Applications et fonctions

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Applications et fonctions
I) Généralités
1) Application , fonction, domaine de définition
2) Notation “standard”
3) Ensemble des applications de E dans F
4) Image, antécédent
5) Représentation graphique
6) Composition des applications
7) Application identité
8) Restriction d’une application à une partie
9) Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble
II) Image directe ou réciproque d’une partie par une fonction
1) Définitions
2) Schémas
3) Propriétés
4) Exemples
III) Application injective, surjective
1) Définitions
2) Démontrer qu’une application est ou non injective ou surjective
3) Exemples
4) Propriétés
5) Etude de réciproques
6) Exercice
IV) Application bijective
1) Application bijective, bijection réciproque
2) Exemples
3) Rapport entre injection, surjection et bijection
4) Composée de deux bijections
5) Exercice
6) Propriétés de la bijection réciproque
7) Fonction inversible
Dans ce chapitre, on reprend et on approfondit le chapitre 4, intitulé “Fonction réciproque”
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I) Généralités
1) Application , fonction, domaine de définition
On précise la nuance qu’il y a entre les termes “application” et “fonction”. Il y a souvent confusion entre ces deux termes, dans
ce cours comme ailleurs. Le plus souvent en algèbre, on utilise le terme “application” et en analyse on emploie le terme
“fonction”.
Comme ce cours est un cours d’algèbre, c’est le plus souvent le terme “application” qui sera utilisé.
Une application est une correspondance entre deux ensembles, un ensemble “de départ” et un ensemble “d’arrivée”, qui à tout
élément de l’ensemble de départ associe un unique élément de l’ensemble d’arrivée.
Une fonction est une correspondance entre deux ensembles, un ensemble “de départ” et un ensemble “d’arrivée”, qui à tout
élément de l’ensemble de départ associe au plus un élément de l’ensemble d’arrivée.
Le domaine de définition Df d’une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F est l’ensemble des
éléments x œ E pour lesquels f HxL existe.
L’ensemble de définition d’une fonction est inclus dans l’ensemble de départ. Il est égal à l’ensemble de départ lorsque la
fonction est une application.
Une application est donc toujours une fonction, mais la réciproque n’est vraie que lorsque l’ensemble de définition de la
fonction est égal à l’ensemble de départ.
Par contre, la restriction d’une fonction à son ensemble de définition est toujours une application.
Par exemple, en définissant f : ö , on définit une fonction mais pas une application car f H0L n’existe pas. Comme Df = * ,
x ö 1êx
alors g : * ö est une application.
x ö 1êx
Une fonction f : E öF définie sur l’ensemble E est une application.
Dans la suite du cours, tout ce qui est énoncé pour des fonctions est (c’est normal) vrai pour des applications, et tout ce qui est
énoncé pour des applications est souvent vrai pour des fonctions, en considérant leur restriction à leur ensemble de définition.
2) Notation “standard”
f :E ö F
xöf HxL
f = nom de la fonction
E = ensemble de départ
avec F = ensemble d ' arrivée
x un élément de E
f HxL l ' élément de F associé à x
ou
f : E ö F plus simplement .
3) Ensemble des applications de E dans F
On note F HE, FL ou encore F E l’ensemble des applications de E dans F .
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4) Image, antécédent
Soit f : E öF une fonction, soient x œ E et y œ F . Alors:
(1) y est l'image de x par f ñ y = f HxL
(2) x est un antécédent de y par f ñ y = f HxL
(Notez l'article défini l' : il y a unicité)
( Notez l'article indéfini un : pas d'unicité à priori)
ATTENTION : tous les éléments x de l’ensemble de départ E ont au plus une image dans l’ensemble d’arrivée F (par définition
d'une fonction), MAIS tous les éléments de F n'ont pas forcémént un antécédent dans E (ils peuvent avoir aucun ou plusieurs
antécédents)
ATTENTION: Si f : E öF est une fonction, l'ensemble d'arrivée F est en général différent (il est plus gros) de l'ensemble,
xöf HxL
noté f HEL, des images des éléments de E par f .
Par exemple, pour les fonctions f , g de dans qui à x associe f HxL = x2 et g HxL = sin HxL, déterminer f H) et g HL .
5) Représentation graphique
a) Graphe
Le graphe Gf d’une fonction f : E ö F est Gf = 9Hx, f HxLL ê x œ Df = . C’est une partie de l’ensemble E äF .
