Applications et fonctions

Applications et fonctions
I) Généralités
1) Application , fonction, domaine de définition
2) Notation “standard”
3) Ensemble des applications de E dans F
4) Image, antécédent
5) Représentation graphique
6) Composition des applications
7) Application identité
8) Restriction d’une application à une partie
9) Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble
II) Image directe ou réciproque d’une partie par une fonction
1) Définitions
2) Schémas
3) Propriétés
4) Exemples
III) Application injective, surjective
1) Définitions
2) Démontrer qu’une application est ou non injective ou surjective
3) Exemples
4) Propriétés
5) Etude de réciproques
6) Exercice
IV) Application bijective
1) Application bijective, bijection réciproque
2) Exemples
3) Rapport entre injection, surjection et bijection
4) Composée de deux bijections
5) Exercice
6) Propriétés de la bijection réciproque
7) Fonction inversible
Dans ce chapitre, on reprend et on approfondit le chapitre 4, intitulé “Fonction réciproque”
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I) Généralités
1) Application , fonction, domaine de définition
On précise la nuance qu’il y a entre les termes “application” et “fonction”. Il y a souvent confusion entre ces deux termes, dans
ce cours comme ailleurs. Le plus souvent en algèbre, on utilise le terme “application” et en analyse on emploie le terme
“fonction”.
Comme ce cours est un cours d’algèbre, c’est le plus souvent le terme “application” qui sera utilisé.
Une application est une correspondance entre deux ensembles, un ensemble “de départ” et un ensemble “d’arrivée”, qui à tout
élément de l’ensemble de départ associe un unique élément de l’ensemble d’arrivée.
Une fonction est une correspondance entre deux ensembles, un ensemble “de départ” et un ensemble “d’arrivée”, qui à tout
élément de l’ensemble de départ associe au plus un élément de l’ensemble d’arrivée.
Le domaine de définition D
f
d’une fonction
f
définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F est l’ensemble des
éléments xœE pour lesquels
f
H
x
L
existe.
L’ensemble de définition d’une fonction est inclus dans l’ensemble de départ. Il est égal à l’ensemble de départ lorsque la
fonction est une application.
Une application est donc toujours une fonction, mais la réciproque n’est vraie que lorsque l’ensemble de définition de la
fonction est égal à l’ensemble de départ.
Par contre, la restriction d’une fonction à son ensemble de définition est toujours une application.
Par exemple, en définissant
f
:ö
xö
1
ê
x
, on définit une fonction mais pas une application car
f
H
0
L
n’existe pas. Comme D
f
=
*
,
alors g:
*
ö
xö
1
ê
x
est une application.
Une fonction f:EöF définie sur l’ensemble E est une application.
Dans la suite du cours, tout ce qui est énoncé pour des fonctions est (c’est normal) vrai pour des applications, et tout ce qui est
énoncé pour des applications est souvent vrai pour des fonctions, en considérant leur restriction à leur ensemble de définition.
2) Notation “standard”
f
:EöF
xöf
H
x
L
avec
f
=
nom
de
la
fonction
E=ensemble de départ
F=ensemble d' arrivée
xun élément de E
f
H
x
L
l' élément de Fassocié à x
ou
f
:EöF plus simplement .
3) Ensemble des applications de E dans F
On note F
H
E,F
L
ou encore F
E
l’ensemble des applications de E dans F.
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4) Image, antécédent
Soit f:EöF une fonction, soient xœE et yœF. Alors:
(1) y est l'image de x par
f
ñ
y
=
f
H
x
L
(Notez l'article défini l' : il y a unicité)
(2) x est un antécédent de y par
f
ñ
y
=
f
H
x
L
( Notez l'article indéfini un : pas d'unicité à priori)
ATTENTION : tous les éléments x de l’ensemble de départ E ont au plus une image dans l’ensemble d’arrivée F (par définition
d'une fonction), MAIS tous les éléments de F n'ont pas forcémént un antécédent dans E (ils peuvent avoir aucun ou plusieurs
antécédents)
ATTENTION: Si f:EöF
xöf
H
x
L
est une fonction, l'ensemble d'arrivée F est en général différent (il est plus gros) de l'ensemble,
noté
f
H
E
L
, des images des éléments de E par
f
.
Par exemple, pour les fonctions
f
,g de  dans  qui à x associe
f
H
x
L
=x
2
et g
H
x
L
=sin
H
x
L
, déterminer
f
H
) et g
H
L
.
5) Représentation graphique
a) Graphe
Le graphe G
f
d’une fonction
f
:EöF est G
f
=
9
H
x,f
H
x
L
L
ê
xœD
f
=
. C’est une partie de l’ensemble
E
ä
F
.
