Partie 0 : Définitions , notations Partie I : Trace d`un

Centre Salmane Al Farissi
CPGE , Salé
MP2
DEVOIR LIBRE 1
Donné le : 17-9-2013
A rendre le : 24-9-2014
2013/2014
1er trimestre
Partie 0 : Définitions , notations
Soit E un K − espace vectoriel non nul.
1. Pour tout u ∈ L(E) et k ∈ N, on définit :
f 0 = IdE , f k+1 = f k ◦ f
Donc si k 6= 0 alors f k est le composé de f avec lui même k fois.
2. On appelle drapeau de E toute famille D = (Ek )k∈[[0,p]] de sous-espaces vectoriels
de E tel que : p ∈ N∗ et {0} = E0 · · · Ep = E. Les p+1 sous-espaces vectoriels
Ek , k ∈ [[0, p]] sont appelés les termes du drapeau D. Si E est de dimension n et
p ∈ N∗ , on appelle base de E, adaptée au drapeau D toute base B = (e1 , · · · , en )
de E tel que :
(∀k ∈ [[1, p]])(∃s ∈ [[1, n]]) Ek = Vect{e1 , · · · , es }
Soit u ∈ L(E). On dira que le drapeau D est stable par u ou u−stable si tous les
termes Ek du drapeau D sont u−stables.
3. Soit u ∈ L(E). On dit que u est ponctuellement nilpotent si pour tout x ∈ E il
existe p ∈ N∗ tel que up (x) = 0. On dit que u est nilpotent s’il existe p ∈ N∗ tel
que up = 0. Si u est nilpotent, le plus petit p ∈ N∗ tel que up = 0 s’appelle l’indice
de nilpotence de u.
Une matrice A ∈ Mn (K) est nilpotente si l’endomorphisme ΦA canoniquement
associé à A est nilpotent. L’indice de nilpotence de A est celui de ΦA . On note NE
l’ensemble des endomorphismes nilpotents de E. C’est donc une partie de L(E).
4. On admet le théorème de la base incomplète pour tout K − espace vectoriel E
même s’il n’est pas de dimension finie. En particulier, tout sous-espace vectoriel
de E possède un supplémentaire.
Partie I : Trace d’un endomorphisme en dimension finie
Soit n ∈ N∗ et E un K−espace vectoriel de dimension n. Pour toute matrice A ∈ Mn (K)
tel que A = (aij )1≤i,j≤n , on pose :
tr(A) =
n
X
aii
i=1
Le scalaire tr(A) est appelé la trace de A.
1. Démontrer que l’application tr qui associe à chaque matrice carrée A ∈ Mn (K)
sa trace est une application linéaire.
1
2. Prouver que : ∀(A, B) ∈ (Mn (K))2 tr(AB) = tr(BA). En déduire que si deux
matrices carrée sont semblables alors elles ont même trace.
3. Soit u ∈ L(E), B une base de E et A = matB (u). On définit tr(u) = tr(A).
Justifier que cette définition a un sens et donner les propriétés correspondantes
de la trace d’un endomorphisme.
Partie II : Drapeaux
Dans tout ce qui suit E est un K − espace vectoriel non nul.
1. (a) Démontrer que E admet un et un seul drapeau à deux termes.
(b) Démontrer que si E n’est pas de dimension finie alors pour tout m ∈ N∗ , E
admet un drapeau Dm à m + 1 termes.
(c) Démontrer que si dim(E) = n alors pour tout m ∈ [[1, n]] il existe un drapeau
Dm de E à m + 1 termes et que n + 1 est le maximum du nombre de termes
d’un drapeau de E.
2. On suppose dans toute cette question que E est de dimension finie n avec n 6= 0.
(a) Démontrer que tout drapeau D de E admet au moins une base adaptée.
(b) Soit B une base de E. Démontrer que pour tout m ∈ [[1, n]] il existe un
drapeau de E à m + 1 termes tel que B est une base adaptée à D.
(c) Soit D = (Ek )k∈[[0,p]] un drapeau de E et B = (e1 , · · · , en ) une base adaptée
à D. Pour tout k ∈ [[1, p]], justifier l’unicité de s ∈ [[1, n]] tel que : Ek =
Vect{e1 , · · · , es }.. Que représente s pour Ek ?
(d) Soit u ∈ L(E) et D un drapeau u−stable et B une base de E adaptée à D.
Décrire la forme de la matrice de u relativement à B.
Partie III : Noyaux itérés
Soit E un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de E.
1. Montrer que la suite (ker f k )k∈N , des noyaux des endomorphismes f k pour k ∈ N
est, au sens de l’inclusion, une suite croissante de sous-espaces vectoriels de E,
c’est-à-dire :
(∀k ∈ N) ker f k ⊂ ker f k+1
2. Montrer que s’il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f p et
f p+1 soient égaux, alors : ∀k ≥ p : ker f k = ker f p
3. Montrer que lorsque l’espace E est de dimension finie n, la suite des dimensions
des noyaux des endomorphismes f k est constante à partir d’un rang p inférieur
ou égal à la dimension n de l’espace. En déduire en particulier ker f n = ker f n+1
4. Application :
On considère la matrice :


