REPRÉSENTATIONS DE GL 2(Qp) ET (ϕ,Γ)-MODULES

REPRÉSENTATIONS DE GL2(Qp)ET (ϕ, Γ)-MODULES
par
Pierre Colmez
Résumé. — Soit Lune extension finie de Qp. Nous construisons une correspon-
dance (de Langlands locale p-adique) associant à toute L-représentation Vde GQp,
irréductible de dimension 2, une représentation Π(V)de GL2(Qp), unitaire, admis-
sible, et irréductible. Nous identifions les vecteurs localement analytiques et locale-
ment algébriques de Π(V), ce qui nous permet de montrer que cette correspondance
encode la correspondance de Langlands locale classique (pour GL2(Qp)).
Abstract. — Let Lbe a finite extension of Qp. We construct a (p-adic local Lan-
glands) correspondence attaching to any irreducible, 2-dimensional, L-representation
of GQp, a unitary, admissible, irreducible L-representation Π(V)of GL2(Qp). We
identify the locally analytic and locally algebraic vectors of Π(V), which allows us to
show that this correspondence encodes the classical local Langlands correspondence
(for GL2(Qp)).
Table des matières
Introduction......................................................................... 5
1. Notations...................................................................... 5
2. Cadre général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Dictionnaire d’analyse fonctionnelle p-adique................................ 7
4. Représentations de GL2(Qp), de GQpet (ϕ, Γ)-modules.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5. La représentation DδP1de G............................................. 9
6. Les foncteurs Π7→ D(Π) et Π7→ V(Π)...................................... 11
7. La représentation de GQpattachée à un atome automorphe. . . . . . . . . . . . . . . . 13
8. La contragrédiente d’une représentation de G............................... 14
9. La correspondance de Langlands locale p-adique............................ 15
10. Vecteurs localement analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11. Correspondances p-adique et classique...................................... 17
12. Théorie d’Iwasawa et vecteurs localement algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13. Genèse de l’article. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1. La conférence de Montréal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. La première version de cet article. ... .. .. .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . 21
3. L’étude de la correspondance............................................. 22
14. Organisation de l’article.. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . ... . . . . .. . . . . . .. . . . 23
15. Remerciements............................................................... 24

2PIERRE COLMEZ
I. Généralités sur les (ϕ, Γ)-modules................................................ 24
I.1. Dictionnaire d’analyse fonctionnelle p-adique.............................. 24
1. Le corps E................................................................. 24
2. Fonctions analytiques sur des couronnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. L’action de Γ, les opérateurs ϕet ψ...................................... 26
4. Résidus.................................................................... 26
5. Espaces fonctionnels et séries de Laurent. . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . 26
6. Extension du dictionnaire à Qp........................................... 28
I.2. (ϕ, Γ)-modules étales. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . ... . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . 30
1. Catégories de (ϕ, Γ)-modules.. . .. . . . .. . . .. . . .. . . ... . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . 30
2. Le dual de Tate d’un (ϕ, Γ)-module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Dual de Tate et dual topologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
I.3. (ϕ, Γ)-modules et représentations du mirabolique.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . 32
1. L’équivalence de catégories de Fontaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Les modules Dnr ,D++,D+,D\,D],e D,e D+et e D++ ................... 33
3. Construction de représentations du mirabolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Les P(Qp)-modules DQp,D]Qpet D\Qp...................... 37
I.4. Opérations analytiques sur les (ϕ, Γ)-modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.5. (ϕ, Γ)-modules et lois de réciprocité explicites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1. L’action de Γsur DZ∗
p................................................. 43
2. L’accouplement h,iIw .................................................... 44
II. La correspondance de Langlands locale p-adique pour GL2(Qp).............. 45
II.1. La représentation DδP1de G.......................................... 46
1. Construction............................................................... 46
2. Squelette de l’action de G................................................. 50
3. Torsion par un caractère.................................................. 52
4. Dualité..................................................................... 52
5. Lien entre DδP1et DδQp.......................................... 54
II.2. Les sous-modules D]δP1et D\δP1de DδP1.................... 55
1. Propriétés conditionnées à la stabilité par G............................. 55
2. La représentation conditionnelle Π(D)de G............................. 58
3. Dualité..................................................................... 59
4. Résultats en famille....................................................... 60
II.3. (ϕ, Γ)-modules de rang 2et représentations de GL2(Qp)................ 62
1. La représentation Π(D)attachée à un (ϕ, Γ)-module de rang 2. . . . . . . . . 62
2. Réduction à une famille zariski-dense. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3. Représentations cristallines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Déformation d’un (ϕ, Γ)-module.......................................... 69
III. Représentations de GL2(Qp).................................................. 70
III.1. Représentations lisses de GL2(F)........................................ 70
1. GL2(F)et ses sous-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2. L’arbre de PGL2(F)...................................................... 71
