 = 3
2
2
Une écriture fractionnaire peut être l’écriture :
- d’un nombre entier :
- d’un nombre décimal :
- d’un nombre qui n’est pas
décimal :
=4
=9
= 0,25
= 3,7
≈ 0.33
≈ 1,71
II- Multiple et diviseur- exemple
72
= 72 : 6 = 12
6
12 est un nombre entier
alors on dit que :
81
= 81 : 6 = 13,5
6
13,5 n’est pas un nombre entier
Donc 81 n’est pas divisible par 6.
 72 est un multiple de 6 (72 = 12 × 6)
 6 est un diviseur de 72 ;
 72 est divisible par 6.
9
Critères de divisibilité- Rappels
Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (c’est-à-dire s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8).
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
III-
Egalité de deux quotients
On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par un
même nombre (non nul).
Exemples
2
1) Ecrire avec un dénominateur égal à 12 :
3
2) Ecrire
3)
9
avec un dénominateur égal à 4 :
12
3,1 3,1 × 10 31
=
=
4
4 × 10
40
2 2×4
8
=
=
3 3 × 4 12
9
9÷3
3
=
=
12
12 ÷ 3
4
(on a simplifié par 3)
On peut transformer toute écriture fractionnaire en fraction.
Simplifier une fraction c’est écrire une fraction qui a la même valeur, mais avec un numérateur et un
dénominateur plus petits.
Exemples :
15 3  5 3
1)
=
=
25 5  5 5
2)
On a divisé le numérateur et le dénominateur par 5,
donc on dit qu’on a simplifié par 5.
360
9 × 4 × 10 4
=
=
270
3 × 9 × 10 3
On a simplifié par 9 et par 10.
Lorsqu’on ne peut pas simplifier une fraction, on dit que la fraction est irréductible.
Exemple :
3 4
et sont des fractions irréductibles.
5 3
10
IV-Division de deux nombres décimaux
Pour diviser deux nombres décimaux, on se ramène à une division par un nombre entier en multipliant le
dividende et le diviseur par 10 ou 100 ou 1 000 …
Exemple :
3,6 ÷ 2,25 =
3,6
3,6 × 100
360
=
=
2,25 2,25 × 100
225
3
- 2
1
- 1
6
2
3
3
0, 0
5
5 0
5 0
0
2 2 5
1, 6
V- Notion de proportion
Exemple :
2
Les des élèves du collège Camille Claudel sont externes.
5
2
On dit que la proportion d’élèves externes est .
5
Collège Camille Claudel
2
40
=
= 40 %
5
100
Cela signifie, que sur 5 élèves du collège, 2 sont externes.
VI- Comparaison de nombres en écriture fractionnaire
a-
Si les dénominateurs sont les mêmes
Si des nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur
<
ex :
alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur.
b-
car
3,1 < 3,01
Si l’un des dénominateurs est multiple de l’autre
On commence par écrire les nombres avec le même dénominateur.
ex :
>
car
=
c- Si les numérateurs sont les mêmes
Si des nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur
ex :
<
alors le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur.
d- Comparaison à 1
• Si le numérateur est plus petit que le dénominateur,
ex :
alors le nombre est plus petit que 1.
car
• Si le numérateur est plus grand que le dénominateur,
<
< 1 et
>
1
alors le nombre est plus grand que 1.
e- On effectue les divisions
≈ 0,82
≈ 0,76
donc
>
11
Les angles
II- Propriétés
a- pour calculer des angles
I- Vocabulaire
Deux angles sont adjacents lorsque :
 ils ont le même sommet ;
 ils ont un côté commun ;
ils sont de part et d’autre de ce côté commun.
• Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
• Si des angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles,
alors ils ont la même mesure.
Deux angles sont complémentaires lorsque
leur somme est égale à 90°.
(d)
(d’)
(Δ)
Deux angles sont supplémentaires lorsque
leur somme est égale à 180°.
• Si des angles correspondants sont formés par des droites parallèles,
alors ils ont la même mesure.
Deux angles sont opposés par le sommet
lorsque :
 ils ont le même sommet ;
 les côtés sont dans le prolongement l’un de
l’autre.
Deux angles sont alternes-internes lorsqu’ils
sont situés :
 de part et d’autre de la sécante (la droite
 );
 entre les droites ( d ) et ( d ' ).