Dans le cas des fonctions numériques (fonction définies sur une partie de et à valeurs dans ), on peut le représenter
facilement dans le plan, mais dans le cas général, on ne peut pas le “voir”...
ATTENTION: même pour les fonctions numériques, une fonction n’est pas son graphe, et un graphe n’est pas une fonction...
b) Cas des ensembles finis
Les “patates” peuvent rendre service. Par exemple:
6) Composition des applications (que l’on adapte sans peine à des fonctions)
a) Définition
Soient f : E öF et g : G ö H deux applications.
xöf HxL
xögHxL
Lorsque F Õ G, on peut définir l’application h = g ë f ( se lit g “rond” f ) par : g ë f : E öH .
xØg Hf HxLL
L’application h = gë f est l’application composée des applications g et f . On a : " x œ E, gëf HxL = g Hf HxLL.
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Schéma de composition :
b) Propriétés
Soient f , g, h trois applications. Lorsque les composées sont définies:
(1) En général, f ë g ∫ gëf . La loi de composition ë n’est pas commutative.
(2) f ë HgëhL = Hf ëgLë h . La loi de composition ë est associative.
(3) on a Hf + gL ëh = f ë h + gëh, MAIS PAS f ëHg + hL = f ëg + f ëh
7) Application identité
a) Définition
Soit E un ensemble. L’application “identité de E”, notée IdE , est définie par: IdE : E öE .
xöx
Chaque élément de E est son image par IdE .
b) Théorème
Pour toute application f : E öF, on a f ëIdE = f = IdF ëf .
8) Restriction d’une application à une partie (que l’on adapte sans peine à des fonctions)
Soit f : E ö F une application et soit A une partie de E . La restriction de f à A, notée f A , est l’application f A : A öF .
xØf HxL
xØf HxL
On garde l’ensemble d’arrivée et la correspondance, mais l’ensemble de départ est plus petit.
9) Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble
a) Définition
Soit A une partie d’une ensemble E . La fonction indicatrice de A, notée 1A , est la fonction 1A :
b) Exercice
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Simplifier 1A + 1B - 1A›B .
E ö
.
1 si x œ A
xØ
0 si x – A
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II) Image directe ou réciproque d’une partie par une fonction
1) Définitions
Soit f : E öF une fonction. Soient A une partie de E et B une partie de F . Alors:
(Version Symbolique):
(1) L'image directe de A par f est f HAL = 8y œ F ê $ x œ A ê y = f HxL < = 8f HxL ê x œ A< en "bref"
(2) L'image réciproque de B par f est f -1 HBL = 8 x œ E ê f HxL œ B <
(Version Française):
(1) f HAL, l’image directe de A par f , est l’ensemble des images des éléments de A par f .
H2L f -1 (B), l’image réciproque de B par f , est l’ensemble des antécédents des éléments de B par f .
ATTENTION: Ne pas confondre le f -1 de l'image réciproque d'une partie par une fonction avec le f -1 de la bijection
réciproque de f .
2) Schémas (patates ou graphes)
3) Propriétés
Soit f : E öF une fonction. Soient A Õ E et B Õ F . Alors:
(1) f HAL Õ F et f -1 HBL Õ E .
(2) " y œ F, y œ f HAL ñ $ x œ A ê f HxL = y
(3) " x œ E, x œ f -1 HBL ñ f HxL œ B .
4) Exemples
a) Avec f : ö telle que f HxL = x2 , calculer A = f H@-3, 2DL ; B = f H- L ; C = f -1 H84<L ; D = f -1 H@-3, 2DL ; E = f -1 H- L
b) Avec g : ö telle que g HxL = sin HxL, calculer A = g H@0, pDL ; B = gI+ M ; C = g-1 H80<L ; D = g-1 H@-2, 2DL ;
E = g-1 H@0, 1DL
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III) Application injective, surjective
1) Définitions
(Version Symbolique):
(1) L’application f : E öF est injective ñ " x, y œ E, f HxL = f HyL fl x = y .
(2) L’application f : E öF est surjective ñ " y œ F, $ x œ E ê f HxL = y.
(Version Française):
(1) L’application f : E öF est injective ñ Tout élément de F a au plus un antécédent par f dans E .
(2) L’application f : E öF est surjective ñ Tout élément de F a au moins un antécédent par f dans E .
