4. Le potentiel électrique

Chapitre 4 OCPH Le potentiel électrique 16
4. Le potentiel électrique
Le mouvement d'une particule de charge positive qdans un champ électrique uniforme est
analogue au mouvement d'une particule de masse mdans un champ gravitationnel uniforme
près de la surface de la Terre. Un travail fourni par un agent extérieur, l'expérimentateur par
exemple, est nécessaire pour déplacer une particule contre le champ. Si la force extérieure est
égale et opposée à la force due au champ, l'énergie cinétique de la particule ne change pas.
Dans ce cas, la totalité du travail externe est emmagasinée sous forme d'énergie potentielle
dans le système, c'est-à-dire:
)()( iEfEEW pppEXT 
où )( fEpet )(iEpsont les énergies potentielles finale et initiale.
La fonction de l'énergie potentielle gravitationnelle près de la
surface de la Terre est mgyEp. On peut obtenir une fonction
indépendante de men définissant le potentiel gravitationnel
comme étant l'énergie potentielle par unité de masse:
gymEV pg  . L'unité SI de g Vest le J/kg. Le potentiel
gravitationnel en un point correspond au travail extérieur
nécessaire pour soulever une unité de masse du niveau de potentiel zéro (y=0) jusqu'à une
hauteur donnée sans variation de vitesse. Une caractéristique utile de la fonction potentiel est
qu'elle ne dépend que de la source du champ (la Terre) représentée par la valeur du champ
gravitationnel g, et non de la valeur de la masse d'essai m.
Lorsqu'une charge qse déplace entre deux points dans un champ électrostatique, la variation
de potentiel électrique V est définie comme étant la variation d'énergie potentielle électrique
par unité de charge:
q
E
Vp
L'unité SI de potentiel électrique est le volt (V), appelée ainsi en hommage à Alessandro Volta,
inventeur de la pile voltaïque (la première pile électrique).
Notons que 1 V = 1 J/C
La quantité V dépend uniquement du champ créé par les charges sources, et non de la
charge d'essai. Lorsqu'on connaît la différence de potentiel entre deux points, on peut
déterminer à partir de l'équation précédente, le travail extérieur nécessaire pour déplacer une
charge qsans variation de vitesse:
ifEXT VVqVqW 
Le signe de ce travail dépend du signe de qet des valeurs relatives de Viet Vf.
Si WEXT>0, c'est l'agent extérieur qui effectue un travail sur la charge.
Si WEXT<0, le travail est effectué par le champ sur l'agent extérieur. Dans ce dernier cas, pour
maintenir la vitesse constante, la force extérieure agit en sens contraire du déplacement de la
charge.
L'équation nous permet de constater que ce sont les variations de potentiel qui ont de
l'importance, et non les valeurs de Viet Vf. On peut donc choisir comme point de référence, de
potentiel nul, un point commode, à l'infini par exemple. Dans les circuits électroniques, on

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convient de considérer la prise de terre comme point de potentiel nul. Si Vi=0, on peut écrire
qWV EXTf:
Le potentiel en un point quelconque est le travail extérieur nécessaire pour déplacer une unité
de charge positive, à vitesse constante, du point de potentiel nul jusqu'au point considéré.
Le potentiel électrique, qui se mesure en J/C, est analogue au potentiel gravitationnel, qui se
mesure en J/kg. Lorsque la hauteur d'une particule augmente, son énergie potentielle
gravitationnelle augmente. De même, lorsqu'une charge positive se déplace vers un point de
potentiel plus élevé, son énergie potentielle électrostatique augmente. Si on les laisse libres de
se déplacer, les charges positives ont tendance à se diriger vers les potentiels décroissants, tout
comme les masses. Par contre, les charges négatives ont tendance à aller vers les potentiels
croissants. Ainsi, dans un champ électrique extérieur, toutes les charges, positives et négatives,
ont tendance à subir une diminution d'énergie potentielle électrostatique.
Bien que la notion de travail fourni par un agent extérieur soit commode pour introduire celle
d'énergie potentielle, il est préférable d'examiner les forces conservatives agissant à l'intérieur
d'un système de particules en interaction. L'énergie potentielle en fonction du travail accompli
par la force conservative s'écrit cp WE  ,. Le signe négatif nous indique qu'un travail positif
de la force conservative correspond à une diminution d'énergie potentielle. Dans un champ
électrostatique, la force (conservative) agissant sur une charge d'essai qest EqFc . Par
conséquent, la variation d'énergie potentielle, cp dWdE  , associée à un déplacement
infinitésimal sd , est
sdEqsdFdE cp
La variation infinitésimale de potentiel associée au déplacement sd est donc
sdE
q
dE
dV p
La variation finie de potentiel entre le point A et le point B est égale à la somme (l'intégrale) de
ces variations infinitésimales, c'est-à-dire:
B
A
AB sdEVV 
Comme le champ électrostatique est conservatif, la valeur de cette intégrale linéaire dépend
uniquement des points de départ et d'arrivée Aet B, et non du trajet suivi.
Le signe de l'intégrale est déterminé (1) par les signes des composantes de
E
, et (2) par le sens
du chemin emprunté, qui est indiqué par les limites.
4.1. Le potentiel et l’énergie potentielle dans un champ uniforme
Dans un champ uniforme,
E
est constant et l'intégrale précédente peut donc s'écrire :
sEV
La figure représente un champ uniforme. Essayons de déterminer la variation de potentiel du
point A au point B, les deux points étant séparés par une distance d le long des lignes de
champ. Puisque le champ électrique a seulement une composante en x, l'équation précédente
se réduit à xEV x . En remplaçant Ex, par Eet x par +x, on obtient

