TSTI2D CH V : Fonction exponentielle

TSTI2D CH V Fonction exponentielle
1
TSTI2D CH V : Fonction exponentielle
A la découverte d’une nouvelle fonction de référence
Les calculatrices possèdent une touche
x
e
qui correspond à une fonction appelée fonction exponentielle.
On note cette fonction : exp.
L’image d’un réel x par la fonction exponentielle est noté
exp x
et se lit « exponentielle de x ».
Le but de cette activité est de découvrir certaines propriétés de la fonction exponentielle.
1. Calcul d’images
a) Image de 1
Sur la calculatrice on tape la séquence :
x
e
1
ENTER
. Affichage :
Définition : L’image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre noté e.
La valeur arrondie à 10-2 de e est 2,72.
b) Compléter le tableau ci-dessous à l’aide de la calculatrice :
2. Courbe représentative
Sur l’écran de la calculatrice on obtient la courbe suivante
représentative de la fonction exp.
Par lecture graphique, conjecturer les résultats suivants :
L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est …..
Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition :
………………………………………………………………………………
Le sens de variation de la fonction exponentielle :
…………………………………………………………………………………
Le signe de la fonction exponentielle :
…………………………………………………………………………………
x
- 4
- 2
- 0,5
0
0,5
1
4
3
2
5
Valeur arrondie à
2
10
de
exp x

TSTI2D CH V Fonction exponentielle
2
3. Propriété de la fonction exponentielle
Avec la calculatrice on obtient :
Les doites tracées sur ces quatre graphiques semblent être tangentes à la courbe de la fonction
exponentielle.
Compléter le tableau suivant :
x
-1
0
1
2
exp x
exp' x
Quelle conjecture peut-on faire sur la dérivée de la fonction exponentielle ?

TSTI2D CH V Fonction exponentielle
3
I La fonction exponentielle
1) Définition
La fonction exponentielle est la fonction notée exp, définie et dérivable sur telle que :
Pour tout x réel
exp' expxx
et
exp 0 1
.
2) Signe de la fonction exponentielle ( admis)
Pour tout x réel,
exp 0x
.
3) Etude de la fonction exponentielle
a) Limites (résultats admis )
lim exp
xx
et
lim exp 0
xx
La droite d’équation
0y
est asymptote à la courbe représentative de exp en .
b) Sens de variation
Pour tout x réel,
exp' expxx
et
exp 0x
donc
exp' 0x
.
La fonction exp est strictement croissante sur .
c) Tableau de variation
x
exp' x
Variation
de exp
d) Courbe représentative
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de la fonction exp aux points
d’abscisses respectives 0 et 1. Tracer ces tangentes dans le repère ci-dessus.
y=exp(x)
2 3 4 5 6-1-2-3-4
2
3
4
5
6
7
-1
0 1
1

TSTI2D CH V Fonction exponentielle
4
4) Notation
L’image par 1 de la fonction exponentielle est noté e.
On convient de noter
x
e
l’image de x par la fonction exponentielle.
On a donc, pour tout x réel,
exp x xe
.
En particulier :
1exp 1ee
et
0exp 0 1e
.
Exercice 1
Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur .
a)
:3
x
f x x e
; b)
2
:2
x
g x x x e
; c)
:x h x xe
; d)
1
:1
x
x
e
kx e
.
Exercice 2
A l’aide des théorèmes sur les limites, déterminer les limites suivantes :
a)
2
lim x
xxe
; b)
lim 4 x
xxe
; c)
1
lim 3 x
xe
x
; d)
lim 2x
x
ex
e
.
Exercice 3
La fonction f est définie sur par
3x f x x e
. Calculer sa dérivée et en déduire son sens de
variation.
5) Propriétés algébriques
Théorème ( admis )
Pour tous réels a et b et tout entier relatif n
a b a b
e e e
;
1
bb
ee
;
a
ab b
e
ee
Exemples
4
3 5 3 2 5
2
34 1
.......... ; ............... ; ............. ;
1
............ ; ................. ; ...........;
e
e e e e e
e e e e e
.
Exercice 4
1) Simplifier les expressions suivantes définies pour tout x réel:
2 1 3 ........................ x
ee
;
33
..........................
xx
ee
;
3........................
x
x
ee
e
;
2
12
.............................
xx
ee
.
2) Démontrer que pour tout x réel,
2
11
x
x x x
e
e e e
.
II Equations, inéquations
1) Propriétés
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
On en déduit les propriétés suivantes.
Pour tous réels a, b :
ab
ab
e e a b
e e a b

TSTI2D CH V Fonction exponentielle
5
2) Résolution d’équations et d’inéquations
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes :
32
1:x
E e e
;
4
2
( ): x E e e
;
31
:xx Ee e
;
32
1
4:xx
e
Ee
e
;
35
5: 2 3 0
xx
E e e e  
.
Exercice 6
Résoudre les inéquations suivantes :
2
1
( ): 1
x
Ie
;
3 1 2
2:xx
I e e
;
3
3: 1 1 0
xx
I e e
.
Exercice 7
1) a) Résoudre l’équation :
2
2 1 0XX  
.
b) En déduire la résolution de l’équation :
2
2 1 0
xx
ee  
.
2) a) En utilisant 1) a), factoriser
2
21XX
.
b) En déduire la forme factorisés de
2
21
xx
ee
et étudier son signe.
Exercice 8
Soit h la fonction définie sur par
x
h x e x
.
1) Etude du sens de variation de h.
a) Calculer
'hx
.
b) Résoudre
10
x
e
et
10
x
e
. En déduire le signe de
'hx
.
c) Déterminer le sens de variation de h et préciser le minimum de h.
2) a) Justifier que pour tout x réel,
x
ex
.
b) En déduire que
lim x
xe
.
III Compléments
1) Croissances comparées
Quand on obtient des formes indéterminées concernant
ex
et des puissances de x, on utilise les résultats
suivants:
Pour tout entier naturel lim ; lim 0.
xnx
n
xx
e
n x e
x
On dit que “ l’exponentielle l’emporte sur les puissances de x” .
Exercice 9
Calculer les limites suivantes :
lim
x exx2x
 0
lim
x
ex3
x
lim
x
x2
ex
2) Exponentielle d’une fonction : eu
On considère une fonction u définie sur un intervalle I.
La fonction qui à tout x réel de I associe
ux
e
se note
u
e
.