TSTI2D CH V : Fonction exponentielle

TSTI2D
CH V : Fonction exponentielle
A la découverte d’une nouvelle fonction de référence
Les calculatrices possèdent une touche e x qui correspond à une fonction appelée fonction exponentielle.
On note cette fonction : exp.
L’image d’un réel x par la fonction exponentielle est noté exp  x  et se lit « exponentielle de x ».
Le but de cette activité est de découvrir certaines propriétés de la fonction exponentielle.
1. Calcul d’images
a) Image de 1
Sur la calculatrice on tape la séquence : ex 1 ENTER .
Affichage :
Définition : L’image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre noté e.
La valeur arrondie à 10-2 de e est 2,72.
b) Compléter le tableau ci-dessous à l’aide de la calculatrice :
x
-4
-2
- 0,5
0
0,5
1
4
3
2
5

Valeur arrondie à
102 de exp  x 
2. Courbe représentative
Sur l’écran de la calculatrice on obtient la courbe suivante
représentative de la fonction exp.
Par lecture graphique, conjecturer les résultats suivants :
L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est …..
Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition :
………………………………………………………………………………
Le sens de variation de la fonction exponentielle :
…………………………………………………………………………………
Le signe de la fonction exponentielle :
…………………………………………………………………………………
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1
3. Propriété de la fonction exponentielle
Avec la calculatrice on obtient :
Les doites tracées sur ces quatre graphiques semblent être tangentes à la courbe de la fonction
exponentielle.
Compléter le tableau suivant :
x
exp  x 
-1
0
1
2
exp'  x 
Quelle conjecture peut-on faire sur la dérivée de la fonction exponentielle ?
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I La fonction exponentielle
1) Définition
La fonction exponentielle est la fonction notée exp, définie et dérivable sur
Pour tout x réel exp'  x   exp  x  et exp  0  1.
telle que :
2) Signe de la fonction exponentielle ( admis)
Pour tout x réel, exp  x   0 .
3) Etude de la fonction exponentielle
a) Limites (résultats admis )
lim exp  x    et lim exp  x   0
x 
x 
La droite d’équation y  0 est asymptote à la courbe représentative de exp en  .
b) Sens de variation
Pour tout x réel, exp'  x   exp  x  et exp  x   0 donc exp'  x   0 .
La fonction exp est strictement croissante sur
.
c) Tableau de variation


x
exp'  x 
Variation
de exp
d) Courbe représentative
7
y=exp(x)
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de la fonction exp aux points
d’abscisses respectives 0 et 1. Tracer ces tangentes dans le repère ci-dessus.
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3
4) Notation
L’image par 1 de la fonction exponentielle est noté e.
On convient de noter e x l’image de x par la fonction exponentielle.
On a donc, pour tout x réel, exp  x   e x .
En particulier : e1  exp 1  e et e0  exp  0  1.
Exercice 1
Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur
a) f : x
x  3  e x ; b) g : x
x 2  2 x  e x ; c) h : x
.
x
xe ; d) k : x
Exercice 2
A l’aide des théorèmes sur les limites, déterminer les limites suivantes :
1

 e x
a) lim  x 2  e x  ; b) lim   x  4e x  ; c) lim   3e x  ; d) lim 
x  x
x  2  e x
x 
x 



Exercice 3
La fonction f est définie sur
ex 1
.
ex 1

.

