4. Le potentiel électrique
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Chapitre 4 OCPH 4. Le potentiel électrique 16 Le potentiel électrique Le mouvement d'une particule de charge positive q dans un champ électrique uniforme est analogue au mouvement d'une particule de masse m dans un champ gravitationnel uniforme près de la surface de la Terre. Un travail fourni par un agent extérieur, l'expérimentateur par exemple, est nécessaire pour déplacer une particule contre le champ. Si la force extérieure est égale et opposée à la force due au champ, l'énergie cinétique de la particule ne change pas. Dans ce cas, la totalité du travail externe est emmagasinée sous forme d'énergie potentielle dans le système, c'est-à-dire: W EXT E p E p ( f ) E p (i ) où E p ( f ) et E p (i ) sont les énergies potentielles finale et initiale. La fonction de l'énergie potentielle gravitationnelle près de la surface de la Terre est E p mgy . On peut obtenir une fonction indépendante de m en définissant le potentiel gravitationnel comme étant l'énergie potentielle par unité de masse: V g E p m gy . L'unité SI de V g est le J/kg. Le potentiel gravitationnel en un point correspond au travail extérieur nécessaire pour soulever une unité de masse du niveau de potentiel zéro (y=0) jusqu'à une hauteur donnée sans variation de vitesse. Une caractéristique utile de la fonction potentiel est qu'elle ne dépend que de la source du champ (la Terre) représentée par la valeur du champ gravitationnel g, et non de la valeur de la masse d'essai m. Lorsqu'une charge q se déplace entre deux points dans un champ électrostatique, la variation de potentiel électrique V est définie comme étant la variation d'énergie potentielle électrique par unité de charge: V E p q L'unité SI de potentiel électrique est le volt (V), appelée ainsi en hommage à Alessandro Volta, inventeur de la pile voltaïque (la première pile électrique). Notons que 1 V = 1 J/C La quantité V dépend uniquement du champ créé par les charges sources, et non de la charge d'essai. Lorsqu'on connaît la différence de potentiel entre deux points, on peut déterminer à partir de l'équation précédente, le travail extérieur nécessaire pour déplacer une charge q sans variation de vitesse: W EXT qV q V f Vi Le signe de ce travail dépend du signe de q et des valeurs relatives de Vi et Vf. Si WEXT>0, c'est l'agent extérieur qui effectue un travail sur la charge. Si WEXT<0, le travail est effectué par le champ sur l'agent extérieur. Dans ce dernier cas, pour maintenir la vitesse constante, la force extérieure agit en sens contraire du déplacement de la charge. L'équation nous permet de constater que ce sont les variations de potentiel qui ont de l'importance, et non les valeurs de Vi et Vf. On peut donc choisir comme point de référence, de potentiel nul, un point commode, à l'infini par exemple. Dans les circuits électroniques, on Chapitre 4 OCPH Le potentiel électrique 17 convient de considérer la prise de terre comme point de potentiel nul. Si Vi=0, on peut écrire V f WEXT q : Le potentiel en un point quelconque est le travail extérieur nécessaire pour déplacer une unité de charge positive, à vitesse constante, du point de potentiel nul jusqu'au point considéré. Le potentiel électrique, qui se mesure en J/C, est analogue au potentiel gravitationnel, qui se mesure en J/kg. Lorsque la hauteur d'une particule augmente, son énergie potentielle gravitationnelle augmente. De même, lorsqu'une charge positive se déplace vers un point de potentiel plus élevé, son énergie potentielle électrostatique augmente. Si on les laisse libres de se déplacer, les charges positives ont tendance à se diriger vers les potentiels décroissants, tout comme les masses. Par contre, les charges négatives ont tendance à aller vers les potentiels croissants. Ainsi, dans un champ électrique extérieur, toutes les charges, positives et négatives, ont tendance à subir une diminution d'énergie potentielle électrostatique. Bien que la notion de travail fourni par un agent extérieur soit commode pour introduire celle