Dérivée : - Loze

Calcul différentiel applications en sciences de la nature, A. Ross 04
Auto-évaluation
Dérivée :
fonctions algébriques
Solutions
Répondre dans les espaces libres en utilisant les
notations appropriées.
1. a)Donner la définition de la dérivée d’une fonction
f(x).
b)Expliquer ce que représente la fonction dérivée
de f(x).
c)Cette limite est de la forme 0/0. Qu’est-ce qui
nous permet d’avoir l’assurance que le résultat
obtenu a du sens?
2. a)En appliquant la définition de fonction dérivée,
déterminer la dérivée de la fonction définie par :
f(x) = x3 + 2.
b)L’illustration suivante présente deux systèmes
d’axes, dans le premier la fonction f(x) = x3 + 2
est représentée. Représenter sa fonction dérivée
dans le second système d’axes.
16
f(x)
16
12
12
8
f '(0)
8
f '(1)
4
f '(–1)
–2
f '(–1)
–1
–4
f '(x)
1
2
x
–2
4
(1; 3)
f '(1)
–1
–4
–8
–8
–12
–12
f '(0)1
2
x
c)Que désignent les expressions f '(–1), f '(0) et
f '(1). Représenter graphique la valeur obtenue
dans le graphique de la fonction et dans celui de
la fonction dérivée.
f (x + h) − f (x)
.
1. a) f '(x) = lim
h→ 0
h
b)La fonction dérivée donne le taux de variation
ponctuel en un point quelconque (x; f(x)) de la
courbe. C’est une fonction décrivant le comportement du taux de variation ponctuel en fonction
de l’abscisse x du point.
c)On peut lever une indétermination de la forme 0/0,
c’est une discontinuité non-essentielle. En pratique, par des manipulations algébriques, on détermine une expression continue qui a la même
limite lorsque h tend vers 0. On peut alors évaluer
cette limite en posant h = 0.
2. a)En appliquant la définition, on obtient :
(x + h)3 + 2 − (x 3 + 2)
f '(x) = lim
h→ 0
h
3
2
(x + 3x h + 3xh 2 + h 3 + 2)− (x 3 + 2)
= lim
h→ 0
h
2
2
3
3x h + 3xh + h
= lim
h→ 0
h
2
h(3x + 3xh + h 2 )
= lim
h→ 0
h
2
= lim (3x + 3xh + h 2 ) = 3x 2 .
h→ 0
c)f '(–1) = 3×(–1)2 = 3. C’est l’image de –1 par la
fonction dérivée. Elle donne la pente de la tangente
à la courbe de la fonction au point d’abscisse
–1.
f '(0) = 3×02 = 0. C’est l’image de 0 par la fonction
dérivée. Elle donne la pente de la tangente à la
courbe de la fonction au point d’abscisse 0.
f '(1) = 3×12 = 3. C’est l’image de 1 par la fonction
dérivée. Elle donne la pente de la tangente à la
courbe de la fonction au point d’abscisse 1.
Auto-évaluation 04 - solutions
3. a)En appliquant la définition de fonction dérivée,
déterminer la dérivée de la fonction définie par :
f (x) = 2x − 3.
4
b)L’illustration suivante présente deux systèmes
d’axes, dans le premier la fonction f (x) = 2x − 3.
est représentée. Représenter sa fonction dérivée
dans le second système d’axes.
f '(x)
f(x)
4
3
3
f '(2)
2
2
(2; 1)
1
1
2
3
1
4
5
x
f '(2)
1
2
(2; 1)
3
4
5
x
f '(3/2) n’est pas définie.
La tangente est horizontale.
lim f '(x)= ∞.
x→3/2 +
c)Calculer f '(0), f '(3/2) et f '(2). Expliquer ce que
représentent les valeurs obtenues et représenter
celles-ci dans le graphique de la fonction et dans
celui de la fonction dérivée.