3. Représentations de G...................................................... 73
4. Présentation d’une représentation de G.................................. 75
5. Construction de représentations admettant une présentation standard. . 76
6. Quelques propriétés des présentations standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7. Stabilité par extensions et sous-quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.2. Duaux...................................................................... 81
1. Le dual Π∨d’une OL-représentation Πde G............................. 81
2. L’isomorphisme Π∨∼
=D\
W(Π) δP1..................................... 82
3. L’isomorphisme Π∨∼
=D\
W(Π) δQp.................................... 83
III.3. Représentations de GL2(Qp)............................................. 84
1. Les objets irréductibles de ReptorsG...................................... 85

REPRÉSENTATIONS DE GL2(Qp)ET (ϕ, Γ)-MODULES 3
2. Quelques représentations de B............................................ 86
3. La série principale en caractéristique p................................... 87
4. La steinberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5. Les supersingulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV. Le (ϕ, Γ)-module attaché à une représentation de GL2(Qp). . . . . . . . . . . .. . . . . . 92
IV.1. Le foncteur Π7→ D(Π).................................................... 93
1. P+-modules et (ϕ, Γ)-modules. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . 93
2. Le OE-module D(Π)...................................................... 93
3. La structure de (ϕ, Γ)-module sur D(Π)................................. 94
4. Le morphisme βZp: Π∨→D(Π)......................................... 95
5. L’opérateur ψsur D(Π)................................................... 96
IV.2. Propriétés de finitude du foncteur Π7→ D(Π)............................ 97
1. Calcul des (ϕ, Γ)-modules attachés aux irréductibles de ReptorsG. . . . . . 97
2. Exactitude du foncteur Π7→ D(Π).......................................102
3. Le foncteur Π7→ V(Π)....................................................103
IV.3. Compléments..............................................................103
1. Le morphisme βQp: Π∨→D(Π) Qp..................................103
2. L’application βU: Π∨→D(Π) U......................................105
IV.4. La contragrédiente d’une représentation de GL2(Qp)...................106
1. L’action de wsur D(Π) Z∗
p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2. Le morphisme βP1: Π∨→D(Π) δP1..................................109
3. Unicité de wδ..............................................................111
4. Série principale et (ϕ, Γ)-modules triangulins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. La contragrédiente.........................................................112
6. Exemples..................................................................113
V. Surconvergence et analyticité locale. .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . 116
V.1. Surconvergence.............................................................116
1. (ϕ, Γ)-modules surconvergents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2. Le module e D+
rig ............................................................118
3. L’anneau R(Γ) et ses sous-anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4. Le Γ-module DZ∗
p......................................................121
5. (ϕ, Γ)-modules sur R......................................................124
V.2. Vecteurs localement analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1. L’action de wDsur D†P1..............................................125
2. Le G-module Drig P1...................................................127
3. Caractérisation des vecteurs localement analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4. Estimées préliminaires.. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. 129
5. L’injection de (ˇ Πan)∗dans Drig P1....................................131
6. Description des vecteurs localement analytiques de Π(D)...............134
VI. Correspondances de Langlands p-adique et classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
VI.1. Préliminaires...............................................................135
1. Notations..................................................................135
2. Transformée de Fourier....................................................136
3. Transformées de Fourier et de Mellin, et résidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VI.2. Représentations localement algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1. Caractérisation............................................................139
2. Vecteurs localement algébriques..........................................140
3. L’action du mirabolique sur les fonctions localement polynomiales. . . . . 142
4. Modèle de Kirillov d’une représentation lisse. . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . ... . . . 143
5. Modèle de Kirillov d’une représentation localement algébrique. . . . . . . . . . 146
VI.3. (ϕ, Γ)-modules et théorie de Hodge p-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1. Les modules Ddif ,DSen,DdR.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2. (ϕ, Γ)-modules presque de Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4PIERRE COLMEZ
3. Le cas de la dimension 2..................................................150
4. Résidus et dualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5. Un calcul de résidu........................................................151
VI.4. (ϕ, Γ)-modules presque de Rham de dimension 2........................155
1. Compléments sur l’action de Γ............................................155
2. Les Γ-modules X+Qpet X−Qp....................................157
3. Le module Nrig ............................................................159
4. Le module e N+
rig ............................................................161
5. Le module Nψ=1
rig ..........................................................162
6. Dualité.....................................................................163