Deux angles sont correspondants lorsqu’ils
sont situés :
 d’un même côté de la sécante (la droite  );
 l’un entre les droites ( d ) et ( d ' ), l’autre
pas.
(Δ)
(d)
(d’)
b- pour montrer que des droites sont parallèles
• Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de
même mesure, alors ces droites sont parallèles.
• Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de
même mesure, alors ces droites sont parallèles.
12
Les nombres relatifs
I - Définition :
Exemple : l’ascenseur
2ème étage
1er étage
rez-de-chaussée
1er sous-sol
2ème sous-sol
+2
+1
0
-1
-2
 Un nombre positif est un nombre plus grand que 0. : 3 ; 7,2 ; +5
 Un nombre négatif est un nombre plus petit que 0. : -5 ; -2 ; -5,3
 0 est à la fois positif et négatif.
Tous ces nombres sont appelés nombres relatifs.
II - Repérage des points sur une droite :
B
O
I
0
1
A
2
Pour graduer une droite, on choisit :
 un sens (souvent le sens de l’écriture) ;
 une origine : O ;
 une unité : OI = 1.
Chaque point d’une droite graduée peut être représenté par un nombre : son abscisse.
Exemples : l’abscisse du point A est + 4.
On note A ( + 4)
l’abscisse du point B est - 2.
On note B ( - 2)
Vocabulaire :
-5
-4
-3
-2
-1
la distance à zéro de -5
est 5
0
1
2
3
la distance à
zéro de 3 est 3
Un nombre relatif est déterminé par :
 son signe (- ou +) ;
 sa distance à zéro.
Deux points symétriques par rapport à l’origine ont des abscisses opposées.
L’opposé de + 5 est - 5.
L’opposé de - 6,2 est + 6,2.
13
III - Comparaison de deux nombres relatifs :
Pour comparer deux nombres relatifs, il y a trois cas possibles :
 1er cas : les deux nombres sont positifs. On sait déjà les comparer.
ex :
6,3 > 6,17
;
+25 > +8
 2ème cas : l’un est positif, l’autre est négatif.
Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif.
ex :
-3 < 7
;
0 >-4
;
+ 0,5 > - 14
 3ème cas : les deux nombres sont négatifs.
Le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro.
ex :
-6<-4
;
- 7 > -10
;
-5,3 < -5,15
IV- Repérage d’un point dans le plan :
Deux droites graduées perpendiculaires et de même origine O forment un repère du plan.
Chaque point peut être repéré par deux nombres appelés les coordonnées du point :
 le premier nombre, lu sur l’axe horizontal (Ox), s’appelle l’abscisse ;
 le deuxième nombre, lu sur l’axe vertical (Oy), s’appelle l’ordonnée.
axe des
ordonnées
A
(+2)
B
(+1)
axe des
(-5)
(-4)
(-3)
(- 2)
(-1)
0
(+1)
(+2)
(+3)
(+4)
(+5)
abscisses
(-1)
D
(-2)
C
Exemple :
A est le point d’abscisse (+3) (on lit la graduation sur l’axe des abscisses) et d’ordonnée (+2).
On écrit A(+3 ; +2).
De la même manière, on a : B(- 5 ; +1)
Exercice :
C(+5 ; - 3)
D(- 2 ; - 2)
Place les points S(- 4 ; -1) ; T(-3 ; 3) ; U(3,5 ; -2) ; V(0 ; -2) et W(-2 ; 0).
14
Statistiques
I-
Vocabulaire
Lorsque l’on mène une enquête, on s’intéresse à une population d’individus.
Ex : élèves d’une classe, pays de l’union européenne animaux d’une région …)
On en étudie une propriété commune appelée un caractère.
Ex : taille des élèves, langue officielle des pays de l’union européenne, régime alimentaire des animaux)
Un caractère peut prendre plusieurs valeurs.
II-
Effectifs- Fréquences
L’effectif d’une valeur dans une série statistique est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
La somme des effectifs est l’effectif total.
La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total.
Fréquence d’une valeur =
ex : Voici les notes obtenues par les élèves de la classe d’Elise lors d’un devoir (note sur 10)
6 ; 7 ; 2 4 ; 7 ; 4 ; 10 ; 7 ; 4 ; 4 ; 10 ; 2 ; 5 ; 5 ; 4 ; 6 ; 6 ; 7 ; 6 ; 7
Ces notes constituent un relevé statistique.