par f  x    x  3 e x . Calculer sa dérivée et en déduire son sens de
variation.
5) Propriétés algébriques
Théorème ( admis )
Pour tous réels a et b et tout entier relatif n
ea
1
a b
b
a b
a
b
e  e e ; e  b ; e  b
e
e
Exemples
e4
 ............. ;
e5
.
1
4
 ............ ; e  e  ................. ; e  1  ...........;
e
e3  e5  .......... ; e3  e 2  ............... ;
e 
3
2
Exercice 4
1) Simplifier les expressions suivantes définies pour tout x réel:
e2 x 1e3  ........................ ; e3 x e x3  .......................... ;
2
exe
 ........................ ;  e1 x  e2 x  ............................. .
3x
e
1
ex
2) Démontrer que pour tout x réel, x  x  2 x
.
e e
e 1
II Equations, inéquations
1) Propriétés
La fonction exponentielle est strictement croissante sur
On en déduit les propriétés suivantes.
.
Pour tous réels a, b :
ea  eb  a  b
ea  eb  a  b
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2) Résolution d’équations et d’inéquations
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes :
 E1  : e3x  e2 ; ( E2 ) : e4 x  e ;  E3  : e x 
Exercice 6
Résoudre les inéquations suivantes :
( I1 ) : e 2 x  1 ;
 I2  : e3x1  e2 x
;
2
e x 3
1
E
:
  e  x 1  ;  E5  :  2e x  3 e3 x  e5   0 .
;


4
x
e
e
 I3  :  e3x  1 e x 1  0 .
Exercice 7
1) a) Résoudre l’équation : 2 X 2  X  1  0 .
b) En déduire la résolution de l’équation : 2e2 x  e x  1  0 .
2) a) En utilisant 1) a), factoriser 2 X 2  X  1.
b) En déduire la forme factorisés de 2e2 x  e x  1 et étudier son signe.
Exercice 8
Soit h la fonction définie sur
par h  x   ex  x .
1) Etude du sens de variation de h.
a) Calculer h '  x  .
b) Résoudre e x  1  0 et e x  1  0 . En déduire le signe de h '  x  .
c) Déterminer le sens de variation de h et préciser le minimum de h.
2) a) Justifier que pour tout x réel, e x  x .
b) En déduire que lim e x   .
x 
III Compléments
1) Croissances comparées
Quand on obtient des formes indéterminées concernant e x et des puissances de x, on utilise les résultats
suivants:
ex
Pour tout entier naturel n lim n
x
x
;
lim x n e x
x
0.
On dit que “ l’exponentielle l’emporte sur les puissances de x” .
Exercice 9
Calculer les limites suivantes :
lim e x  x 0
x
x
2
ex  3
x x
lim
x2
x
x e
lim
2) Exponentielle d’une fonction : eu
On considère une fonction u définie sur un intervalle I.
La fonction qui à tout x réel de I associe e
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u x
se note e u .
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Exemple : On considère la fonction f définie sur
par f  x   e2 x3 . En notant u la fonction définie
par u  x   2x  3 , on a f  eu .
sur
a) Ensemble de définition
La fonction e u a le même ensemble de définition que la fonction u.
b) Dérivée de eu
Théorème
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction e u est dérivable sur I et sa dérivée est : eu '  u ' eu .
 
Exercice 10
Calculer les dérivées des fonctions suivantes définies sur
a) f  x   e
1,2 x  2
; b) g  x   ex  3  e
x 3
par :
; c) h  x    4x  3 e2 x1 ; k  x    2 x  1 e x .
2
c) Limite
On utilise le théorème donnant la limite d’une fonction composée.
Exercice 11
Calculer les limites suivantes :


lim e0,2 x 3 ;
x 

lim e2 x 1
x 

d) Etude de fonctions
Exercice 12
On considère la fonction f définie sur
par f  x   0,5x  2  e0,5 x1 et Cf sa courbe représentative dans
un repère orthonormal.
a) Etudier le sens de variation de la fonctions f .
b) Calculer les limites de f en  et en  .
c) Montrer que la droite D d’équation y  0,5 x  2 est asymptote oblique à Cf en  .
d) Etudier la position relative de Cf et D.
e) Tracer Cf et D.
Exercice 13
On considère la fonction g définie sur
par g  x    2x  1 e x1 et C la courbe représentative de g dans
un repère orthonormal .
a) Etudier le sens de variation de g.
b) Calculer la limite de g en  .
 2x 1
c) Vérifier que pour tout x réel, g  x   e  x  x
e
e
déduire pour C ?
d) Dresser le tableau de variation de g .
e) Tracer la courbe C.
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
 . En déduire la limite de g en  . Que peut-on en

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