Partie 0 : Définitions , notations Partie I : Trace d`un

Centre Salmane Al Farissi DEVOIR LIBRE 1 2013/2014
CPGE , Salé Donné le : 17-9-2013 1er trimestre
MP2 A rendre le : 24-9-2014
Partie 0 : Définitions , notations
Soit Eun K−espace vectoriel non nul.
1. Pour tout u∈ L(E)et k∈N, on définit :
f0=IdE, fk+1 =fk◦f
Donc si k6= 0 alors fkest le composé de favec lui même kfois.
2. On appelle drapeau de Etoute famille D= (Ek)k∈[[0,p]] de sous-espaces vectoriels
de Etel que : p∈N∗et {0}=E0 · · · Ep=E. Les p+1 sous-espaces vectoriels
Ek, k ∈[[0, p]] sont appelés les termes du drapeau D. Si Eest de dimension net
p∈N∗, on appelle base de E, adaptée au drapeau Dtoute base B= (e1,· · · , en)
de Etel que :
(∀k∈[[1, p]])(∃s∈[[1, n]]) Ek=Vect{e1,· · · , es}
Soit u∈ L(E). On dira que le drapeau Dest stable par uou u−stable si tous les
termes Ekdu drapeau Dsont u−stables.
3. Soit u∈ L(E). On dit que uest ponctuellement nilpotent si pour tout x∈Eil
existe p∈N∗tel que up(x) = 0. On dit que uest nilpotent s’il existe p∈N∗tel
que up= 0. Si uest nilpotent, le plus petit p∈N∗tel que up= 0 s’appelle l’indice
de nilpotence de u.
Une matrice A∈ Mn(K)est nilpotente si l’endomorphisme ΦAcanoniquement
associé à Aest nilpotent. L’indice de nilpotence de Aest celui de ΦA. On note NE
l’ensemble des endomorphismes nilpotents de E. C’est donc une partie de L(E).
4. On admet le théorème de la base incomplète pour tout K−espace vectoriel E
même s’il n’est pas de dimension finie. En particulier, tout sous-espace vectoriel
de Epossède un supplémentaire.
Partie I : Trace d’un endomorphisme en dimension finie
Soit n∈N∗et Eun K−espace vectoriel de dimension n. Pour toute matrice A∈ Mn(K)
tel que A= (aij )1≤i,j≤n, on pose :
tr(A) =
n
X
i=1
aii
Le scalaire tr(A)est appelé la trace de A.
1. Démontrer que l’application tr qui associe à chaque matrice carrée A∈ Mn(K)
sa trace est une application linéaire.
1

2. Prouver que : ∀(A, B)∈(Mn(K))2tr(AB) = tr(BA). En déduire que si deux
matrices carrée sont semblables alors elles ont même trace.
3. Soit u∈ L(E),Bune base de Eet A=matB(u). On définit tr(u) = tr(A).
Justifier que cette définition a un sens et donner les propriétés correspondantes
de la trace d’un endomorphisme.
Partie II : Drapeaux
Dans tout ce qui suit Eest un K−espace vectoriel non nul.
1. (a) Démontrer que Eadmet un et un seul drapeau à deux termes.
(b) Démontrer que si En’est pas de dimension finie alors pour tout m∈N∗,E
admet un drapeau Dmàm+ 1 termes.
(c) Démontrer que si dim(E) = nalors pour tout m∈[[1, n]] il existe un drapeau
Dmde Eàm+ 1 termes et que n+ 1 est le maximum du nombre de termes
d’un drapeau de E.
2. On suppose dans toute cette question que Eest de dimension finie navec n6= 0.
(a) Démontrer que tout drapeau Dde Eadmet au moins une base adaptée.
(b) Soit Bune base de E. Démontrer que pour tout m∈[[1, n]] il existe un
drapeau de Eàm+ 1 termes tel que Best une base adaptée à D.
(c) Soit D= (Ek)k∈[[0,p]] un drapeau de Eet B= (e1,· · · , en)une base adaptée
àD. Pour tout k∈[[1, p]], justifier l’unicité de s∈[[1, n]] tel que : Ek=
Vect{e1,· · · , es}.. Que représente spour Ek?
(d) Soit u∈ L(E)et Dun drapeau u−stable et Bune base de Eadaptée à D.
Décrire la forme de la matrice de urelativement à B.
Partie III : Noyaux itérés
Soit Eun espace vectoriel réel et fun endomorphisme de E.
1. Montrer que la suite (ker fk)k∈N, des noyaux des endomorphismes fkpour k∈N
est, au sens de l’inclusion, une suite croissante de sous-espaces vectoriels de E,
c’est-à-dire :
(∀k∈N) ker fk⊂ker fk+1
2. Montrer que s’il existe un entier ptel que les noyaux des endomorphismes fpet
fp+1 soient égaux, alors : ∀k≥p: ker fk= ker fp
3. Montrer que lorsque l’espace Eest de dimension finie n, la suite des dimensions
des noyaux des endomorphismes fkest constante à partir d’un rang pinférieur
ou égal à la dimension nde l’espace. En déduire en particulier ker fn= ker fn+1
4. Application :
On considère la matrice :
A=
102
011
−1 1 −1
∈ M3(R).
2

