Dérivée : - Loze

Calcul différentiel applications en sciences de la nature, A. Ross 1
04
Auto-évaluation
Dérivée :
fonctions algébriques
Répondre dans les espaces libres en utilisant les
notations appropriées.
1. a)Donnerladénitiondeladérivéed’unefonction
f(x).
b)Expliquercequereprésentelafonctiondérivée
de f(x).
c)Cette limite est de la forme 0/0. Qu’est-ce qui
nous permet d’avoir l’assurance que le résultat
obtenuadusens?
2. a)Enappliquantladénitiondefonctiondérivée,
déterminerladérivéedelafonctiondéniepar:
f(x) = x3 + 2.
b)L’illustration suivante présente deux systèmes
d’axes,danslepremierlafonctionf(x) = x3 + 2
estreprésentée.Représentersafonctiondérivée
danslesecondsystèmed’axes.
x
f(x)
1–1–2 2 x
f '(x)
f '(1)
f '(1)
f '(0)
f '(0)
f '(–1)
f '(–1)
1
(1; 3)
–1–2 2
16
12
8
4
–4
–8
–12
16
12
8
4
–4
–8
–12
c)Que désignent les expressions f '(–1), f '(0) et
f '(1). Représenter graphique la valeur obtenue
danslegraphiquedelafonctionetdansceluide
lafonctiondérivée.
1. a)
f'(x)=lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h.
b)La fonction dérivée donne le taux de variation
ponctuel en un point quelconque (x; f(x)) de la
courbe.C’estunefonctiondécrivantlecompor-
tementdutauxdevariationponctuelenfonction
del’abscissexdupoint.
c)Onpeutleveruneindéterminationdelaforme0/0,
c’estunediscontinuiténon-essentielle.Enprati-
que, par des manipulations algébriques, on dé-
termineuneexpressioncontinuequialamême
limitelorsquehtendvers0.Onpeutalorsévaluer
cettelimiteenposanth=0.
2. a)Enappliquantladénition,onobtient:
f'(x)=lim
h→0
(x+h)3+2−(x3+2)
h
=lim
h→0
(x3+3x2h+3xh2+h3+2)−(x3+2)
h
=lim
h→0
3x2h+3xh2+h3
h
=lim
h→0
h(3x2+3xh +h2)
h
=lim
h→0
(3x2+3xh +h2)=3x2.
c) f '(–1) = 3×(–1)2=3.C’estl’imagede–1parla
fonctiondérivée.Elledonnelapentedelatangente
à la courbe de la fonction au point d’abscisse
–1.
f'(0)=3×02=0.C’estl’imagede0parlafonction
dérivée.Elledonnelapentedelatangenteàla
courbedelafonctionaupointd’abscisse0.
f '(1) = 3×12=3.C’estl’imagede1parlafonction
dérivée.Elledonnelapentedelatangenteàla
courbedelafonctionaupointd’abscisse1.
Solutions

2 Auto-évaluation 04 - solutions
3. a)Enappliquantladénitiondefonctiondérivée,
déterminerladérivéedelafonctiondéniepar:
f(x)=2x−3.
b)L’illustration suivante présente deux systèmes
d’axes,danslepremierlafonction
f(x)=2x−3.
estreprésentée.Représentersafonctiondérivée
danslesecondsystèmed’axes.
x
f(x)
x
f '(x)
f '(2)
f '(3/2) n’est pas définie.
La tangente est horizontale.
f '(2) (2; 1)
(2; 1)
1 2 3 4 5
1
4
3
2
1
4
3
2
1
2 3 4 5
lim
x→3/2+f'(x)= ∞.
c)Calculerf '(0),f '(3/2)etf '(2).Expliquerceque
représentent les valeurs obtenues et représenter
celles-cidanslegraphiquedelafonctionetdans
celuidelafonctiondérivée.