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ExVxV )0()(
Le potentiel décroît linéairement sur l'axe des x, comme le
montre le graphique de la figure. Soulignons que les lignes de
champ sont orientées des potentiels les plus élevés vers les
potentiels les moins élevés. Supposons maintenant que le
trajet réel de la figure soit remplacé par les deux étapes AC et
CB.
E
étant perpendiculaire au déplacement le long de BC, le
travail effectué sur une charge d'essai le long de ce segment est
nul. Le seul travail est celui accompli le long du segment AC
parallèle aux lignes de champ. Comme la composante du
déplacement parallèle ou antiparallèle aux lignes de champ est
la seule qui importe, l'équation du haut s'écrit souvent sous la forme
(E uniforme) EdV
où dest la grandeur de la composante du déplacement parallèle ou antiparallèle au champ. Le
signe est positif lorsque le sens du déplacement est opposé au champ. D'après cette dernière
équation, on constate que le champ électrique peut aussi bien s'exprimer en V/m qu'en N/C:
1 V/m = 1 N/C
4.2. Les équipotentielles
Sur une carte topographique, on trace les courbes de niveau en joignant les points de même
altitude. Les courbes sont rapprochées lorsque la pente est raide et elles sont plus éloignées
lorsque la pente est douce.
Une équipotentielle est une surface qui joint les points de même potentiel. Sur un tracé dans le
plan, les surfaces apparaissent comme des courbes équipotentielles. Les courbes de niveau
représentent en fait les équipotentielles gravitationnelles; de la même façon, on peut tracer des
équipotentielles électriques.
Dans le champ uniforme, à chaque valeur de xcorrespond une valeur particulière de V. Les
surfaces équipotentielles sont donc des plans. Les lignes de champ électrique sont
perpendiculaires aux équipotentielles et sont orientées des potentiels élevés vers les potentiels
plus faibles, c'est-à-dire dans le sens des potentiels décroissants. Le fait que les lignes de
champ soient perpendiculaires aux équipotentielles est un résultat général.
La variation de potentiel associée à un déplacement infinitésimal sd est sdEdV  . Si le
déplacement est parallèle à une équipotentielle, alors dV = 0 et 0 sdE , d'où l'on conclut
que
E
est perpendiculaire à sd . Le déplacement d'une particule le long d'une équipotentielle
ne demande aucun travail.
4.3. Les charges en mouvement
Le mouvement d'une charge dans un champ électrique peut être étudié en fonction de la
conservation de l'énergie, 0 cp EE . Lorsqu'on parle de «l'énergie potentielle d'une
charge », il est sous-entendu que les autres charges sont fixes. En fonction du potentiel, la loi
de conservation de l'énergie peut s'écrire
VqEc
Le signe de p Edépend du signe de qet du signe de V . Par exemple, si q>0 et si la charge
se déplace vers les potentiels décroissants ( 0 V), elle va gagner de l'énergie cinétique. Pour