4.En appliquant l’opérateur de dérivation, déterminer
la dérivée des fonctions suivantes et trouver le(s)
zéro(s) de la fonction dérivée :
a)f(x) = x2 – 2x + 4
b) f (x)=
x 2 +12
x
3. a)En appliquant la définition, on obtient :
2(x + h)− 3 − 2x − 3
f '(x)= lim
h→ 0
h
2x + 2h− 3 − 2x − 3
= lim
h→ 0
h
2x + 2h− 3 − 2x − 3
2x + 2h− 3 + 2x − 3
= lim
×
h→ 0
h
2x + 2h− 3 + 2x − 3
(2x + 2h− 3)−(2x − 3)
= lim
h→ 0 h( 2x + 2h− 3 + 2x − 3)
2h
= lim
h→ 0 h( 2x + 2h− 3 + 2x − 3)
2
2
1
= lim
=
=
.
h→ 0 ( 2x + 2h− 3 + 2x − 3)
2 2x − 3
2x − 3
c)f '(0) n’est pas définie, 0 n’est pas dans le domaine
de la fonction.
f '(3/2) n’est pas définie. De plus, la limite lorsque
x tend vers 3/2 de f '(x) est l’infini. La tangente
est verticale au point d’abscisse 3/2.
f '(2) = 1. C’est l’image de 2 par la fonction dérivée et la pente de la tangente à la courbe de la
fonction au point d’abscisse 2.
d 2
4. a) (x − 2x + 4) = 2x − 2.
dx
Elle s’annule à 2x – 2 = 0 qui donne x = 1
1
2
 x 2 +12  2x x –(x +12) 2 x
d
b)
=
dx 
x
x 
x
c) f (x)= 2
x + 27
4x 2 –(x 2 +12)
3x 2 −12
2 x
=
=
.
x
2x x
Elle s’annule lorsque 3x2 – 12 = 0 et x2 = 4. On
trouve donc x = ±2, mais –2 est à rejeter car le
domaine de la fonction est ]0; ∞[.
1
c)
(x 2 + 27)− x × 2x


d
x
2
x
=
dx  x 2 + 27 
(x 2 + 27)2
(x 2 + 27)− 4x 2
27− 3x 2
2 x
=
=
.
(x 2 + 27)2
2 x (x 2 + 27)2
Elle s’annule lorsque 27 – 3x2 = 0 et x = ±3, mais
–3 est à rejeter car le domaine de la fonction est
]0; ∞[. La dérivée s’annule donc à x = 3.
Calcul différentiel applications en sciences de la nature, A. Ross 5.Soit y = f (x) = 2x + 1 dont le graphique est donné
ci-dessous. Soit ∆x un accroissement de la variable
x et ∆y l’accroissement de y correspondant à l’accroissement ∆x.
5. b)
f '(x)= lim
∆y dy
(0; 1)
x
x+∆x
(
x
a)Représenter ∆y sur la figure.
b)En utilisant l’opérateur de dérivation, déterminer
f '(x).
c)En posant dx = ∆x, représenter sur la figure la différentielle dy et expliquer ce qu’elle représente.
d)En utilisant la différentielle, estimer l’image de
2,08 par la fonction.
= lim
h→ 0 h
= lim
h→ 0
6. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction
f(x) en x = c.
2 x 3 + 1 si x < 1
a) f ( x ) = 
etc = 1.
si x ≥ 1
x + 2
La fonction est continue en x = 1
puisque les deux segments
y
se joignent en ce point.
Elle n’est pas dérivable en x = 1
puisque la pente est différente
selon qu’on s’approche
par la gauche ou par la droite. (1; 3)
x
)
2x +1
h
2x + 2h − 2x
= lim
h→ 0
h
2x + 2h − 2x
2x + 2h + 2x
= lim
×
h→ 0
h
2x + 2h + 2x
2x + 2h− 2x
= lim
h→ 0 h
2x + 2h + 2x
e
ent
)(
2(x + h) +1 −
h→ 0
f(x)
g
Tan
(
(
(
)
2h
2x + 2h + 2x
2
2x + 2h + 2x
)
)
=
2
1
=
.