4.Enappliquantl’opérateurdedérivation,déterminer
la dérivée des fonctions suivantes et trouver le(s)
zéro(s)delafonctiondérivée:
a) f(x) = x2 – 2x + 4
b)
f(x)=x2+12
x
c)
f(x)=x
x2+27
3. a)Enappliquantladénition,onobtient:
f'(x)=lim
h→0
2(x+h)−3−2x−3
h
=lim
h→0
2x+2h−3−2x−3
h
=lim
h→0
2x+2h−3−2x−3
h
×2x+2h−3+2x−3
2x+2h−3+2x−3
=lim
h→0
(2x+2h−3)−(2x−3)
h( 2x+2h−3+2x−3)
=lim
h→0
2h
h( 2x+2h−3+2x−3)
=lim
h→0
2
( 2x+2h−3+2x−3)
=2
2 2x−3
=1
2x−3.
c) f'(0)n’estpasdénie,0n’estpasdansledomaine
delafonction.
f'(3/2)n’estpasdénie.Deplus,lalimitelorsque
xtendvers3/2def '(x)estl’inni.Latangente
estverticaleaupointd’abscisse3/2.
f'(2)=1.C’estl’imagede2parlafonctiondé-
rivéeetlapentedelatangenteàlacourbedela
fonctionaupointd’abscisse2.
4. a)
d
dx (x2−2x+4) =2x−2.
  Elles’annuleà2x–2=0quidonnex = 1
b)
d
dx
x2+12
x
=
2x x –(x2+12) 1
2x
x
=
4x2–(x2+12)
2x
x=3x2−12
2x x .
  Elles’annulelorsque3x2 –12=0etx2 = 4. On
trouvedoncx=±2,mais–2estàrejetercarle
domainedelafonctionest]0;∞[.
c)
d
dx
x
x2+27
=
1
2x(x2+27)−x×2x
(x2+27)2
=
(x2+27)−4x2
2x
(x2+27)2=27−3x2 2x(x2+27)2.
  Elles’annulelorsque27–3x2 =0etx=±3,mais
–3estàrejetercarledomainedelafonctionest
]0;∞[.Ladérivées’annuledoncàx = 3.

Calcul différentiel applications en sciences de la nature, A. Ross 3
5. b)
f'(x)=lim
h→0
2(x+h)+1
( )
−2x+1
( )
h
=lim
h→0
2x+2h−2x
h
=lim
h→0
2x+2h−2x
h×2x+2h+2x
2x+2h+2x
=lim
h→0
2x+2h−2x
h2x+2h+2x
( )
=lim
h→0
2h
h2x+2h+2x
( )
=lim
h→0
2
2x+2h+2x
( )
=2
2 2x=1 2x.
c) dyestuneestimationdelavariation∆ydueàune
variationdx=∆xdelavariableindépendante.
d)Ladifférentielleestdonnéepardy = f '(x)dx. En
considérantx=2etdx=0,08,ona:
f'(2) =1
4
=1
2.
  Ladifférentielleestdonc:
dy 2=f'(2)dx =1
2
×0,8 =0,4.
6. a) Étudions la continuité en x = 1.
  Enévaluantla limiteàgauche etàdroite, on
obtient:
lim ( ) lim ( ) ,
lim ( ) li
x x
x
f x x
f x
→ →
→
− −
+
= + =
=
1 1
3
1
2 1 3
mm ( ) .
x
x
→++ = 1
2 3
  Lalimiteexisteetdeplus,f(1)=3.Parconsé-
quent,lafonctionestcontinueàx = 1.
Étudions maintenant la dérivabilité.
  Lalimiteàgauchedel’expressiondénissantle
tauxponctuelestdonnéepar:
lim ( ) ( ) lim
lim
x x
x
f x f
x
x
x
→ →
→
− −
−
−=+ − −
=
1 1
3
1
1
2 1 3
1
11
3
1
3
1
2 1 3
1
2 2
1
2 1
− −
−
+ −
−=− −
=−
→
→
x
x
x
x
x
x
x
lim
lim ( )(( )
lim ( ) .