d'énergie potentielle, il est préférable d'examiner les forces conservatives agissant à l'intérieur d'un système de particules en interaction. L'énergie potentielle en fonction du travail accompli par la force conservative s'écrit E p Wc ,. Le signe négatif nous indique qu'un travail positif de la force conservative correspond à une diminution d'énergie potentielle. Dans un champ électrostatique, la force (conservative) agissant sur une charge d'essai q est Fc qE . Par conséquent, la variation d'énergie potentielle, dE p dWc , associée à un déplacement infinitésimal ds , est dE p Fc ds qE ds La variation infinitésimale de potentiel associée au déplacement ds est donc dV dE p q E ds La variation finie de potentiel entre le point A et le point B est égale à la somme (l'intégrale) de ces variations infinitésimales, c'est-à-dire: V B V A E ds B A Comme le champ électrostatique est conservatif, la valeur de cette intégrale linéaire dépend uniquement des points de départ et d'arrivée A et B, et non du trajet suivi. Le signe de l'intégrale est déterminé (1) par les signes des composantes de E , et (2) par le sens du chemin emprunté, qui est indiqué par les limites. 4.1. Le potentiel et l’énergie potentielle dans un champ uniforme Dans un champ uniforme, E est constant et l'intégrale précédente peut donc s'écrire : V E s La figure représente un champ uniforme. Essayons de déterminer la variation de potentiel du point A au point B, les deux points étant séparés par une distance d le long des lignes de champ. Puisque le champ électrique a seulement une composante en x, l'équation précédente se réduit à V E x x . En remplaçant Ex, par E et x par +x, on obtient Chapitre 4 OCPH Le potentiel électrique 18 V ( x ) V (0) Ex Le potentiel décroît linéairement sur l'axe des x, comme le montre le graphique de la figure. Soulignons que les lignes de champ sont orientées des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés. Supposons maintenant que le trajet réel de la figure soit remplacé par les deux étapes AC et CB. E étant perpendiculaire au déplacement le long de BC, le travail effectué sur une charge d'essai le long de ce segment est nul. Le seul travail est celui accompli le long du segment AC parallèle aux lignes de champ. Comme la composante du déplacement parallèle ou antiparallèle aux lignes de champ est la seule qui importe, l'équation du haut s'écrit souvent sous la forme (E uniforme) V Ed où d est la grandeur de la composante du déplacement parallèle ou antiparallèle au champ. Le signe est positif lorsque le sens du déplacement est opposé au champ. D'après cette dernière équation, on constate que le champ électrique peut aussi bien s'exprimer en V/m qu'en N/C: 1 V/m = 1 N/C 4.2. Les équipotentielles Sur une carte topographique, on trace les courbes de niveau en joignant les points de même altitude. Les courbes sont rapprochées lorsque la pente est raide et elles sont plus éloignées lorsque la pente est douce. Une équipotentielle est une surface qui joint les points de même potentiel. Sur un tracé dans le plan, les surfaces apparaissent comme des courbes équipotentielles. Les courbes de niveau représentent en fait les équipotentielles gravitationnelles; de la même façon, on peut tracer des équipotentielles électriques. Dans le champ uniforme, à chaque valeur de x correspond une valeur particulière de V. Les surfaces équipotentielles sont donc des plans. Les lignes de champ électrique sont perpendiculaires aux équipotentielles et sont orientées des potentiels élevés vers les potentiels plus faibles, c'est-à-dire dans le sens des potentiels décroissants. Le fait que les lignes de champ soient perpendiculaires aux équipotentielles est un résultat général. La variation de potentiel associée à un déplacement infinitésimal ds est dV E ds . Si le déplacement est parallèle à une équipotentielle, alors dV = 0 et E ds 0 , d'où l'on conclut que E est perpendiculaire à ds . Le déplacement d'une particule le long d'une équipotentielle ne demande aucun travail. 