2 2x
2x
c)dy est une estimation de la variation ∆y due à une
variation dx = ∆x de la variable indépendante.
d)La différentielle est donnée par dy = f '(x)dx. En
considérant x = 2 et dx = 0,08, on a :
1 1
f '(2)=
= .
4 2
La différentielle est donc :
1
dy 2 = f '(2)dx = × 0,8 = 0,4.
2
6. a) Étudions la continuité en x = 1.
En évaluant la limite à gauche et à droite, on
obtient :
lim− f ( x ) = lim− (2 x 3 + 1) = 3,
x→1
x→1
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 2 ) = 3.
x→1
x→1
La limite existe et de plus, f(1) = 3. Par conséquent, la fonction est continue à x = 1.
Étudions maintenant la dérivabilité.
La limite à gauche de l’expression définissant le
taux ponctuel est donnée par :
f ( x ) − f (1)
2 x3 +1− 3
lim−
= lim−
x→1
x→1
x −1
x −1
3
2 x +1− 3
2x3 − 2
= lim−
= lim−
x→1
x→1
x −1
x −1
2
2( x − 1)(( x + x + 1)
= lim−
x→1
x −1
2
= lim− 2( x + x + 1) = 6.
x→1
La limite à droite de l’expression définissant le
taux ponctuel est donnée par :
Auto-évaluation 04 - solutions
f ( x ) − f (1)
x+2−3
= lim+
x→1
x→1
x −1
x −1
x −1
= lim+
= lim 1 = 1.
x→1 x − 1 x→1+
2( x − 1)( x 2 + x + 1)
= lim−
.
x→1
x −1
Puisque la limite à gauche est différente de la
limite à droite, la limite n’existe pas et la fonction
n’est pas dérivable en x = 1.
b)Étudions la continuité en x = 1.
En évaluant la limite à gauche et à droite, on
obtient :
lim− f ( x ) = lim− (2 x 3 + 1) = 3,
lim+
2 x 3 + 1
si x < 1
etc = 1.
b) f ( x )= 
2
−3x + 12 x − 6 si x ≥ 1
x→1
x→1
lim f ( x ) = lim+ (−3x 2 + 12 x − 6 ) = 3.
x→1
La limite existe et de plus, f(1) = 3. Par conséquent, la fonction est continue à x = 1.
Étudions maintenant la dérivabilité.
La limite à gauche de l’expression définissant le
taux ponctuel est donnée par :
f ( x ) − f (1)
2 x3 +1− 3
lim−
= lim−
x→1
x→1
x −1
x −1
3
2 x +1− 3
2x3 − 2
= lim−
= lim−
x→1
x→1
x −1
x −1
2
2( x − 1)(( x + x + 1)
= lim−
x→1
x −1
2
= lim− 2( x + x + 1) = 6.
x→1
La limite à droite de l’expression définissant le
taux ponctuel est donnée par :
f ( x ) − f (1)
(−3x 2 + 12 x − 6 ) − 3
lim+
= lim+
x→1
x→1
x −1
x −1
2
−3x + 12 x − 9
= lim+
x→1
x −1
2
−3( x − 4 x + 3)
= lim−
x→1
x −1
−3( x − 1)( x − 3)
= lim−
x→1
x −1
= lim− [ −3( x − 3)] = 6.
x→1
Puisque la limite à gauche est égale à la limite à
droite, la limite existe et la fonction est dérivable en x = 1. On peut en déterminer le taux de
variation ponctuel au point d’abscisse 1.
x→1+
La fonction est continue en x = 1
puisque les deux segments
y
se joignent en ce point.
Elle est dérivable en x = 1
puisque la pente est la même
selon qu’on s’approche
(1; 3)
par la gauche ou par la droite.
1
2
3
4 x