Equations du premier degré à une inconnue

Equations du premier degré à une inconnue
Dénitions: •Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle gure un nombre
inconnu, représenté en général par une lettre.
•Résoudre une équation d'inconnue x, c'est trouver toutes les valeurs que l'on
peut donner à xpour que l'égalité soit vraie ; ces valeurs sont les solutions
de l'équation.
Exemple: 2x11
| {z }
1er membre
= 7 x
| {z }
2emembre
Elle est dite « du premier degré » car le plus grand exposant de
l'inconnue xest 1.
Exemple: 4x37x8 = 0 Ce n'est pas une équation du premier degré : c'est une équation
de degré 3 car le plus grand exposant de l'inconnue xest 3.
Propriétés: •Quand on ajoute (ou quand on soustrait) un même nombre aux deux membres
d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui est équivalente à la pre-
mière, c'est à dire qu'elle a les mêmes solutions.
•Quand on multiplie (ou quand on divise) par un même nombre non nul les deux
membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui est équivalente
à la première.
Exemple: Résolvons l'équation 2x11 = 7 x. Soit xun nombre réel. On a alors :
2x11 = 7 x⇔2x11 + 11 = 7 x+11
⇔2x= 18 x
⇔2x+x= 18 x+x
⇔3x= 18
⇔3x
3=18 3
⇔x= 6
On en déduit donc qu'il y a une seule solution à l'équation 2x11 = 7 x, et que cette
solution est 6.
1/2

Exemple: Mise en équation. Simon a 15 ans et son père a 41 ans.
Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de l'âge de Simon ?
Méthode: i. Choisir l'inconnue.
ii. Mettre le problème en équation.
iii. Résoudre l'équation obtenue.
iv. Vérier et conclure en revenant au problème posé.
i. Choix de l'inconnue : on note xle nombre d'années cherché.
ii. Mise en équation :
Aujourd'hui Dans xannées
Âge de Simon 15 ans (15 + x) ans
Âge du père 41 ans (41 + x) ans
On cherche donc le nombre xtel que 2(15 + x) = 41 + x.
iii. Résolution de l'équation. Soit xun nombre réel. On a alors :
2(15 + x) = 41 + x⇔30 + 2x= 41 + x
⇔30 + 2x−x= 41 + x−x
⇔30 + x= 41
⇔30 + x−30 = 41 −30
⇔x= 11
iv. Vérication et conclusion : dans 11 ans, Simon aura 15 + 11 = 26 ans et son
père aura 41 + 11 = 52 ans. On a bien : 52 = 2 26. Le père de Simon aura le
double de l'âge de son ls dans 11 ans. On a montré que c'était l'unique solution
au problème posé.
2/2