Chapitre 3 : Primitives TES I. Notion de primitive f est une fonction définie sur un intervalle I , une primitive de f sur I est une fonction et telle que pour tout x ∈ I , F dérivable sur I F’(x) = f (x) . Ex : les fonctions définies sur R par F(x) = 3x – 1 et G(x) = 3x + la fonction définie sur R par F(x) = 1 sont des primitives de la fonction f définie sur R par f(x) = 3. 10 5 x² est une primitive de la fonction f définie sur R par f (x) = 5x. 2 Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I . ( admis ) Propriétés : • si F et G sont des primitives respectives, sur un intervalle I, des fonctions f et g. alors ( F + G ) est une primitive sur I de ( f + g ). • si F est une primitive de f sur un intervalle I et si k est une constante réelle fixée, alors k.F est une primitive sur I de k.f II. Ensemble des primitives d’une fonction 1. si F est une primitive de f sur I, alors toutes les fonctions x ֏ F(x) + k, où k ∈ R, sont des primitives de f sur I 2. si F et G sont deux primitives de f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout x de I , G(x) = F(x) + k. deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante preuve : Ex : f est la fonction définie sur R par f(x) = 2x + 3 , une primitive de f sur R est la fonction F, définie par F(x) = toute primitive de f sur R est une fonction G telle que : G(x) = III. Primitive prenant une valeur donnée en un point donné Théorème : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I , soit x0 un réel appartenant à I et y0 un réel quelconque, il existe une primitive G et une seule de f telle que G(x0) = y0. preuve : Ex : f est la fonction définie sur R par f(x) = 2x + 3 , donner la primitive G de f sur R telle que G(-1) = 0 IV. Primitives de fonctions usuelles on obtient des primitives de fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées , dans les tableaux suivants, k désigne un réel quelconque. Fonction f f (x) = a où a est une constante f (x) = x Primitives F de f sur I F(x) = a x + k I=R 1 F(x) = x 2 + k 2 I=R x n +1 +k n +1 I=R f (x) = xn F(x) = (n ∈ N ) * 1 xn (n ∈ N* et n ≠ 1) f (x) = f (x) = 1 x −1 1 × n −1 + k F(x)= n −1 x I = ] 0 ; +∞ [ ou I = ] −∞ ; 0 [ F(x) = 2 x + k I = ] 0 ; +∞ [ V. Formules de primitives u et v sont des fonctions dérivables sur l’intervalle I , λ est une constante réelle , u’ et v’ sont les fonctions dérivées respectives de u et v. Fonction λ.u’ u’ + v’ u.u’ un.u’ u' u2 u' u (v’ o u)×u’ une primitive sur I λ.u u+v 1 2 u 2 1 n +1 u n +1 −1 u 2 u vou Ex : cherchons les primitives sur ]0 ; +∞[ de la fonction f définie par f (x) = – 1 + x². 8x 3 f est continue sur ]0 ; +∞[, elle admet donc des primitives sur ]0 ; +∞[. 1 1 1 1 1 1 1 une primitive de la fonction x ֏ – 3 = – × 3 = – × x –3 est – × × x –2 = . 8x 8 x 8 8 −3 + 1 16x 2 1 1 3 une primitive de x ֏ x² est x3 = x. 2 +1 3 1 1 3 la fonction f admet donc pour primitives les fonctions F définies par : F(x) = + x + k (k∈R). 2 16x 3 • Cherchons les primitives sur ]-1 ; 1[ de la fonction f définie par f (x) = 2x (x 2 − 1) 2 f est continue sur ]-1 ; 1[ (fonction rationnelle), elle admet donc des primitives sur ]-1 ; 1[. 