La population est : les élèves de la classe
Le caractère étudié est les notes obtenues au devoir
Les valeurs du caractère sont 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 10
Note
Effectif
Fréquence
(sous forme de
fraction)
Fréquence (en
valeur
décimale)
Fréquence (en
%)
2
2
4
5
5
2
6
4
7
5
10
2
total
20
0,1
0,25
0,1
0,2
0,25
0,1
1
10
25
10
20
25
10
100
Remarque : la somme des fréquences dans une série statistique vaut toujours 1 ou 100%
15
Représentation d’une série statistique
III-
a) Diagramme en bâtons
effectifs ayant obtenus une note donnée
6
5
4
3
effectifs
2
1
0
2
4
5
6
7
10
b) Diagrammes circulaires, semi-circulaires, en tuyaux d’orgue, en bandes
Lors d’une enquête menée auprès d’élèves de 5e, la question suivante a été posée :
« Que buvez-vous le plus ? ». Voici les résultats de l’enquête :
Boissons
Effectif
Angles
Jus de
fruits
24
77°
Soda
Lait
Eau
autres
Total
38
122°
13
42°
31
100°
6
19°
112
360°
Calcul des angles :
360 : 112 × 24 ≈ 77
Diagramme en tuyaux d’orgues
360 : 112 × 38 ≈ 122
Diagramme circulaire
40
jus de fruits
30
soda
20
lait
10
eau
0
autres
jus de soda lait
fruits
ue
eau autres
Diagramme en bandes
Dans un diagramme en tuyaux d’orgue, la hauteur des barres est proportionnelle à l’effectif.
Dans un diagramme en bandes, la longueur des rectangles est proportionnelle à l’effectif.
Dans un diagramme circulaire ou semi- circulaire, la mesure des angles est proportionnelle à l’effectif.
16
Regroupements en classes – Histogrammes
IV-
Lorsque les données d’une série statistique sont trop nombreuses, on les regroupe en classes pour faciliter
leur lecture.
ex : voici les tailles en centimètres de quelques joueurs de volley-ball :
194 195 188 194 190 185 193 198 189 200 187 190 192 192 191 190 195
197 186 189 194 194 200 196 192 185 182 195 195 195 191 190 191 185
198 189 195 191 200 188 190 198 195 195 185 190 190 190
Ces tailles étant nombreuses et diverses, il est préférable de les regrouper par classes de
même amplitude, ici 3 cm.
Taille t (en cm)
Effectif
182 ≤ t < 185
1
Taille t (en cm)
Effectif
185 ≤ t < 188
6
194 ≤ t < 197
13
188 ≤ t < 191
13
197 ≤ t < 200
4
191 ≤ t < 194
8
200 ≤ t < 203
3
Effectif
14
12
182 ≤ t < 185
10
185 ≤ t < 188
188 ≤ t < 191
8
191 ≤ t < 194
194 ≤ t < 197
6
197 ≤ t < 200
4
200 ≤ t < 203
2
0
182
185
188 Taille
191
194
t (en cm)
197
200
203
taille en cm
Addition et soustraction de nombres relatifs
I – Addition de relatifs :
1) Pour additionner deux nombres de même signe :
 on écrit le signe commun aux deux nombres ;
 on ajoute les distances à zéro.
Exemples :
(+3,6) + (+6,4)  10
(-7,2) + (- 8,6)  ( -15,8)
2) Pour additionner deux nombres de signes contraires :
 on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
 on soustrait les distances à zéro.
Exemples :
(+ 26) + (- 39)  (- 13)
(+7,7) + (- 6,6)  1,1
3) Addition de deux nombres opposés :
Exemple :
(+ 7 ) + (- 7)  0
4) Addition de plusieurs nombres relatifs :
Il y a 2 méthodes :
On peut calculer les nombres par deux en partant de On peut regrouper tous les positifs d’abord puis tous
la gauche comme ci-dessous :
les négatifs :
A= (+3) + (-5) + (- 4) + (+9)
A= (+3) + (-5) + (- 4) + (+9)
A=
A = (+3) + (+9) + (-5) + (-4)
( - 2) + ( - 4) + ( + 9)
A=
A=
(-6)
+ ( + 9)
3
A=
A=
( + 12) +
( - 9)
3
II – Soustraction de deux nombres relatifs :
Méthode :
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Exemple :
(+3) - (+ 9)  (+3) + ( - 9 )  ( - 6)
(+5) - (- 9)  ( + 5) + ( + 9) = (+ 14)
(- 9) - (- 12)  ( - 9) + ( + 12) = ( + 3)
18
III- Simplifications et calculs d’une suite d’additions et de soustractions
Règles de simplifications :
On simplifie l’écriture d’une addition de deux nombres relatifs en
supprimant le signe d’addition, toutes les parenthèses et éventuellement
le signe du premier nombre s’il est positif:
(+3) + (+5)  3 + 5.