1 0 2
A =  0 1 1  ∈ M3 (R).
−1 1 −1
2
On note f l’endomorphisme de R3 représenté par A dans la base canonique de
R3 .
(a) Déterminer Nk = ker f k pour tout k ∈ N∗ .
(b) Determiner une base Ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) de R3 tel que : ω1 ∈ N1 et ω2 ∈ N2 et
ω3 est un vecteur de la base canonique judicieusement choisi.
(c) En déduire que la matrice A est semblable à une matrice A0 de la forme :


0 a b
A0 =  0 0 c  .
0 0 1
On demande de donner les valeurs de a, b et c, déterminer la matrice P de
passage de la base canonique de R3 à la base Ω ansi que P −1 et d’écrire la
relation qui lie A et A0 .
Partie IV : Endomorphismes nilpotents
1. Montrer que si E est de dimension finie alors tout endomorphisme ponctuellement
nilpotent est nilpotent.
2. Donner un exemple d’endomorphisme ponctuellement nilpotent mais non nilpotent.
3. Démontrer que si u et v sont deux endomorphismes nilpotents tel que u ◦ v = v ◦ v
alors u + v et u ◦ v sont nilpotents.
4. Démontrer que si E est de dimension finie n avec n ≥ 2 alors l’ensemble NE des
endomorphismes nilpotents n’est pas un sous-espace vectoriel de L(E).
5. On suppose que E est de dimension finie et on considère u ∈ L(E). Montrer que
si u est nilpotent d’indice de nilpotence p alors p ≤ n. En déduire que un = 0
6. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent d’indice de nilpotence p. Pour tout
k ∈ [[0, p]], on pose : Nk = ker(uk ).
(a) Prouver que D = (Nk )k∈[[0,p]] est un drapeau de E, stable par u.
(b) Soit B une base de E adaptée à D. Démontrer que la matrice de u relativement à B est une matrice triangulaire strictement supérieure.
(c) En déduire que tout endomorphisme nilpotent de E est de trace nulle.
Partie V : Sous-espace vectoriel engendré par NE
Dans cette partie :
• E est un espace vectoriel de dimension n ≥ 2 et Nn (K).
• Nn (K) est la partie de Mn (K) constituée des matrices nilpotentes.
• Hn (K) est la partie de Mn (K) constituée des matrices de trace nulle.
• NE (rep. HE ) l’ensemble des endomorphismes nilpotents (rep. de trace nulle) de E.
• (Eij )1≤i,j≤n la base canonique de Mn (K).
On se propose de prouver que Vect(NE ) = HE .
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1. Justifier que HE est un sous-espace vectoriel de E. Quelle est sa dimension ?.
Qu’appelle-t-on un tel sous-espace vectoriel ?
2. Prouver que pour toute valeur de l’entier n tel que n ≥ 2, la partie Nn (K) n’est
pas un sous-espace vectoriel de Mn (K).
Fii = Eii − E11 si i ≥ 2
2
3. Soit I = [[1, n]] \{(1, 1)} et pour tout (i, j) ∈ I, on pose :
Fij = Eij si i 6= j
.
(a) Démontrer que (Fij )(i,j)∈I est une famille libre de Mn (K).
(b) Que vaut la trace de Fij pour tout (i, j) ∈ I ?
4. Déduire de ce qui précède le résultat souhaité.
5. Ce résultat reste-t-il vrai si n = 1 ?
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