x x
x
x x
x
2
1
2
1
1
2 1 6
+ +
−
= + + =
→−
  Lalimiteàdroitedel’expressiondénissantle
tauxponctuelestdonnéepar:
5.Soit
y=f(x)=2x+1
dontlegraphiqueestdonné
ci-dessous.Soit∆xunaccroissementdelavariable
xet∆yl’accroissementdeycorrespondantàl’ac-
croissement∆x.
x
xx+∆x
∆ydy
f(x)
(0; 1)
Tangente
a)Représenter∆ysurlagure.
b)Enutilisantl’opérateurdedérivation,déterminer
f '(x).
c)Enposantdx=∆x,représentersurlagureladif-
férentielledyetexpliquercequ’ellereprésente.
d)Enutilisantladifférentielle,estimerl’imagede
2,08parlafonction.
6.Étudierlacontinuitéetladérivabilitédelafonction
f(x) en x = c.
a)
f x x x
x x c( ) .=+ < + ≥
=
2 1 1
2 1 1
3si
si et
x
y
(1; 3)
La fonction est continue en x = 1
puisque les deux segments
se joignent en ce point.
Elle n’est pas dérivable en x = 1
puisque la pente est différente
selon qu’on s’approche
par la gauche ou par la droite.

4 Auto-évaluation 04 - solutions
b)
f x x x
x x x c( )=+ < − + − ≥
2 1 1
3 12 6 1
3
2
si
si et ==1.
lim ( ) ( ) lim
lim
x x
x
f x f
x
x
x
→ →
→
+ +
+
−
−=+ − −
=
1 1
1
1
1
2 3
1
xx
x
x x x
x
x
x
−
−= =
=− + +
−
→
→
+
−
1
11 1
2 1 1
1
1
2
lim .
lim ( )( )
11 .
  Puisquelalimiteàgaucheestdifférentedela
limiteàdroite,lalimiten’existepasetlafonction
n’estpasdérivableenx = 1.
b) Étudions la continuité en x = 1.
  Enévaluantla limiteàgauche etàdroite, on
obtient:
lim ( ) lim ( ) ,
lim ( ) li
x x
x
f x x
f x
→ →
→
− −
+
= + =
=
1 1
3
1
2 1 3
mm ( ) .
x
x x
→+− + − = 1
2
3 12 6 3
  Lalimiteexisteetdeplus,f(1)=3.Parconsé-
quent,lafonctionestcontinueàx = 1.
Étudions maintenant la dérivabilité.
  Lalimiteàgauchedel’expressiondénissantle
tauxponctuelestdonnéepar:
lim ( ) ( ) lim
lim
x x
x
f x f
x
x
x
→ →
→
− −
−
−=+ − −
=
1 1
3
1
1
2 1 3
1
11
3
1
3
1
2 1 3
1
2 2
1
2 1
− −
−
+ −
−=− −
=−
→
→
x
x
x
x
x
x
x
lim
lim ( )(( )
lim ( ) .
x x
x
x x
x
2
1
2
1
1
2 1 6
+ +
−
= + + =
→−
  Lalimiteàdroitedel’expressiondénissantle
tauxponctuelestdonnéepar:
lim ( ) ( ) lim ( )
x x
f x f
x
x x
x
→ →
+ +
−
−=− + − − −
1 1
2
1
1
3 12 6 3
11
3 12 9
1
3 4 3
1
2
1
2
=− + −
−
=− − +
→
→
+
−
lim
lim ( )
x
x
x x
x
x x
x−−
=− − −
−
= − −
→
→
−
−
1
3 1 3
1
3 3
1
1
lim ( )( )
lim [ ( )]
x
x
x x
x
x== 6.
  Puisquelalimiteàgaucheestégaleàlalimiteà
droite,lalimiteexisteetlafonctionestdériva-
ble en x=1.Onpeutendéterminerletauxde
variationponctuelaupointd’abscisse1.
x
y
(1; 3)
1 2 3 4
La fonction est continue en x = 1
puisque les deux segments
se joignent en ce point.
Elle est dérivable en x = 1
puisque la pente est la même
selon qu’on s’approche
par la gauche ou par la droite.