4.3. Les charges en mouvement Le mouvement d'une charge dans un champ électrique peut être étudié en fonction de la conservation de l'énergie, E p E c 0 . Lorsqu'on parle de « l'énergie potentielle d'une charge », il est sous-entendu que les autres charges sont fixes. En fonction du potentiel, la loi de conservation de l'énergie peut s'écrire E c qV Le signe de E p dépend du signe de q et du signe de V . Par exemple, si q > 0 et si la charge se déplace vers les potentiels décroissants ( V 0 ), elle va gagner de l'énergie cinétique. Pour Chapitre 4 OCPH Le potentiel électrique 19 mesurer l'énergie des particules élémentaires, comme les électrons et les protons, on utilise souvent une unité appelée l'électronvolt (eV), qui n'est pas une unité SI. Lorsqu'une particule de charge e traverse une différence de potentiel d'un volt, son énergie cinétique varie d'un électronvolt. E c eV (1,602 10 19 C ) (1V ) Donc, 1 eV 1,602 10 19 J Exprimées dans cette unité, les énergies de liaison chimique sont de l'ordre de quelques électronvolts. Dans un tube à rayons cathodiques, les électrons du faisceau ont une énergie de 104 eV environ. EXEMPLE: Un proton, de masse 1, 67 10 27 kg , pénètre dans la région comprise entre deux plaques parallèles distantes de 20 cm l'une de l'autre. Il existe un champ électrique uniforme de 3 x 105 V/m entre les plaques. Si le proton a une vitesse initiale de 5 x 106 m/s, quelle est sa vitesse finale ? 4.4. Le potentiel et l’énergie potentielle de charges ponctuelles Nous allons examiner maintenant comment le potentiel varie au voisinage d'une charge ponctuelle Q. Le champ électrique est de la forme kQ E Er ur 2 ur r E étant radial (figure), seule la composante radiale du déplacement ds contribue à E ds ; donc E ds E r dr . La variation de potentiel lors du déplacement de A à B, quel que soit le trajet suivi, est B B 1 1 kQ V B V A E r dr kQ r A rB rA A Si l'on choisit V = 0 lorsque r , et en posant rA et rB r , le potentiel à la distance r de la charge Q devient V kQ r Cette fonction potentiel, qui dépend uniquement de la charge source Q, est représentée à la figure. Puisqu'à chaque valeur de r correspond une seule et unique valeur de V, les équipotentielles sont des surfaces sphériques centrées sur la charge. Elles sont dessinées en cercles pointillés sur la figure. Près de la charge, le potentiel varie rapidement selon la distance, de sorte que les équipotentielles sont très rapprochées. Les lignes de champ (en lignes continues) sont normales aux équipotentielles et vont des potentiels élevés vers les Chapitre 4 OCPH Le potentiel électrique 20 potentiels plus faibles. Le champ est d'autant plus intense que les équipotentielles sont plus rapprochées. EXEMPLE : En 1913, Niels Bohr proposa un modèle de l'atome d'hydrogène dans lequel l'électron est en orbite sur une trajectoire circulaire autour d'un proton immobile. Trouver l'énergie mécanique totale de l'électron sachant que le rayon de l'orbite est égal à 0, 53 10 11 m . 4.5. Le potentiel d’un conducteur La figure représente une cavité vide à l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique qui peut être chargé ou placé dans un champ électrique uniforme. À l'intérieur du matériau du conducteur, E 0 , la variation B de potentiel, V B V A E ds , est donc nulle entre A deux points dans le matériau du conducteur, y compris à la surface. Puisque l'intégrale est nulle quel que soit le trajet suivi, même à travers la cavité, on en conclut que E est également nul dans la cavité. En général, Tous les points à l'intérieur et sur la surface d'un conducteur en équilibre électrostatique sont au même potentiel. Supposons que deux sphères chargées de rayons R1 et R2 soient reliées par un long fil conducteur. La charge va s'écouler d'une sphère à l'autre jusqu'à ce que leurs potentiels soient égaux, c'est-à-dire V1 = V2. Les sphères étant suffisamment éloignées l'une de l'autre, leurs charges sont réparties uniformément et le potentiel de chaque sphère peut s'écrire V kQ R . L'égalité des potentiels donne: Q1 Q 2 R1 R2 Pour une densité superficielle de charge uniforme la charge