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mesurer l'énergie des particules élémentaires, comme les électrons et les protons, on utilise
souvent une unité appelée l'électronvolt (eV), qui n'est pas une unité SI. Lorsqu'une particule
de charge etraverse une différence de potentiel d'un volt, son énergie cinétique varie d'un
électronvolt.
)1()10602,1( 19 VCVeEc
Donc, JeV 19
10602,11 
Exprimées dans cette unité, les énergies de liaison chimique sont de l'ordre de quelques
électronvolts. Dans un tube à rayons cathodiques, les électrons du faisceau ont une énergie de
104eV environ.
EXEMPLE: Un proton, de masse 27
1, 67 10
kg
, pénètre dans la région comprise entre deux
plaques parallèles distantes de 20 cm l'une de l'autre. Il existe un champ électrique uniforme de
3 x 105V/m entre les plaques. Si le proton a une vitesse initiale de 5 x 106m/s, quelle est sa
vitesse finale ?
4.4. Le potentiel et l’énergie potentielle de charges ponctuelles
Nous allons examiner maintenant comment le potentiel varie
au voisinage d'une charge ponctuelle Q. Le champ électrique
est de la forme
rrr u
r
kQ
uEE
2
E
étant radial (figure), seule la composante radiale du
déplacement sd contribue à sdE ; donc drEsdE r . La
variation de potentiel lors du déplacement de A à B, quel que
soit le trajet suivi, est
 AB
B
A
B
ArAB rr
kQ
r
kQ
drEVV 11
Si l'on choisit V = 0 lorsque
r
, et en posant
A
ret B
r r
, le potentiel à la distance rde
la charge Qdevient
r
kQ
V
Cette fonction potentiel, qui dépend uniquement de la
charge source Q, est représentée à la figure. Puisqu'à chaque
valeur de rcorrespond une seule et unique valeur de V, les
équipotentielles sont des surfaces sphériques centrées sur la
charge. Elles sont dessinées en cercles pointillés sur la
figure. Près de la charge, le potentiel varie rapidement selon
la distance, de sorte que les équipotentielles sont très rapprochées. Les lignes de champ (en
lignes continues) sont normales aux équipotentielles et vont des potentiels élevés vers les

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potentiels plus faibles. Le champ est d'autant plus intense que les équipotentielles sont plus
rapprochées.
EXEMPLE :En 1913, Niels Bohr proposa un modèle de l'atome d'hydrogène dans lequel
l'électron est en orbite sur une trajectoire circulaire autour d'un proton immobile. Trouver
l'énergie mécanique totale de l'électron sachant que le rayon de l'orbite est égal à 11
0,53 10
m
.
4.5. Le potentiel d’un conducteur
La figure représente une cavité vide à l'intérieur d'un
conducteur en équilibre électrostatique qui peut être
chargé ou placé dans un champ électrique uniforme. À
l'intérieur du matériau du conducteur, 0E , la variation
de potentiel, 
B
A
AB sdEVV 
, est donc nulle entre
deux points dans le matériau du conducteur, y compris à
la surface. Puisque l'intégrale est nulle quel que soit le
trajet suivi, même à travers la cavité, on en conclut que
E
est également nul dans la cavité. En général,
Tous les points à
l'intérieur et sur la surface d'un conducteur en équilibre
électrostatique sont au même potentiel.
Supposons que deux
sphères chargées de
rayons R1et R2soient
reliées par un long fil
conducteur. La charge va s'écouler d'une sphère à l'autre
jusqu'à ce que leurs potentiels soient égaux, c'est-à-dire V1=V2. Les sphères étant
suffisamment éloignées l'une de l'autre, leurs charges sont réparties uniformément et le
potentiel de chaque sphère peut s'écrire RkQV . L'égalité des potentiels donne:
2
2
1
1R
Q
R
Q
Pour une densité superficielle de charge uniforme la charge totale est  2
4RQ 
L'équation précédente devient:
1
2
2
1R
R
On déduit que R1: la densité superficielle de charge sur chaque sphère est inversement
proportionnelle au rayon. Cette relation nous permet de faire au moins une remarque d'ordre
qualitatif concernant la distribution de charge sur un conducteur de forme irrégulière: la
densité superficielle de charge est la plus grande dans les régions qui ont le plus petit rayon de
courbure.
Si le champ a une intensité suffisante (environ 6
3 10
V m
par temps sec), il peut provoquer
une décharge électrique dans l'air. Cette décharge se produit parce que l'air contient en général