Champ électrique uniforme

Électricité et magnétisme
(203-NYB)
Chapitre 4: Le potentiel électrique
Le champ électrique donne la force
agissant sur une unité de charge en un
point donné.
Le potentiel électrique représente
l’énergie potentielle par unité de charge
4.1 Le potentiel électrique
•
•
•
•
•
Le potentiel électrique est défini comme l'énergie
potentielle électrique U, que possède un objet
chargé par unité de charge
Le potentiel électrique, qui se mesure en joules par
coulomb (J/C), est analogue au potentiel
gravitationnel. qui se mesure en joules par
kilogramme (J/kg). L'unité SI du potentiel
électrique est le volt (V). 1 V=1 J/C
Lorsque la hauteur d'une particule augmente, elle
se dirige l'encontre des lignes du champ
gravitationnel et son énergie potentielle
gravitationnelle augmente. De même, lorsqu'une
charge positive se déplace à l'encontre des lignes
du champ électrique, vers un point de potentiel
plus élevé, son énergie potentielle électrique
augmente.
Si on les laisse libres de se déplacer, les charges
positives ont tendance à se diriger vers les
potentiels électriques décroissants, tout comme les
masses par rapport au potentiel gravitationnel.
Les charges négatives ont tendance à aller vers les
potentiels croissants.
U g  mgy
Vg 
Ug
 gy
m
U g  mVg
U E  qEy
UE
 Ey
q
U E  qVE
VE 
4.1 (suite) Cas des champs non uniformes
(équipotentielles)
•
•
•
•
•
Une équipotentielle est une surface qui
joint les points de même potentiel.
Les équipotentielles sont analogues
aux courbes de niveau sur une carte
topographique.
Dans le champ électrique uniforme les
surfaces équipotentielles sont des
plans.
Les lignes de champ électrique sont
perpendiculaires aux équipotentielles
et sont orientées des potentiels élevés
vers les potentiels plus faibles.
Le déplacement d'une particule le long
d'une équipotentielle ne demande
aucun travail.
dV  0  E  ds
4.1 (Exemple)
E2 Une batterie d’automobile a une capacité de nominale de 80 A·h qui représente la
charge qu’elle peut faire passer entre ses deux bornes dans un circuit extérieur. (1 A·h
= 1 (C/s)·h) (a) Quelle charge totale (en coulombs) peut fournir la batterie? (b) Quelle
énergie peut-elle fournir? (c) Pendant combien de temps cette batterie pourrait-elle
alimenter une ampoule de 60 W?
b)
C
3600s  288000C  2.88 105 C
s
J
U  qV  2.88 105 C 12V  2.88 105 C 12  3.46 106 J
C
3.46 106 J
U
 2.16 1025 eV
19
1.6 10 J eV
c)
U 3.46 106 J
t 
 43250s 12h
P
80 J s
a)
q  80 A h  80
car P 
U
t
4.2 Relation entre potentiel et l’énergie ou le travail
•
•
•
•
La variation de l’énergie potentielle est égale au
travail effectué par la force extérieure.
Ce sont les variations de potentiel qui ont de
l'importance, et non les valeurs de VA et VB. On
peut donc choisir comme point de référence de
FE
potentiel nul un point commode, l'infini par
exemple.
s
s
Le potentiel électrique en un point quelconque
est le travail extérieur nécessaire pour déplacer
une unité de charge positive, à vitesse constante,
du point de potentiel nul jusqu'au point
considéré.
Champ électrique uniforme:
La force extérieure est opposée à la force
électrique et le travail extérieur est le négatif du
V  U q   E s  VB  VA
travail fait par la force électrique Wc.
U  WExt  qE s
WExt  Wc   qE s
Wc  FE s  qE s
FE  qE
4.3 (suite) Charges accélérées par une ΔV
•
•
Le signe de ΔK dépend du signe de q et du signe de
ΔV. Par exemple, si q > O et si la charge se déplace
vers les potentiels décroissants (ΔV < O), elle va
gagner de l'énergie cinétique.
E  K  U  constante
K  U  0
Pour mesurer l'énergie des particules élémentaires,
comme les électrons et les protons, on utilise
souvent une unité appelée l'électronvolt (eV), qui
n'est pas une unité SI.
1eV  1.602 1019 J
K  U   qV
4.3 Relation entre le potentiel et le champ électrique
Comme le champ électrique est conservatif dans une situation électrostatique, la valeur de
cette intégrale de ligne dépend uniquement des points de départ et d'arrivée A et B, et non
du trajet suivi.
Champ électrique non-uniforme:
B
V  U q    E ds  VB  VA
A
B
U  WExt  q  E ds
A
B
WExt  Wc    qE ds
A
B
B
A
A
Wc   FE ds   qE ds
FE  qE
Fext
4.4 Le potentiel et l'énergie potentielle dans un
champ électrique uniforme
B 
V  VB  VA    E ds   E   ds    E s
A
A 
B
•
•
•
Dans un champ uniforme, le potentiel décroît
linéairement avec la distance le long des
lignes de champ.
Les lignes de champ sont orientées des
V(x)
x
potentiels les plus élevés vers les potentiels
les moins élevés.
-Ex
Si d est la valeur absolue de la composante du
déplacement parallèle ou antiparallèle au
VB  VA   E s   Ei  xi  yj    Ex
champ: V   Ed
E  Ei
s  xi  yj
V ( x)   Ex
VB  V ( x)
VA  0
4.4 (Exemple)
E20 Un électron se déplace parallèlement à la direction d’un
champ électrique uniforme. Sa vitesse initiale est de 8×106 m/s
et sa vitesse finale, après avoir parcouru une distance de 3 mm
dans le sens des x positifs, est égale à 3×106 m/s.
(a) Quelle est la différence de potentiel entre les deux point?
(b) Quel est le module du champ électrique?
+
E
_
+
s
+
+
e
vi
VA
U  m  v  v
a) V 

