Devoir surveillé n°8 de mathématique

Lycée Chrestien de Troyes
DS n°8 de mathématique
MP1617
Devoir surveillé n°8 de mathématique
Jeudi 16 mars (4 heures)
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Vous êtes invité à encadrer les résultats de vos calculs.
Si vous êtes amené à repérer ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé, vous le
signalerez sur votre copie et devrez poursuivre votre composition en expliquant les raisons
des initiatives que vous avez été amené à prendre.
Exercice 1 − Loi de Poisson [CCP-2015-MP-1]
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer sa
fonction génératrice, puis en déduire son espérance et sa variance.
Exercice 2 − Autour de la formule du binôme négatif [2016-PT-A]
Un individu joue avec une pièce non nécessairement symétrique. On note p la probabilité
d’obtenir pile et on suppose seulement p ∈ ]0, 1[.
Dans un premier temps, il lance la pièce jusqu’à obtenir pour la première fois pile. On note
N le nombre de lancers nécessaires.
Dans un deuxième temps, il lance N fois cette même pièce et on note X le nombre de piles
obtenus au cours de cette seconde série de lancers.
1. Préciser la loi de N , et la loi conditionnelle de X sachant N = n.
2. Déterminer la loi du couple (N , X ).
1
3. On considère la fonction f définie sur ]−1, 1[ par : ∀x ∈ ]−1, 1[ : f (x) = 1−x
.
i ème
Donner l’expression de la dérivée k
de f pour tout k ≥ 0.
En déduire le développement en série entière de la fonction x 7→ 1/ (1 − x)k+1 au voisinage de 0 pour k entier positif.
4. En déduire que la loi de X est donnée par
¡
¢k−1
¡
¢
1−p
1−p
¢.
∀k ≥ 1, P (X = k) = ¡
¢k+1 et P (X = 0) = ¡
2−p
2−p
5. Soit λ ∈ ]0, 1[, U une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre λ et V une variable
aléatoire géométrique de paramètre λ indépendante de U . On note Y = UV .
(a) Sans calculer sa loi, calculer l’espérance de Y .
(b) Pour k ∈ N, calculer P (Y = k) (on pourra traiter séparément le cas k = 0).
(c) Calculer la variance de Y .
6. En déduire que X a même loi qu’un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l’une étant une variable de Bernoulli et l’autre une variable géométrique de
même paramètre.
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Exercice 3 − Fabricant de machines à café [E3A-2016-MP-1]
Un fabricant de produits d’entretien pour machines à café fournit deux types de produits :
un produit détartrant (produit A) et un produit dégraissant (produit B).
Ce fabricant vend les produits conditionnés uniquement en boîtes contenant à la fois un
produit A et un produit B. Cependant, pour rendre service à ses clients qui n’ont besoin que
d’un seul produit, un commerçant accepte de vendre séparément les produits.
Pour la suite, on suppose que chaque client qui se présente chez le commerçant n’effectue
qu’un seul achat. On suppose également que les choix (du produit A ou B) des clients sont
indépendants. On fait également l’hypothèse qu’il ne reste aucune boîte entamée au début
de la journée.
On considère que chaque client qui se présente chez ce commerçant achète le produit A avec
la probabilité p ∈]0 ; 1[ et le produit B avec la probabilité 1 − p.
On note X (respectivement Y ) le nombre de produits A (respectivement de produits B ) vendus au cours de la journée.
On notera Z = max(X , Y ).
1. On considère une journée où 4 clients se sont présentés. Déterminer la loi de X , la
loi de Y et les espérances de ces deux variables aléatoires. Déterminer la loi de Z . Que
représente cette variable aléatoire ? On suppose maintenant que le nombre de personnes se présentant chez le commerçant durant une journée est une variable aléatoire réelle N suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
2. Soit n un entier naturel. Quelle est la loi de X sachant que l’évènement [N = n] est
réalisé ?
3. Déterminer la loi conjointe du couple (X , N ).
4. En déduire la loi de X . Donner sans calcul les valeurs de E (X ) et V (X ).
5. Démontrer que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
6. En utilisant la relation N = X + Y , calculer Cov(X , N ).
7. Pour k ∈ N et x ∈ R, on note :
S(k, x) =
k xj
X
j =0 j !
Exprimer P (Z ≤ k) en fonction de λ, S(k, λp) et S(k, λ(1 − p)).
8. On utilise dans cette question le langage de programmation PYTHON.
(a) Définir la fonction S(k, x) qui calcule S(k, x) à partir des valeurs de k et x données.
(b) On suppose dans cette question que p = 1/2, λ = 10 et que le commerçant constate
au début de la journée qu’il lui reste exactement 5 boîtes, aucune n’étant entamée. Écrire les instructions permettant d’afficher la probabilité que le commerçant tombe en rupture de stock au cours de la journée.
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Exercice 4 − Normes équivalentes [CCP-2012-MP-1]
On note E l’espace vectoriel des applications de classe C 1 définies sur l’intervalle [0; 1] et à
valeurs dans R.
On pose pour f ∈ E :
Z 1
Z 1
0
0
k f k = | f (0)| + 2
| f (t )| d t et k f k = 2| f (0)| +
| f 0 (t )| d t .
0
0
1. Démontrer que k k définit une norme sur E .
De même, k k0 est une norme sur E , il est inutile de le démontrer.
2. (a) Donner la définition de deux normes équivalentes.
(b) Démontrer que les deux normes k k et k k0 sont équivalentes sur E .
3. Toutes les normes sur E sont-elles équivalentes à la norme k k ?
Exercice 5 − Déterminant de la comatrice d’une matrice
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On rappelle que la comatrice d’une matrice A ∈ Mn (C), notée Com(A), est définie par :
³
¡
¢´
Com(A) := (−1)i + j det A i , j
∈ Mn (C)
1≤i , j ≤n
où pour tout (i , j ) ∈ J1, n Kn , A i , j désigne la matrice de format (n −1)×(n −1) obtenue à partir
de A en supprimant sa i -ème ligne et sa j -ème colonne.
1. Soit A ∈ Mn (C). Démontrer :
t
Com(A) × A = det(A).I n
2. Soit A ∈ GL n (C). Déduire de la question 1 une expression du déterminant de Com(A)
en fonction du déterminant de A.
3. Démontrer que GL n (C) est dense dans Mn (C).
Indication : On pourra utiliser la notion de polynôme caractéristique d’une matrice.
4. Démontrer que les applications :
¯
¯ f : Mn (C) →
R
¯
¯
A
7→ det (Com(A))
et
¯
¯ g
¯
¯
:
Mn (C) →
R
A
7→ (det (A))n−1
sont continues.
5. Démontrer alors que :
∀A ∈ Mn (C),
det (Com(A)) = (det (A))n−1
Exercice 6 − Deux propriétés topologiques du groupe orthogonal O n (R)
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note O n (R) le groupe des matrices orthogonales réelles de format n × n, i.e. :
©
ª
O n (R) := M ∈ Mn (R) : t M × M = I n
1. Démontrer que O n (R) est une partie compacte de Mn (R).
2. Démontrer que O n (R) n’est pas une partie connexe par arcs de Mn (R).
Indication : Que vaut le déterminant d’une matrice orthogonale ?
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