1 u’ avec u(x) = x² – 1. La fonction f admet donc comme primitives sur ]-1 ; 1[ les fonctions F(x) = – 2 + k où k ∈ R. f est de la forme u² x −1 VI. Fonctions coût on considère une entreprise produisant au cours d’une période une quantité q d’un certain produit , le coût total d’une quantité q est alors exprimé par une fonction C(q) , cette fonction est appelée fonction coût total elle est positive et croissante. le coût fixe est C(0), tandis que le coût variable est alors C(q) – C(0). le coût moyen unitaire est alors défini par CM(q) = C(q) q On appelle coût marginal de q, le coût de fabrication du (q + 1)ième produit , on le note Cm(q) et on admet que Cm(q) = C’(q). ainsi le coût total C est une primitive du coût marginal Cm. Exemple : Une entreprise qui fabrique des objets estime que le coût total, en milliers d’euros, de production de x tonnes d’objets s’exprime, en fonction de x, par : C(x) = x3 – 12x2 + 60x. 1. Etudier les variations de la fonction x ֏ C(x) sur [0 ; +∞[. Le coût moyen de fabrication est donné par CM(x) = C(x) x (pour x > 0) 2. Quel est le coût moyen de fabrication de 500 kg ? 3. Exprimer CM(x) en fonction de x, puis étudier les variations de la fonction x ֏ CM(x) sur [0 ; +∞[. 4. Tracer la représentation graphique (G) de la fonction x ֏ CM(x) dans un repère orthogonal (O ; i , j ). (en abscisse : 1 cm pour 1 tonne ; en ordonnée : 1 cm pour 10 000 euros) On note Cm(x) le coût marginal de x, et on admet que Cm(x) = C’(x). 5. a) Etudier les variations de la fonction x ֏ Cm(x) sur [0 ; +∞[. b) Tracer la représentation graphique (H) de cette fonction sur le même graphique que (G). 6. a) Déterminer l’abscisse α du point d’intersection des courbes (G) et (H). b) Que représente CM(α) pour la fonction x ֏ CM(x) ? 7. L’entreprise vend sa production 60 000 euros la tonne. On note B(x) le bénéfice réalisé pour la vente de x tonnes. a) Vérifier que B(x) = –x3 + 12x2. b) Etudier les variations de la fonction x ֏ B(x). c) Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximal ? Vérifier alors que, pour cette valeur de x, le coût marginal est égal au prix de vente unitaire. (H) (G) j O i 6 INTRODUCTION sur la quadrillage sont tracées les courbes C f et Cg représentatives de deux fonctions f et g définies sur l’intervalle ] 0 ; + ∞[ , à l’aide du graphique répondre aux questions suivantes : 1 1 1 1. Quelles sont les images par f et par g de , , , 1 , 2 , 22 et 23 ? 8 4 2 2. Vérifier pour différentes valeurs de a et b que les fonctions f et g ont la même propriété f ( ab) = f ( a ) + f (b) et 3. 4. Calculer f (16) et g (32). Vérifier qu’il existe un réel λ tel que g= g (ab) = g (a ) + g (b) . λ f. TRANSFORMER DES PRODUITS EN SOMME Il s'agit d’étudier les caractéristiques éventuelles d’une fonction f transformant le produit en somme c'est-à-dire, pour autant que ces symboles aient un sens une fonction f, telle que: f ( ab) = f ( a ) + f (b) . (1) 1. 2. Montrer que, si f est une fonction ayant la propriété (1), alors pour tout réel λ ≠ 0 , λ f a aussi la propriété (1). Montrer que, si f est une fonction ayant la propriété (1), alors, si f n'est pas nulle elle ne peut être définie en 0. Ainsi si f est une fonction non nulle telle que: f (ab) = f (a ) + f (b) , f ne peut être définie en 0. f (ab) = f (a ) + f (b) . 1. On cherche à déterminer une fonction définie et dérivable pour tout élément de ] 0 ; + ∞[ et telle que Quelle égalité obtient-on lorsque a = b =1 ? En déduire la valeur de f (1). 2. Supposons a fixé et considérons la fonction ga définie par ga (x) = f (ax). Calculer g’a et en déduire en prenant x = 1 que Cette égalité est vraie pour tout x > 0 et en posant f’(1) = k , on obtient f '(x) = f '(1) a k . x ainsi la fonction f est, sur ] 0 ; + ∞ [ la primitive qui s’annule pour x = 1 de la fonction x 3. f '(a ) = ֏ k x Réciproquement k étant un réel fixé, supposons que f soit, sur ] 0 ; + ∞ [ la primitive qui s’annule en 1 de la fonction : x֏ k . x x ֏ f (x) et x ֏ f (a.x) ont des dérivées égales. b. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout x > 0 , on ait f ( a.x) = f (x) + C c. Montrer alors f ( a.x) = f ( a ) + f (x) . a. Montrer que les fonctions Cg Cf