AP TS Séance 2 - M. Philippe.fr

AP TS Séance 2
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues :
•l'une que l'on nomme SUCCES notée S de probabilité p
•l'autre nommée ECHEC notée
S
de probabilité 1 – p
p est appelé le paramètre de cette épreuve
Définition Soit p un réel de l'intervalle
[0 ;1]
et n un entier naturel.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à répéter dans des conditions identiques une
épreuve de Bernoulli de paramètre p avec au maximum n répétitions et arrêt du processus au premier succès.
On appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p la loi de la variable aléatoire X définie par :
•X = 0 si aucun succès n'a été obtenu
•pour 1 ≤ k ≤ n , X = k si le premier succès est obtenu à l'étape k
a) Représenter par un arbre cette expérience dans le cas n = 4
b) En déduire la loi de probabilité de X dans ce cas (n = 4)
c) Compléter alors le cas général :
Théorème : Loi géométrique tronquée
Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique tronquée de paramètres n ∈ ℕ* et p ∈ [0;1].
•P( X = 0 ) =
•pour 1 ≤ k ≤ n P( X = k ) =
Application
Partie 1
On lance un dé équilibré jusqu'à
quatre fois de suite, l'expérience
s'arrêtant dès que l'on obtient 6.
On souhaite réaliser un
algorithme qui simule
l'expérience et renvoie le rang du
premier 6 ou 0 si l'on n'a pas
réussi à faire 6 après 4 tentatives.
Compléter l'algorithme ci-contre
Variables : R : rang du lancer
D : nombre entier
Traitement (à compléter)
R prend la valeur 1
D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6
Tant que D≠6 OU R ≤ 4
R prend la valeur R+1
D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6
Fin du Tant Que
Si D > 5 Alors
Afficher R
Sinon
Afficher 0
Fin Si
Partie 2
On propose le jeu suivant : la mise est de 10 euros. Vous lancez un dé.
Si vous faites 6 au premier lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 8 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au deuxième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 7 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au troisième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 6 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au quatrième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 5 €. Le jeu s'arrête.
Si vous n'avez toujours pas fait de 6 après quatre lancers, le jeu s'arrête et vous perdez votre mise.

a) On note G le gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G
G peut prendre comme valeur 18 , 17 , 16 , 15 , –10. On est en présence d'une loi géométrique
tronquée de paramètres 4 et 1/6. En utilisant les résultats du début, on obtient :
g
i
18 17 16 15
−10
P(G= g
i)
1
6
5
6×1 6=5 36
(
5
6
)
2
×1
6=25 216
(
5
6
)
3
×1
6=125 1296
(
5
6
)
4
=625
1296
b) Que peut-on espérer gagner à ce jeu si on y joue un grand nombre de fois ?
Il faut calculer E(G) =
18×1
6+17×5 36 +16×25 216+15×125 1296−10×625 1296
=
20273
1296
Application 1 : Le tir à l'arc
Un tireur à l'arc atteint sa cible 9 fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé.
Il tire cinq flèches sur la cible. S'il atteint la cible il gagne 10 € sinon il perd 20 € . On suppose que les tirs
sont indépendants.
1) On appelle X le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs.
a) Quelle est la loi suivi par X ?
Le lancer d'un flèche peut être assimiler à une épruve de Bernoulli avec pour proba du succès 9/10
Comme on lance cinq flèches indépendamment les unes des autres, X suit une loi binomiale de
paramètres 0,9 et 5
b) Déterminer la loi de probabilité de X
D'après le cours :
pour tout entier k ∈ [0;5], P(X=k) =
(
5
k
)
0,9
k
0,15−
k
2) On appelle Y la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs.
Quel est le gain moyen du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours ? Est-ce
intéressant pour lui ? On justifiera correctement la réponse
Y peut prendre comme valeur :
5×10
€ = 50 ;
4×10−20
=20€ ;
3×10−2×20
=–10 ;
2×10−3×20
=–40€ ;
1×10−4×20
=–70€ ;
– 5×20= – 100 €
y
i
50 20 –10 –40 –70 –100
P(Y= y
i)
P(X=5)=0,95
P(X=4) =
5×0 , 94×0,1
P(X=3) =
10×0,93×0,12
P(X=2) =
10×0,92×0,13
P(X=1) =
5×0,9×0,14
P(X=0) =
0,15
Il faut ensuite calculer l'espérance mathématique de Y qui représente le gain moyen du joueur :
E(Y) =
∑
y
iP(X=
x
i)
=
50×0,95+20×5×0,94×0 , 1+…−100×0 , 15
= 35
Donc si on joue souvent à ce jeu, on gagne en moyenne 35 € donc il est intéressant d'y jouer

Application 2 : Amérique du Sud novembre 2000
Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0 , 1 et 2 indiscernables au toucher.
On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac puis on tire une seconde boule ,
on note son numéro y et on la remet dans le sac.
A chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan
muni d'un repère (O ;
⃗
i ,
⃗
j
) le point M de coordonnées
( x ; y )
Soit D le disque de centre O de rayon 1,7
1) Placer dans le plan muni d'un repère ( O ;
⃗
i
,
⃗
j
) les points correspondants aux différents résultats
possibles.
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « le point est sur l'axe des abscisses » et B : «
le point est sur l'axe des ordonnées »
P(A) =
1
3
et
P(B)= 1
3
3) a) Démontrer que la probabilité de l'événement C: «le point M appartient au disque D est égale à
4
9
»
4 point sont situés dans le disque donc probabilité de
4
9
b) On répète cinq fois de manière indépendante l'expérience précédente. On obtient ainsi cinq points
du plan.
Une expérience peut être considérée comme une épreuve de Bernoulli avec pour Succés : » le point est
dans le disque » de paramètre
4
9
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de point dans le disque au cours des cinq répétitions.
Comme ces répétitions sont indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètres 5 et
4
9
P(E) = P(X ≥ 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 –
(
5
9
)
5
-
(
5
1
)
4
9
(
5
9
)
4
=
43424
59049
Quelle est la probabilité de l'événement E : « au moins deux points sont dans le disque D »
c) On renouvelle n fois de suite de manière indépendante l'expérience précédente. On obtient ainsi n
points du plan.
Déterminer le plus petit entier naturel n strictment positif tel que la probabilité de l'événement « au
moins l'un des points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,9999
On veut
P(X ≥ 1) ≥ 0,9999
cad
1−P(X=0) ≥ 0 , 9999
1−
(
5
9
)
n
≥ 0 , 9999
(
5
9
)
n
≤ 0,0001
On verra plus tard dans l'année comment résoudre ce genre d'équation mais actuellement seul la calculatrice
donne la réponse qui est ici n = 16
Application 3 : Amérique du sud novembre 2009