On note fl’endomorphisme de R3représenté par Adans la base canonique de
R3.
(a) Déterminer Nk= ker fkpour tout k∈N∗.
(b) Determiner une base Ω = (ω1, ω2, ω3)de R3tel que : ω1∈N1et ω2∈N2et
ω3est un vecteur de la base canonique judicieusement choisi.
(c) En déduire que la matrice Aest semblable à une matrice A0de la forme :
A0=
0a b
0 0 c
0 0 1
.
On demande de donner les valeurs de a, b et c, déterminer la matrice Pde
passage de la base canonique de R3à la base Ωansi que P−1et d’écrire la
relation qui lie Aet A0.
Partie IV : Endomorphismes nilpotents
1. Montrer que si Eest de dimension finie alors tout endomorphisme ponctuellement
nilpotent est nilpotent.
2. Donner un exemple d’endomorphisme ponctuellement nilpotent mais non nil-
potent.
3. Démontrer que si uet vsont deux endomorphismes nilpotents tel que u◦v=v◦v
alors u+vet u◦vsont nilpotents.
4. Démontrer que si Eest de dimension finie navec n≥2alors l’ensemble NEdes
endomorphismes nilpotents n’est pas un sous-espace vectoriel de L(E).
5. On suppose que Eest de dimension finie et on considère u∈ L(E). Montrer que
si uest nilpotent d’indice de nilpotence palors p≤n. En déduire que un= 0
6. Soit u∈ L(E)un endomorphisme nilpotent d’indice de nilpotence p. Pour tout
k∈[[0, p]], on pose : Nk= ker(uk).
(a) Prouver que D= (Nk)k∈[[0,p]] est un drapeau de E, stable par u.
(b) Soit Bune base de Eadaptée à D. Démontrer que la matrice de urelative-
ment à Best une matrice triangulaire strictement supérieure.
(c) En déduire que tout endomorphisme nilpotent de Eest de trace nulle.
Partie V : Sous-espace vectoriel engendré par NE
Dans cette partie :
•Eest un espace vectoriel de dimension n≥2et Nn(K).
• Nn(K)est la partie de Mn(K)constituée des matrices nilpotentes.
• Hn(K)est la partie de Mn(K)constituée des matrices de trace nulle.
• NE(rep. HE) l’ensemble des endomorphismes nilpotents (rep. de trace nulle) de E.
•(Eij )1≤i,j≤nla base canonique de Mn(K).
On se propose de prouver que Vect(NE) = HE.
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1. Justifier que HEest un sous-espace vectoriel de E. Quelle est sa dimension ?.
Qu’appelle-t-on un tel sous-espace vectoriel ?
2. Prouver que pour toute valeur de l’entier ntel que n≥2, la partie Nn(K)n’est
pas un sous-espace vectoriel de Mn(K).
3. Soit I= [[1, n]]2\{(1,1)}et pour tout (i, j)∈I, on pose : Fii =Eii −E11 si i≥2
Fij =Eij si i6=j
.
(a) Démontrer que (Fij )(i,j)∈Iest une famille libre de Mn(K).
(b) Que vaut la trace de Fij pour tout (i, j)∈I?
4. Déduire de ce qui précède le résultat souhaité.
5. Ce résultat reste-t-il vrai si n= 1 ?
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