Equations Cours

Chapitre 4 : Equations - Inéquations
I – Résolution graphique d’équations :
I . 1 . Résolution graphique d’équations de la forme f ( x ) = k :
Propriétés : Soient (O; I , J ) un repère orthogonal , f une fonction définie sur Df
et représentée par la courbe Cf et k une constante réelle .
Les solutions de l’équation f ( x ) = k sont les abscisses des points de Cf
dont l’ordonnée est k .
Exemple :
On considère la fonction f représentée ci - dessous dans un repère orthonormé .
Résoudre graphiquement
l’équation f ( x ) = 2
Justifier .
- n° 1 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau )
- n° 2 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau )
1
I . 2 . Résolution graphique d’équations de la forme f ( x ) = g ( x ) :
-
Propriété :
Les solutions de l’équation f ( x ) = g ( x ) sont les abscisses des points
d’intersection des courbes Cf et Cg .
Exemple :
Sachant que f est la fonction affine représentée ci – dessous et g l’autre fonction ,
résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = g ( x ) . Justifier .
n° 3 feuille 4 : applications
2
II – Résolution graphique d’inéquations :
II . 1 . Résolution graphique d’équations de la forme f ( x ) = k et
d’inéquations de la forme f ( x ) < k :
Propriétés : Soient (O; I , J ) un repère orthogonal , f une fonction définie sur Df
et représentée par la courbe Cf et k une constante réelle .
Les solutions de l’inéquation f ( x ) < k sont les abscisses des points de Cf
dont l’ordonnée est strictement inférieure à k .
Exemple :
On considère la fonction f représentée ci - dessous dans un repère orthonormé .
Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < 3
- n° 4 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau )
- n° 5 feuille 4 : applications ( unités graphiques : 1 carreau )
3
II . 2 . Résolution d’inéquations de la forme f ( x ) < g ( x ) :
Propriété : Les solutions de l’inéquation f ( x ) < g ( x ) sont les abscisses des points
de la courbe Cf situés entièrement en – dessous de la courbe Cg .
Exemple :
-
Sachant que f est la fonction affine représentée ci – dessous et g l’autre fonction ,
résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) > g ( x ) . Justifier .
n° 6 feuille 4 : applications
4
II . 3 . Signe d’une fonction :
Exemple :
On considère la fonction f représentée ci - dessous :
Dresser le tableau de signes de la fonction f .
x
Signe de f ( x )
−5
−
+
5
2
0
−
−
1
2
0
2
+
0
4
+
- n° 7 feuille 4 : courbe → tableau de signes de f
- n° 8 feuille 4 : courbe → tableau de signes de f
- n° 9 feuille 4 : copie écran calculatrice → tableau de signes de f
II . 4 . Positions relatives de deux courbes :
Méthode : Pour décrire les positions relatives de deux courbes C f et C g il faut résoudre l’équation
f ( x ) = g ( x ) et les inéquations f ( x ) > g ( x ) et
f ( x) < g ( x) .
On présente le résultat sous la forme d’un tableau .
Exemple :
Construire le tableau des positions
relatives des courbes C f et C g .
5
-
n° 10 feuille 4 : applications
III – Transformer une expression algébrique :
III . 1 . Développer une expression algébrique :
Définition :
Développer , c’est transformer un produit en somme .
Propriétés :
1) Quelque soient les réels a , b et c :
a(b + c) = ab + ac .
2) a) Quelque soient les réels a , b , c et d :
b) Identités remarquables :
Exemples :
(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd .
n° 2
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2
n° 3
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
n° 1
Développer ( et réduire si nécessaire ) les expressions algébriques suivantes :
(
A=3 2+ 5
)
D( x) = (2 x − 3) 2
B ( x) = ( 2 + x )( 9 x − 1)
E ( x) = (3x − 5)(3x + 5)
III . 2 . Factoriser une expression algébrique :
Définition :
Factoriser , c’est transformer une somme en produit .
Propriétés :
1) Quelque soient les réels a , b et c :
ab + ac = a(b + c) .
a 2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a 2 − 2ab + b2 = (a − b)2
2) Factorisations remarquables :
a 2 − b2 = (a − b)(a + b)
Exemples :
Factoriser les expressions algébriques suivantes :
A( x) = ( x + 2)( x − 1) + ( x + 2)( x + 3)
C ( x) = 4 x 2 − 12 x + 9
B( x) = x 2 + 2 x + 1
D( x ) = x 2 − 4
6
(
C = 4+ 3
)
2
III . 3 . Démontrer une égalité :
Question :
Démontrer que , pour tout nombre 𝑥 , on a : ( x − 4)2 + ( x − 4) = ( x − 4)( x − 3)
1ère méthode : On part d’un des deux membres de l’égalité et on transforme son écriture pour obtenir
l’autre membre de l’égalité .
Exemple :
Pour tout 𝑥 :
( x − 4)2 + ( x − 4) = ( x − 4) × ( x − 4) + ( x − 4) ×1
= ( x − 4) [( x − 4) + 1]
= ( x − 4)( x − 3)
2nde méthode : Séparément , on transforme l’écriture de chacun des deux membres pour démontrer
qu’ils sont tous les deux égaux à un même expression .