(-3) + (-7) = - 3 - 7
(-5) + (+2) = - 5 + 2
Exemple :
E = (+2) + (+6) + (-5) - (- 6) - (+7) + (- 8)
E = ( + 2) + ( + 6) + ( - 5 ) + ( + 6 )+ ( - 7) + ( - 8) On transforme en une addition des opposés
E 2+6–5+6–7–8
Première méthode :
On supprime les parenthèses et les signes d’additions
on calcule de gauche à droite.
E  2
6- 5 + 6 - 7 - 8
E=
8
5
E=
3
E=
+6–7 – 8
– 7 – 8
E=
2
E=
d’abord puis les négatifs
+ 6 - 7 - 8
9
–
Deuxième méthode : on regroupe les positifs
E2+6-5+6-7-8
E=2+6+6 –5–7–8
E=
14
– 20
E= -6
8
-6
III. Distance sur une droite graduée :
Définition :
Soient deux points A et B d’abscisses respectives xA et xB.
Si xA > xB alors AB = xA – xB.
Si xA < xB alors AB = xB – xA.
Remarques :
1° La distance s’obtient en calculant la différence des abscisses dans le « bon ordre » :
« l’abscisse la plus grande » – « l’abscisse la plus petite »
2° Une distance est toujours positive.
Exemple :
Sur une droite graduée, on considère les points A(- 4), B(- 3), C( 1,5 ), D( 3,5 )
AB = - 3 – ( - 4 )
BC = 1,5 – ( - 3)
CD = 3,5 – 1,5
AD = 3,5 – ( - 4)
AB = 1
BC = 4,5
CD = 2
AD = 7,5
19
Les parallélogrammes
I- Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles
A
B
Les côtés [AB] et [CD] sont parallèles
B
Les côtés [AD] et [CB] sont parallèles
D
II -
C
Propriétés
A
B
O
Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors il a un centre de symétrie.
D
C
O est le centre de symétrie
E
Si un quadrilatère est un parallélogramme
F
O
alors ses diagonales ont le même milieu.
H
O milieu de [EG]
G
O milieu de [HF]
Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors les angles opposés ont la même mesure.
III-
Comment reconnaître un parallélogramme ?
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un
parallélogramme.
20
Calcul littéral
I- Le calcul littéral
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont
désignés par des lettres.
exemples :
 le périmètre d’un rectangle est : (L + l) × 2
 le périmètre du cercle est : π × d
Remarque : Dans l’expression 5  x  6  x  4 , la lettre x désigne le même nombre.
II- Ecrire « en fonction de »
Ecrire un résultat en fonction de x, c’est trouver une expression où apparaît x.
exemple 1:
Ecrire la longueur AB en fonction de x :
|
|
|
A
B
|
|
x
AB = 20 - 3× x
20
exemple 2 : J’ai choisi un nombre x. Je l’ai multiplié par 5, puis j’ai ajouté 7.
Ecrire le résultat en fonction de x : 5 × x + 7
III- Conventions d’écritures
Afin d'alléger les écritures, on convient des règles suivantes :
Le signe de la multiplication  disparaît:
- entre deux lettres : a  b = ab
- entre un nombre et une lettre : 3  a ou
a  3 s'écrit
3a
- entre un nombre et une parenthèse : 4  ( 2x + 1) = 4( 2x + 1)
Attention : On ne supprime pas le signe entre deux nombres sinon : 4  35 se lirait 435 !!!
Les facteurs s'écrivent dans l'ordre suivant :
1) Les nombres
exemples :
2) Les lettres et dans l'ordre alphabétique
a  2  b = 2ab
a(x+2)4b =
3) Les parenthèses.