totale est Q 4R 2 L'équation précédente devient: 1 R2 2 R1 On déduit que 1 R : la densité superficielle de charge sur chaque sphère est inversement proportionnelle au rayon. Cette relation nous permet de faire au moins une remarque d'ordre qualitatif concernant la distribution de charge sur un conducteur de forme irrégulière: la densité superficielle de charge est la plus grande dans les régions qui ont le plus petit rayon de courbure. Si le champ a une intensité suffisante (environ 3 106 V m par temps sec), il peut provoquer une décharge électrique dans l'air. Cette décharge se produit parce que l'air contient en général Chapitre 4 OCPH Le potentiel électrique 21 des molécules qui ont été ionisées (qui ont perdu des électrons) par les rayons cosmiques ou par la radioactivité naturelle du sol. Sous l'effet du champ électrique, les électrons accélèrent, entrent en collision avec d'autres molécules et créent davantage d'ions. À ce stade, l'air perd ses propriétés isolantes et devient conducteur. Il se produit alors une décharge appelée «effet de couronne» qui s'accompagne d'un halo visible. Le feu de St-Elme et le halo parfois perceptible autour des lignes électriques sont des exemples de cet effet. Pour éviter les décharges par effet de couronne, les équipements haute tension ont des surfaces lisses et leurs rayons de courbure sont les plus grands possibles. Mais les points anguleux sont parfois souhaitables. Ainsi, le paratonnerre est conçu pour produire une décharge continue tendant à neutraliser le nuage situé juste au-dessus. Les tiges métalliques fixées aux ailes des avions ont la même fonction. Le potentiel à la surface d'une sphère chargée est V kQ R et l'intensité du champ est E kQ R 2 . Par conséquent, V ER à la surface. Ainsi, pour une intensité donnée du champ disruptif, V R . On peut élever jusqu'à 3 105 V le potentiel d'une sphère de rayon 10 cm avant d'atteindre le potentiel disruptif. Par contre, un grain de poussière de 0,05 mm peut donner lieu à une décharge de 150 V. Dans les silos à grains ou les tours de stockage du ciment, les poussières peuvent facilement se charger par frottement et atteindre ce potentiel. Les décharges électriques qui en résultent ont déjà entraîné de graves explosions au Canada et aux États-Unis. Exercices : 1. . Soit une charge q (< 0) en mouvement dans champ électrique. Si elle se déplace dans le sens des potentiels croissants, son énergie cinétique va-t-elle augmenter ou diminuer ? 2. Sachant qu'un électron part du repos dans un champ uniforme, quelle est la différence de potentiel nécessaire pour lui faire acquérir les vitesses suivantes: (a) 11,2 km/s; (b) 0,1 c ? 3. Les armatures d'une bougie d'automobile sont distantes de 0,1 cm. Quelle différence de potentiel est nécessaire pour produire une étincelle, sachant que le champ disruptif dans l'air a une intensité de 3 10 6V / m . 4. Deux plaques infinies parallèles distantes de 3 cm sont reliées à une batterie de 120 V. Un électron initialement repos part de la plaque négative. (a) Quelle est l'intensité du champ électrique? (b) Quel est le travail effectué par le champ sur l'électron au moment où celui-ci touche la plaque positive ? (c) Quelle est la variation de potentiel de l'électron ? (d) Quelle est la variation d'énergie potentielle de l'électron ? 5. Dans un noyau, deux protons sont séparés de 10 15 m . (a) Quelle est leur énergie potentielle électrique ? (b) Sachant qu'ils partent du repos et qu'ils sont libres de se déplacer, trouvez leur vitesse lorsqu'ils se trouvent à 4 10 15 m l’un de l'autre. 6. Un noyau d'uranium de charge 92 e subit une fission spontanée et donne deux fragments de charges égales. Ils sont initialement au repos et distants de 7,4 10 15 m . (a) Quelle est l'énergie potentielle initiale? (b) Quelle est l'énergie cinétique finale des fragments lorsqu'ils sont séparés par une distance infinie? (c) En supposant que 30 % de l'énergie cinétique des fragments peut être utilisée dans un réacteur nucléaire, quel est le nombre de fissions par seconde nécessaire pour produire 1 MW?
