Equations du premier degré à une inconnue

Equations du premier degré à une inconnue
Dé nitions:
• Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle
inconnu, représenté en général par une lettre.
gure un nombre
• Résoudre une équation d'inconnue x, c'est trouver toutes les valeurs que l'on
peut donner à x pour que l'égalité soit vraie ; ces valeurs sont les solutions
de l'équation.
Exemple:
2x
| {z 11} = |7 {z x}
1er
Exemple:
membre
4x3
Propriétés:
2e
membre
Elle est dite « du premier degré » car le plus grand exposant de
l'inconnue x est 1.
7x 8 = 0 Ce n'est pas une équation du premier degré : c'est une équation
de degré 3 car le plus grand exposant de l'inconnue x est 3.
• Quand on ajoute (ou quand on soustrait) un même nombre aux deux membres
d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui est équivalente à la première, c'est à dire qu'elle a les mêmes solutions.
• Quand on multiplie (ou quand on divise) par un même nombre non nul les deux
membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui est équivalente
à la première.
Exemple: Résolvons l'équation 2x 11 = 7 x. Soit x un nombre réel. On a alors :
2x 11 = 7 x ⇔
⇔
⇔
⇔
2x 11 + 11 = 7 x + 11
2x = 18 x
2x + x = 18 x + x
3x = 18
3x 18
=
⇔
3
3
⇔ x=6
On en déduit donc qu'il y a une seule solution à l'équation 2x 11 = 7 x, et que cette
solution est 6.
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Exemple: Mise en équation. Simon a 15 ans et son père a 41 ans.
Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de l'âge de Simon ?
Méthode:
i. Choisir l'inconnue.
ii. Mettre le problème en équation.
iii. Résoudre l'équation obtenue.
iv. Véri er et conclure en revenant au problème posé.
i. Choix de l'inconnue : on note x le nombre d'années cherché.
ii. Mise en équation :
Aujourd'hui Dans x années
Âge de Simon
15 ans
(15 + x) ans
Âge du père
41 ans
(41 + x) ans
On cherche donc le nombre x tel que 2(15 + x) = 41 + x.
iii. Résolution de l'équation. Soit x un nombre réel. On a alors :
2(15 + x) = 41 + x ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
30 + 2x = 41 + x
30 + 2x − x = 41 + x − x
30 + x = 41
30 + x − 30 = 41 − 30
x = 11
iv. Véri cation et conclusion : dans 11 ans, Simon aura 15 + 11 = 26 ans et son
père aura 41 + 11 = 52 ans. On a bien : 52 = 2 26. Le père de Simon aura le
double de l'âge de son ls dans 11 ans. On a montré que c'était l'unique solution
au problème posé.
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