4ab ( x +2)
21
IV- Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction
“PRODUIT”
“SOMME”
“SOMME”
“PRODUIT”
k(a+b) =k× (a+b)

k×a+k×b =k(a+b)
k(a-b) =k× a–k×b

k×a–k×b =k(a-b)
Je développe
Je factorise
On dit que la multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction
exemple 1: Développer A , B et C :
A = 12 × 36
B = 98  47
C = 4 × ( x + 5)
A = 10 × 36 + 2 × 36
B = 100 × 47 – 2 × 47
C=4×x+4×5
A = 360 + 72
B = 4 700 - 94
C = 4x + 20
A = 432
B = 4 606
exemple 2:
Factoriser D , E et F :
D = 2,8  10 + 3,2  10
E = 8  120 – 20  8
F = 11 × a – 11× 7
D = 10 × ( 2,8 + 3,2 )
E = 8 × (120 – 20)
F = 11 × ( a – 7 )
D = 10 × 6
E = 8 × 100
D = 60
E = 800
G = 4x + 6x + x - 2x
G = ( 4 + 6 + 1 - 2) × x
G=
On dit que l’on réduit l’expression
9x
exemple 3:
Réduire les expressions :
2a + 3a = 5a
14y – 2y = 12y
- 8b – 2,5 + 3b + 3,5 = - 5b + 1
3y – 5 x + 6 – y + 6 x +12 = 2y + x +18
22
Les triangles
I- Inégalité triangulaire:
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés
A
Dans le triangle ABC, on a : AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AB + AC
B
Si le point B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC
A
B
C
C
Si A, B et C sont trois points tels que AB + BC = AC
alors le point B appartient au segment [AC] (les 3 points sont alignés
Remarque : Pour savoir si un triangle est constructible, il suffit de regarder si le plus grand des côtés
est inférieur à la somme des 2 autres.
Ex : Peut-on construire ABC avec AB = 6 cm ; AC = 3 cm et BC = 2 cm ?
AC + BC = 3 + 2
On a AC + BC < AB
AC + BC = 5
donc le triangle ABC n’est pas constructible.
II- Somme des angles dans un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°
B
+
+
= 180°
A
C
23
III-
Angles dans les triangles particuliers
• Triangle rectangle
Si un triangle est rectangle,
alors la somme des mesures de ses angles aigus est égale à 90°
B
Le triangle ABC est rectangle en A
donc :
+
= 90°
A
C
• Triangle isocèle
Si un triangle est isocèle alors il a deux angles de même mesure.
H
K
PHK est isocèle en P donc :
=
P
• Triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral alors chacun des ses angles mesure 60°.
R
RST est équilatéral donc :
=
T
=
= 60°
S
24
Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire
I-
Addition et soustraction
a- Si les dénominateurs sont les mêmes
-
On ajoute ou on soustrait les numérateurs
-
On garde le dénominateur commun
Ex :
=
+
-
=
b- Si les dénominateurs sont différents
On commence par écrire les nombres avec le même dénominateur.
On applique la règle précédente.
Ex :
A=
+
B=2-
A=
+
B
A
II-
=
=
-
B=
Multiplication
On multiplie les numérateurs entre eux et on multiplie les dénominateurs entre
eux .
Ex :
C=
C=
×
D=3
×
D=
Remarque : lorsque c’est possible, penser à simplifier avant de calculer.
E=
× ×
E=
=
25
Droites remarquables dans un triangle
I- Les hauteurs
a) Définition
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au
côté opposé à ce sommet.
b) Propriété des 3 hauteurs d’un triangle
Dans un triangle, les 3 hauteurs sont concourantes. (elles se coupent en un même point,
l’orthocentre)
II-
Les médiatrices
a) Définition
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire
à ce segment.
Construction :
26
b) Propriétés
Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance de ses extrémités.
Si
alors
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce
segment.
Si
alors
Application : construction de la médiatrice au compas
Dans un triangle, les 3 médiatrices sont concourantes.
Ce point est le centre d’un cercle passant par les 3 sommets du triangle.
Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
27
III-
Les médianes
a) Définition
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
K
G
E
b) Propriétés des 3 médianes d’un triangle
Dans un triangle, les 3 médianes sont concourantes.
IV-
Les bissectrices
Définition
La bissectrice d’un angle est la droite qui passe par son sommet et qui le partage l’angle en deux
angles adjacents de même mesure.
