AP TS Séance 2 - M. Philippe.fr

AP TS Séance 2
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues :
•
l'une que l'on nomme SUCCES notée S de probabilité p
•
l'autre nommée ECHEC notée S de probabilité 1 – p
p est appelé le paramètre de cette épreuve
Définition Soit p un réel de l'intervalle [ 0 ;1] et n un entier naturel.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à répéter dans des conditions identiques une
épreuve de Bernoulli de paramètre p avec au maximum n répétitions et arrêt du processus au premier succès.
On appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p la loi de la variable aléatoire X définie par :
•
X = 0 si aucun succès n'a été obtenu
•
pour 1 ≤ k ≤ n , X = k si le premier succès est obtenu à l'étape k
a) Représenter par un arbre cette expérience dans le cas n = 4
b) En déduire la loi de probabilité de X dans ce cas (n = 4)
c) Compléter alors le cas général :
Théorème : Loi géométrique tronquée
Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique tronquée de paramètres n ∈ ℕ* et p ∈ [0;1].
• P( X = 0 ) =
•
pour 1 ≤ k ≤ n P( X = k ) =
Application
Partie 1
On lance un dé équilibré jusqu'à
quatre fois de suite, l'expérience
s'arrêtant dès que l'on obtient 6.
On souhaite réaliser un
algorithme qui simule
l'expérience et renvoie le rang du
premier 6 ou 0 si l'on n'a pas
réussi à faire 6 après 4 tentatives.
Compléter l'algorithme ci-contre
Variables :
R : rang du lancer
D : nombre entier
Traitement (à compléter)
R prend la valeur 1
D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6
Tant que D≠6 OU R ≤ 4
R prend la valeur R+1
D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6
Fin du Tant Que
Si D > 5 Alors
Afficher R
Sinon
Afficher 0
Fin Si
Partie 2
On propose le jeu suivant : la mise est de 10 euros. Vous lancez un dé.
Si vous faites 6 au premier lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 8 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au deuxième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 7 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au troisième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 6 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au quatrième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 5 €. Le jeu s'arrête.
Si vous n'avez toujours pas fait de 6 après quatre lancers, le jeu s'arrête et vous perdez votre mise.
a) On note G le gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G
G peut prendre comme valeur 18 , 17 , 16 , 15 , –10. On est en présence d'une loi géométrique
tronquée de paramètres 4 et 1/6. En utilisant les résultats du début, on obtient :
gi
18
17
P (G= g i )
1
6
5 1 5
× =
6 6 36
16
−10
15
2
3
25
125
( 56 ) × 16 = 216
( 56 ) × 16 = 1296
4
625
( 56 ) = 1296
b) Que peut-on espérer gagner à ce jeu si on y joue un grand nombre de fois ?
1
5
25
125
625
20273
Il faut calculer E(G) = 18× 6 +17× 36 +16× 216 +15× 1296 −10× 1296 = 1296
Application 1 : Le tir à l'arc
Un tireur à l'arc atteint sa cible 9 fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé.
Il tire cinq flèches sur la cible. S'il atteint la cible il gagne 10 € sinon il perd 20 € . On suppose que les tirs
sont indépendants.
1) On appelle X le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs.
a) Quelle est la loi suivi par X ?
Le lancer d'un flèche peut être assimiler à une épruve de Bernoulli avec pour proba du succès 9/10
Comme on lance cinq flèches indépendamment les unes des autres, X suit une loi binomiale de
paramètres 0,9 et 5
b) Déterminer la loi de probabilité de X
D'après le cours :
pour tout entier k ∈ [0;5], P(X=k) =
(k5 )
0,9
k
0,1
5−k
2) On appelle Y la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs.
Quel est le gain moyen du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours ? Est-ce
intéressant pour lui ? On justifiera correctement la réponse
Y peut prendre comme valeur :
5×10 € = 50 ;
4×10−20 =20€ ;
3×10−2×20 =–10 ;
2×10−3×20 =–40€ ;
1×10−4×20 =–70€ ;
– 5×20=– 100 €
yi
50
P ( Y= y i )
5
P (X=5)=0,9
20
–10
–40
–70
–100
P(X=4) =
5×0 , 94 ×0,1
P(X=3) =
10×0,93 ×0,1 2
P(X=2) =
10×0,9 2 ×0,13
P(X=1) =
5×0,9×0,14
P(X=0) = 0,15
Il faut ensuite calculer l'espérance mathématique de Y qui représente le gain moyen du joueur :
E(Y) =
∑ y i P( X= x i )
= 50×0,95 +20×5×0,94 ×0 , 1+…−100×0 , 15 = 35
Donc si on joue souvent à ce jeu, on gagne en moyenne 35 € donc il est intéressant d'y jouer
Application 2 : Amérique du Sud novembre 2000
Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0 , 1 et 2 indiscernables au toucher.
On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac puis on tire une seconde boule ,
on note son numéro y et on la remet dans le sac.
A chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan
muni d'un repère (O ; ⃗i , ⃗j ) le point M de coordonnées
(x ; y )
Soit D le disque de centre O de rayon 1,7
1) Placer dans le plan muni d'un repère ( O ; ⃗i , ⃗j
) les points correspondants aux différents résultats
possibles.
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « le point est sur l'axe des abscisses » et B : «
le point est sur l'axe des ordonnées »
1
1
P(A) = 3 et P (B)= 3
4
3) a) Démontrer que la probabilité de l'événement C: «le point M appartient au disque D est égale à 9 »
4
4 point sont situés dans le disque donc probabilité de 9
b) On répète cinq fois de manière indépendante l'expérience précédente. On obtient ainsi cinq points
du plan.
Une expérience peut être considérée comme une épreuve de Bernoulli avec pour Succés : » le point est
4
dans le disque » de paramètre 9
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de point dans le disque au cours des cinq répétitions.
4
Comme ces répétitions sont indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètres 5 et 9
P(E) = P(X ≥ 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 –
5
( ) ()
5
9
- 5
1
4
9
4
()
5
9
43424
= 59049
Quelle est la probabilité de l'événement E : « au moins deux points sont dans le disque D »
c) On renouvelle n fois de suite de manière indépendante l'expérience précédente. On obtient ainsi n
points du plan.
Déterminer le plus petit entier naturel n strictment positif tel que la probabilité de l'événement « au
moins l'un des points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,9999
On veut P (X ≥ 1) ≥ 0,9999 cad 1−P( X=0) ≥ 0 , 9999
n
()
( 59 ) ≤ 0,0001
5
1− 9 ≥ 0 , 9999
n
On verra plus tard dans l'année comment résoudre ce genre d'équation mais actuellement seul la calculatrice
donne la réponse qui est ici n = 16
Application 3 : Amérique du sud novembre 2009