Une application injective est une injection, une application surjective est une surjection.
2) Démontrer qu’une application est ou non injective ou surjective
Ecrire les quatre plans de démonstration pour une application f : E ö F.
3) Exemples
Les applications f , g de dans qui à x associe f HxL = x2 et gHxL = sin HxL sont-elles injectives ? surjectives ?
Si non, comment (par exemple) modifier les ensembles de départ ou (et) d’arrivée pour qu’elles le deviennent ?
4) Propriétés
(1) La application f : E öF est surjective ñ f HEL = F .
(2) La composée de deux applications injectives est une application injective .
(3) La composée de deux applications surjectives est une application surjective.
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5) Etude de réciproques: vrai pou faux ?
Lorsque les composées sont définies:
A: gë f injective fl f injective.
B: gë f injective fl g injective.
C: gë f surjective fl f surjective.
D: gë f surjective fl g surjective.
6) Exercice
Soit f : E öF une application.
a) Prouver que: " A, B œ P HEL, f HA › BL Õ f HAL › f HBL.
b) Prouver que la réciproque est fausse en "général", mais vraie lorsque f est injective.
IV) Application bijective
1) Application bijective, bijection réciproque
(Version Symbolique):
f : E öF est une bijection ñ " y œ F, $ ! x œ E ê y = f HxL
(Version Française):
La fonction f : E öF est une bijection si et seulement si tout élément de l’ensemble d’arrivée F a un unique antécédent
par l’application f dans l’ensemble de départ E
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Soit f : E ö F une bijection. La bijection réciproque de f , notée f -1 , est l’application :
f -1 :
F
ö
E
yöl' unique x de E tel que y=f HxL
2) Exemples
a) L’application f : ö définie par f HnL = n + 1 si n est pair et f HnL = n - 1 si n est impair est une bijection. Calculer f -1 .
b) L’application f : ö définie par f HnL = § n - 1§ n’est pas une bijection: pourquoi ?
c) L’application f : ö définie par f HnL = n + 1 n'est pas une bijection: pourquoi ?
d) Avec f HxL = x2 , quels ensembles de départ et d’arrivée peut-on choisir pour que f soit bijective ? Calculer alors f -1 .
e) f : * ö définie par f HxL =
1
n’est pas une bijection. Pourquoi ? Que peut-on modifier pour que f soit bijective ? Calculer
x
alors f -1 .
3) Rapport entre injection, surjection et bijection
Une application est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.
4) Composée de deux bijections
La composée de deux applications bijectives est une application bijective .
5) Exercice
Soient f et g deux applications de dans telles que g ëf = Id .
a) Prouver que g est surjective et f injective.
b) Montrer que l’affirmation: (g est injective) ou (f surjective) peut être fausse.
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6) Propriétés de la bijection réciproque
Soit f : E öF une bijection. Alors:
(1) f -1 est une bijection et If -1 M-1 = f
(2) " x œ E, f -1 Hf HxLL = x , c’est à dire f -1 ë f = IdE .
(3) " y œ F, f If -1 HyLM = y , c’est à dire f ë f -1 = IdF .
(4) Si f et g sont bijectives et si gë f existe, alors gëf est bijective et Hg ëf L-1 = f -1 ë g-1 (Attention à l’ordre)
7) Fonction inversible
a) Rappel
La fonction f : E öF est inversible si et seulement si l’application g : E ö f HEL est une bijection.
xöf HxL
x ö f HxL
Dans ce cas la fonction réciproque f -1 : f HELö E est la bijection réciproque de g .
On utilise le terme “fonction inversible” que pour des fonctions définies sur leur ensemble de départ, c’est à dire des fonctions
qui sont des applications...
b) Théorème
La fonction f : E öF est inversible si et seulement si elle est injective.
xöf HxL
c) Cas des fonctions numériques
Soit I un intervalle de .
La fonction continue f : I ö est inversible si et seulement si elle est strictement monotone, c’est à dire si et seulement si f
est strictement croissante ou f est strictement décroissante sur I.
On peut remarquer que:
Une fonction strictement monotone est inversible, même si elle n’est pas continue ou pas définie sur un intervalle
d) Exercice
a ) Trouver une fonction f : @0, 2D ö inversible et pas strictement monotone
b ) Trouver une fonction f : * ö continue, inversible et pas strictement monotone