Méthode de construction au compas :
fig 1: avec le compas pointé en O (le rayon est quelconque) tracez un arc de cercle qui coupe les côtés en A et B.
fig 2: avec le compas pointé en A (le rayon est quelconque, pas forcément égal au premier) tracez un arc dans
l'intérieur de l'angle.
fig 3: avec le compas pointé en B et le même rayon que ci-dessus, tracez un arc qui coupe l'arc de la figure 2 au
point E.
fig 4: La droite (OE) est la bissectrice demandée.
Les aires
I- Mesures d’aires (révisions)
On mesure les aires en mètres carrés.
Un mètre carré est l’aire d’un carré dont le côté mesure un mètre.
1 m² = 100 dm² (10 dm  10 dm).
Tableau de conversion des unités d’aires :
km²
hm²
ha
dam²
m²
a
Mesures agraires : 1 hectare = 1 ha = 1hm²
dm²
cm²
mm²
ca
1 are = 1 a = 1dam²
1 centiare = 1 ca = 1 m²
II-
Aire d’un triangle
Pour calculer l’aire d’un triangle, on multiplie un côté par sa hauteur correspondante et on divise
par 2 :
h
Aire =
A=ch
2
c
I
Ex :
H
H
2,1 cm
2,8 cm
2,4 cm
L
3 cm
3,5 cm
2,8 cm
T
2,4 cm
R
O
5,3 cm
E
A =
A =
A =
A =
A = 3,36
A =3,36
29
L’aire des triangles LIO et RTE est de 3,36 cm².
III-
Aire d’un disque
L’aire d’un disque de rayon R est égale à :
R
A=π×R×R
π ≈ 3.14
ex : Aire d’un disque de diamètre 6 cm.
A=π×3×3
A=π×9
A ≈ 28,27
IV-
L’aire d’un disque de diamètre 6 cm est d’environ 28,27 cm²
Aire d’un parallélogramme
Aire d’un parallélogramme :
hauteur
A = côté × hauteur
côté
30
Les parallélogrammes particuliers
I-
Le rectangle :
A
Propriétés :
B
- Le rectangle est un parallélogramme particulier donc
il en a toutes les propriétés.
- Le rectangle a 4 angles droits.
C
D
- Les diagonales du rectangle ont même longueur.
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle ?
 Si un quadrilatère a 3 angles droits
alors c’est un rectangle.
 Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu
alors c’est un rectangle.
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un rectangle ?
 Si un parallélogramme a un angle droit
alors c’est un rectangle.
 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur
alors c’est un rectangle.
II- Le losange : A
Propriétés :
- Le losange est un parallélogramme particulier donc il
D
B
en a toutes les propriétés.
- Le losange a 4 côtés de même longueur.
- Le losange a ses diagonales perpendiculaires.
C
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange ?
 Si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur
alors c’est un losange.
 Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu
alors c’est un losange
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un losange ?
 Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur
alors c’est un losange.
 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires
alors c’est un losange.
31
III- Le carré :
A
B
C
D
Propriétés :
- Le carré est un parallélogramme particulier donc il en a toutes les propriétés.
- Le carré est un losange particulier donc il en a toutes les propriétés.
- Le carré est un rectangle particulier donc il en a toutes les propriétés.
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré ?
 Si un quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle
alors c’est un carré.
 Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu
alors c’est un carré.
32
Les volumes
I-
Unités de volumes
On mesure les volumes en mètres cubes .
Un mètre cube est le volume d’un cube dont le côté mesure un mètre.
1 m3 = 1 000 dm3 (10 dm  10 dm  10 dm).
Tableau de conversion des unités de volumes et de capacités
km
3
hm3
dam3
m3
hL
1 L = 1 dm3
2.
dm3
daL
L
dL
cm3
cL mL
mm3
1 m3 = 1 000 L
Calculer le volume d’un prisme droit et d’un cylindre de révolution
Volume = aire de la base × hauteur
1.
6 cm
2 cm
2.= 3 × 25: cm
V
2×6
3 cm
V=3×6
7 cm
V = 18
3 cm
3.
le prisme droit a un volume de 18 cm3.
4 cm
4.
5lecm
En3 particulier,
volume du cylindre est :
cm
V=
7 cm
5.
5 cm
2
cm
7 cm
5 cm
6 cm
8 cm
10
× rayon × cm
rayon × hauteur
4 cm
V=
6.
4 cm
V=
9 cm
×2×2×9
× 36
V ≈ 113, 1
Le cylindre a un volume de 113,1 cm3.
33