Exemple :
Pour tout 𝑥 :
( x − 4)2 + ( x − 4) = x 2 − 8x + 16 + x − 4
= x 2 − 7 x + 12
( x − 4)( x − 3) = x 2 − 3x − 4 x + 12
= x 2 − 7 x + 12
Donc ( x − 4)2 + ( x − 4) = ( x − 4)( x − 3)
3ième méthode : On transforme l’écriture de la différence entre les deux membres de l’égalité pour
obtenir 0 .
Exemple :
Pour tout 𝑥 :
( x − 4)2 + ( x − 4) − ( x − 4)( x − 3) = ( x − 4) × ( x − 4) + ( x − 4) ×1 − ( x − 4)( x − 3)
= ( x − 4) [( x − 4) + 1 − ( x − 3) ]
= ( x − 4)( x − 4 + 1 − x + 3)
= ( x − 4) × 0
=0
2
Donc ( x − 4) + ( x − 4) = ( x − 4)( x − 3)
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IV – Premier degré :
IV . 1 . Résolution d’équations du 1er degré :
Un peu de culture
Lemot"Algèbre"vientdel’arabe"aldjabr"quisignifie"larestauration"ausensde"laréuniondece
quiaétécassé".Cemotétaitutilisépourqualifierlasciencedurebouteuxquisaitremettreenplaceles
osbrisés.Ilestpassédanslalangueespagnoleoù"algebrista"désigneencorelerebouteux.
Ilestapparu,lapremièrefois,dansunlivreintitulé"Ilmaldjabrw’almuqàbalah",écriten830parun
astronomearabe.Ils’agitalorsderésoudreuneéquationàl’aided’un"rééquilibrage"entrelesdeux
membres,commepourunebalance.
Définition :
On appelle équation du 1er degré toute équation pouvant s’écrire sous la forme
ax + b = 0 avec a ≠ 0 .
Elle admet pour unique solution : x = −
-
b
a
Remarque :
Pour résoudre certaines équations du 1er degré , on doit les développer .
Exemple :
Résoudre dans R l’équation 8 ( x + 2) − 3 ( x − 1) = 5 − 3x .
n° 11 feuille 4 : problème
n° 12 feuille 4 : problème
IV . 2 . Résolution d’inéquations du 1er degré :
Méthode : La méthode est pratiquement la même que pour les équations mais au moment de diviser
ou multiplier chacun des membres par un même nombre, il faut faire attention au signe de
ce nombre. S’il est négatif, le sens de l’inégalité est inversé !
Exemple :
-
Résoudre dans R l’inéquation 2 x − 5 ≤ 3 x + 7 .
n° 13 feuille 4 : applications
n° 14 feuille 4 : systèmes
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V – Degrés strictement supérieur à 1 :
V . 1 . Equation produit nul :
Définition :
On appelle équation – produit nul toute équation pouvant s’écrire sous la forme
A( x) × B( x) = 0 .
Elle est équivalente à ( c’est – à – dire qu’elle a les mêmes solutions que ) : A( x) = 0
ou B( x) = 0
Exemple : Résoudre l’équation : ( x + 4)( x − 1) = 0
-
n° 15 feuille 4 : applications
V . 2 . Equation se ramenant à une équation produit nul :
Méthode pour résoudre une équation sans inconnue au dénominateur :
1) On soustrait les deux membres de l’équation pour avoir 0 dans le membre de droite .
2) On factorise le membre de gauche pour obtenir une équation produit – nul .
3) On résout cette équation produit – nul .
Exemple :
-
Résoudre dans ° l’équation : ( x − 3)2 = 16
n° 16 feuille 4 : un petit mélange .
n° 17 feuille 4 : utilisation de la forme la plus adaptée pour résoudre une équation .
n° 18 feuille 4 : problème ( avec double et cube ) .
n° 19 feuille 4 : problème ( avec aire carré ) .
VI – Résolution d’équations - quotient :
VI . 1 . Equation quotient - nul :
Définition :
On appelle équation – quotient nul toute équation pouvant s’écrire sous la forme
A( x)
=0 .
B( x)
Elle est équivalente à ( c’est – à – dire qu’elle a les mêmes solutions que ) : A( x) = 0
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et B( x) ≠ 0
Exemple : Résoudre dans ° l’équation :
-
2x + 6
=0
3 x − 12
n° 20 feuille 4 : applications
V . 2 . Equation se ramenant à une équation quotient - nul :
Méthode pour résoudre une équation avec inconnue au dénominateur :
1) On cherche les valeurs interdites .
2) On soustrait les deux membres de l’équation pour avoir 0 dans le membre de droite .
3) On réduit au même dénominateur le membre de gauche pour obtenir une équation quotient – nul .
4) On résout cette équation quotient – nul ( en tenant compte des valeurs interdites ).
Exemple :
-
Résoudre dans ° l’équation :
x+3
4
=
x + 5 x −1
n° 21 feuille 4 : applications .
n° 22 feuille 4 : problème ( avec fonction carré et inverse ) .
n° 23 feuille 4 : abscisses des points d’intersection de la fonction inverse et de la fonction identité (
conjecture à la calculatrice puis résolution algébrique )
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