Dans le cas des fonctions numériques (fonction définies sur une partie de  et à valeurs dans ), on peut le représenter
facilement dans le plan, mais dans le cas général, on ne peut pas le “voir”...
ATTENTION: même pour les fonctions numériques, une fonction n’est pas son graphe, et un graphe n’est pas une fonction...
b) Cas des ensembles finis
Les “patates” peuvent rendre service. Par exemple:
6) Composition des applications (que l’on adapte sans peine à des fonctions)
a) Définition
Soient
f
:EöF
xöf
H
x
L
et g:GöH
xög
H
x
L
deux applications.
Lorsque FÕG, on peut définir l’application h=gëf ( se lit
g
“rond”
f
) par : gëf:EöH
xØg
H
f
H
x
L
L
.
L’application h=gëf est l’application composée des applications
g
et
f
. On a : "xœE,gëf
H
x
L
=g
H
f
H
x
L
L
.
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Schéma de composition :
b) Propriétés
Soient f,g,h trois applications. Lorsque les composées sont définies:
(1) En général,
f
ëg∫gëf . La loi de composition ë n’est pas commutative.
(2)
f
ë
H
gëh
L
=
H
fëg
L
ëh . La loi de composition ë est associative.
(3) on a
H
f+g
L
ëh=fëh+gëh, MAIS PAS
f
ë
H
g+h
L
=fëg+fëh
7) Application identité
a) Définition
Soit E un ensemble. L’application “identité de E”, notée Id
E
, est définie par: Id
E
:EöE
x
ö
x
.
Chaque élément de E est son image par Id
E
.
b) Théorème
Pour toute application f:EöF, on a
f
ëId
E
=f=Id
F
ëf .
8) Restriction d’une application à une partie (que l’on adapte sans peine à des fonctions)
Soit
f
:EöF
xØf
H
x
L
une application et soit
A
une partie de E. La restriction de
f
à
A
, notée
f
A
, est l’application
f
A
:
A
öF
xØf
H
x
L
.
On garde l’ensemble d’arrivée et la correspondance, mais l’ensemble de départ est plus petit.
9) Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble
a) Définition
Soit
A
une partie d’une ensemble E. La fonction indicatrice de
A
, notée 1
A
, est la fonction 1
A
: Eö
xØ
1 si xœA
0 si x–A
.
b) Exercice
Soient
A
et
B
deux parties d’un ensemble E. Simplifier 1
A
+1
B
-1
A
›
B
.
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II) Image directe ou réciproque d’une partie par une fonction
1) Définitions
Soit f:EöF une fonction. Soient
A
une partie de E et
B
une partie de F . Alors:
(Version Symbolique):
(1) L'image directe de
A
par
f
est f
H
A
L
=
8
yœF
ê
$xœA
ê
y=f
H
x
L
<
=
8
f
H
x
L
ê
xœA
<
en "bref"
(2) L'image réciproque de
B
par
f
est
f
-
1
H
B
L
=
8
xœE
ê
f
H
x
L
œB
<
(Version Française):
(1) f
H
A
L
, l’image directe de
A
par
f
, est l’ensemble des images des éléments de
A
par
f
.
H
2
L
f
-
1
(B), l’image réciproque de
B
par
f
, est l’ensemble des antécédents des éléments de
B
par f .
ATTENTION: Ne pas confondre le
f
-
1
de l'image réciproque d'une partie par une fonction avec le
f
-
1
de la bijection
réciproque de
f
.
f
2) Schémas (patates ou graphes)
3) Propriétés
Soit f:EöF une fonction. Soient AÕE et
B
Õ
F
. Alors:
(1)
f
H
A
L
ÕF et
f
-
1
H
B
L
ÕE .
(2) "yœF,yœf
H
A
L
ñ $ xœA
ê
f
H
x
L
=y
(3) "xœE,xœf
-
1
H
B
L
ñf
H
x
L
œB .
4) Exemples
a) Avec
f
:ö telle que
f
H
x
L
=x
2
, calculer
A
=
f
H
@
-
3
,
2
D
L
; B=f
H
-
L
; C=f
-
1
H
8
4
<
L
; D=f
-
1
H
@
-3, 2
D
L
; E=f
-
1
H
-
L
b) Avec g:ö telle que g
H
x
L
=sin
H
x
L
, calculer A=g
H
@
0, p
D
L
; B=g
I
+
M
; C=g
-
1
H
8
0
<
L
; D=g
-
1
H
@
-2, 2
D
L
;
E=g
-
1
H
@
0, 1
D
L
15 Cours - Applications et fonctions.nb 5/9