q
e
2
f
2
i


 12  9.111031   3 106   8 106 
2
1.6 1019
U  K    K f  K i     12 mv 2f  12 mvi2    12 m  v 2f  vi2 
 156  i  5.22 104 i N C
V
i 
s
3 103
V   E s   Ei si   Es
b) E  
2
_
e _v f
_
+
1
2
_
VB
  156Volts
car E  K  U  constante
4.5 Le potentiel et l’énergie des charges ponctuelles
rB
B
B
kQ
VB  VA    E ds  kQ  r dr 
r
A
A
E ds  Eds cos   Edr  k
ds cos   dr
Q
Ek 2
r
rA   & r  rB
•

B
2

A
kQ kQ

rB
rA
ds
Q
dr
r2
dr
rA
V k
Q
r
Puisqu'à chaque valeur de r correspond une seule et unique
valeur de les équipotentielles de cette fonction potentiel sont des
surfaces sphériques centrées sur la charge.
4.5 (suite) Le potentiel des charges ponctuelles
V  Vi  k 
Qi
ri
4.5 (Exemple)
q1  4C
y

r1  7cm
30o
E31 Deux charges ponctuelles de -4 μC et +6 μC sont
situés comme l’indique la figure ci-contre. (a) Quel
est le potentiel à l’origine? (b) Quel est le travail
extérieur nécessaire pour amener une charge de 2 μC
à vitesse constante depuis l’infini jusqu’à l’origine?
x
50o
r2  5cm

q2  6C
q1
q2
4 106
6 106
9
9
a) V (0, 0)  k  k  9 10 
 9 10 
 566kV
r1
r2
0.07
0.05
b) Wext  U  qV  2 106  566  103  1.13J
V  V final  Vinitial  V0,0  V,  566kV  0  566kV
4.5 (suite) L’énergie potentielle de charges
ponctuelles
2 charges: U  qV
V k
n charges: U  U ij   k
i j
•
•
i j
Q
r

U k
qQ
r

U12  k
q1q2
r12
qi q j
rij
L'énergie potentielle du système formé par deux charges est le travail extérieur
qu'il faut fournir pour amener les charges de l'infini jusqu'à la distance r sans
variation d'énergie cinétique.
Lorsque les deux charges sont de même signe, leur énergie potentielle est
positive et il faut fournir un travail positif pour réduire la distance qui les
sépare et vaincre leur répulsion mutuelle. Lorsque les charges sont de signes
opposés, le travail extérieur est négatif.
•
•
Lorsque l'énergie potentielle est négative, il faut fournir un travail extérieur
pour séparer les charges.
i <j pour ne pas compter deux fois les même paires de charges et éviter i=j
4.7 Le potentiel d’un conducteur
V1  V2
R1

R2
Q  A 
Vu de très près, une sphère est
assimilable à un plan infini
chargé et le champ électrique à
sa surface est le même: E = σ/ε0,
dans le cas de conducteurs.
E

0

kQ1 kQ2

R1
R2

Q1 Q2

R1 R2
4 R12 1 4 R22 2

R1
R2
 1  0 E1 R2


 2  0 E2 R1


 1 R2

 2 R1
E1 R2

E2 R1
Deux sphères conductrices reliées par un fil conducteur sont au même potentiel
électrique. On en déduit que la charge, la densité surfacique de charge σ et le champ
électrique à la surface sont inversement proportionnels au rayon. Donc le champ
électrique est maximal aux points anguleux d’un conducteur. S’il est suffisamment fort
(> 3 MV/m), ce champ peut produire des décharges électriques dans l’air par “effet de
couronne”.