VI.5. Irréductibilité de Πalg .....................................................164
1. Une condition d’existence de vecteurs localement algébriques. . . . . . . . . . . 164
2. Le modèle de Kirillov de Πalg .............................................165
3. Vecteurs P-algébriques à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4. Compléments sur les vecteurs localement analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
VI.6. Détermination des vecteurs localement algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1. L’accouplement antisymétrique [,]Iw ....................................172
2. Action de wDsur Drig Z∗
pet ses sous-modules........................173
3. Une condition nécessaire pour la non nullité de Πalg ....................176
4. Dévissage du module Drig P1..........................................177
5. Existence de vecteurs localement algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6. Description des vecteurs localement algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7. Le module de Jacquet de Πalg ............................................182
8. Une seconde copie des vecteurs localement algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9. Indépendance par rapport à la filtration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10. Décomposition des vecteurs localement analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11. Lien avec la correspondance classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
VII. Extensions de représentations de GL2(Qp)...................................193
VII.1. Le foncteur de Jacquet et ses variantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
1. Le foncteur de Jacquet Π7→ J(Π)........................................193
2. Compléments sur le foncteur Π7→ V(Π).................................196
3. Le module e J∨(Π)..........................................................197
VII.2. Extensions de représentations de GL2(Qp).............................199
VII.3. Les atomes galoisiens et leurs (ϕ, Γ)-modules...........................205
1. Atomes galoisiens. .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . 205
2. Les (ϕ, Γ)-modules attachés aux atomes galoisiens. . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . 206
VII.4. Classification des atomes automorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
1. Atomes irréductibles......................................................210
2. Réduction modulo pd’éléments irréductibles de RepLG.................212
3. Atomes de longueur 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4. Extensions de la représentation triviale par la steinberg. . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5. Atomes de longueur 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6. Atomes de longueur 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7. Non exactitude du foncteur D7→ D\P1...............................221
VII.5. Extensions d’atomes automorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
1. Injectivité de Ext1(Π,Π) →Ext1(V(Π),V(Π)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2. Calculs de groupes d’extensions de représentations de G................225
VIII. Annexe : (ϕ, Γ)-modules et cohomologie galoisienne. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. 226
VIII.1. Compléments de théorie d’Iwasawa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1. Cohomologie d’Iwasawa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2. Théorie d’Iwasawa.........................................................228
3. Théorie d’Iwasawa et (ϕ, Γ)-modules.....................................229
VIII.2. La loi de réciprocité explicite de Kato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

REPRÉSENTATIONS DE GL2(Qp)ET (ϕ, Γ)-MODULES 5
Index................................................................................232
Références...........................................................................234
Introduction
1. Notations. — On fixe une clôture algébrique Qpde Qp, et on note GQple
groupe de Galois absolu Gal(Qp/Qp)de Qp. On note χ:GQp→Z∗
ple carac-
tère cyclotomique ; il induit un isomorphisme de Γ = Gal(Qp(µp∞)/Qp)sur Z∗
p.
Si a∈Z∗
p, on note σa∈Γl’élément défini par χ(σa) = a. On note Hle noyau
de χet H0⊂Hle groupe de Galois absolu de l’extension abélienne maximale
de Qp. Enfin, soit Γnr = Gal(Qnr
p/Qp). Alors GQp/H0est l’abélianisé Gab
Qpde GQp,Γ
et Γnr s’identifient naturellement à des sous-groupes de Gab
Qp, et Gab Qp= Γ ×Γnr.
On fixe aussi une extension finie Lde Qpcontenue dans Qp(on peut parfois se
permettre de remplacer Lpar une extension finie ; Lest donc variablement fixe...), et
on note OLl’anneau de ses entiers, mLson idéal maximal et kL=OL/mLson corps
résiduel.
Si Mest un Zp-module, on note OL·Mle OL-module OL⊗ZpM, et si Mest un
OL-module ou un Qp-espace vectoriel, on note L·Mle L-espace vectoriel L⊗OLM
ou L⊗QpM.
On note OEl’anneau des séries de Laurent f=Pk∈ZakTk, à coefficients dans OL
et vérifiant limk→−∞ ak= 0. On note kE=kL((T)) le corps résiduel de OEet
E=OE[1
p]son corps des fractions. Enfin, on note O+
Ele sous-anneau OL[[T]] de OE,
E+le sous-anneau O+
E[1
p]de E, et k+
E=kL[[T]] l’anneau des entiers de kE.
On munit OE,O+
E,kE,k+ E,Eet E+d’actions OL-linéaires continues de Γet du
frobenius ϕ, respectant les structures d’anneaux, en envoyant Tsur ϕ(T) = (1+T)p−1
et σa(T) = (1 + T)a−1, si a∈Z∗
p. Ces actions commutent entre elles.
Si Λest un anneau topologique, soit c T(Λ) l’ensemble des caractères continus
δ:Q∗
p→Λ∗. L’abélianisé Wab
Qpdu groupe de Weil WQpde Qpest isomorphe
àQ∗
pd’après la théorie locale du corps de classes, ce qui permet de voir un élément
de c T(Λ) aussi comme un caractère continu de WQp. De manière explicite, si g∈WQp
et δ∈c T(Λ), alors δ(g)est défini par la formule
δ(g) = δ(p)−deg(g)δ(χ(g)),
où deg(g)est l’entier défini par g(x) = xpdeg(g), si x∈Fp. Si n→δ(pn)se prolonge par
continuité à b Z, alors δse prolonge par continuité à GQp, ce qui permet aussi de voir δ
comme un caractère de GQp. C’est en particulier le cas si Λ = kLou si Λ = Let si δ
est unitaire (i.e. si vp(δ(p)) = 0). En particulier, le caractère x7→ x|x|correspond au
caractère cyclotomique χet sa réduction modulo p, notée ω, correspond au caractère
de Teichmüller.