X/ENS Physique PSI 2005 — Corrigé

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X/ENS Physique PSI 2005 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).
Ce sujet, consacré à l’imagerie radar, est divisé en quatre parties indépendantes :
• la première partie est la plus longue mais aussi la plus facile : on s’intéresse aux
paramètres orbitaux d’un satellite terrestre héliosynchrone destiné à l’observation de la surface de la Terre ;
• une deuxième partie, proche du cours sur la diffraction, est consacrée à l’étude
de la diffusion des ondes radar réémises par le sol ;
• la troisième partie s’attache aux limitations de l’imagerie radar : la notion de
résolution spatiale et le phénomène de distorsion y sont introduits et étudiés ;
• enfin, la quatrième et dernière partie envisage une méthode d’imagerie interférométrique où, après avoir paramétré le problème, on propose l’analyse qualitative
et quantitative de clichés interférométriques.
Les concepts physiques mis en jeu dans cette épreuve se partagent entre la mécanique du point gravitationnelle pour la première partie et l’optique physique pour
les trois dernières. Cela constitue deux sous-problèmes de longueurs comparables.
Il est par ailleurs important de signaler que l’énoncé est très directif pour un concours
de ce niveau et comporte de nombreuses questions accessibles et susceptibles d’occuper n’importe quel candidat durant quatre heures. La sélection sur une telle épreuve
se fait donc surtout sur l’efficacité et la capacité à comprendre et mener rapidement
les raisonnements demandés par l’énoncé.
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Indications
Première partie
1.1.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique.
1.1.2.b Montrer que l’aire balayée par la trajectoire entre t et t + dt est r2 dα/2.
1.1.3.d Évaluer la distance r au périgée et à l’apogée.
−−→
→
1.2.1 Le champ de gravitation est −
g = − grad V.
0
1.2.2.a La force de gravitation est déviée en direction du bourrelet équatorial.
1.2.4.d Exprimer l’accélération centripète en fonction du rayon a et de la période T.
−
→
→
−
1.2.4.e Donner la direction et le sens de la variation dL du moment L qui, on le
rappelle, est normal au plan de la trajectoire.
1.3.3.a Que dire de l’angle β au cours de la trajectoire du satellite héliosynchrone ?
Deuxième partie
2.1 Utiliser la notion de plan d’onde pour simplifier la différence de marche entre
les rayons passant par P et M.
2.2.b Que doit valoir θ′ pour que l’écho soit reçu ?
2.3.a Réécrire e(M) sachant que cos θ = [exp(jθ) − exp(−jθ)]/2 afin de réutiliser
par analogie le calcul de la question 2.2.a.
2.3.c Dans quelle direction la diffraction se fait-elle ?
Troisième partie
→.
3.1 Projeter la largeur de diffraction en P selon les directions −
u→x et −
u
y
−→ −
→ −−→
3.2 Utiliser SM = SP + PM.
3.3.a Quel intervalle de temps ∆t sépare les échos venant de P et Q ? À quoi le
comparer ?
3.3.d Avec H = R cos θ, comment évolue δx et δy quand θ augmente ?
3.4 Positionner le point B′ du sol conduisant au même intervalle de temps ∆t.
Quatrième partie
−−−→
−−→ −−−→ −−−−→
4.1 Utiliser S2 M2 = −S1 S2 + S1 M1 + M1 M2 pour calculer S2 M2 en supprimant
les termes d’ordre 2.
4.3.d Quelle variation d’altitude ∆z modifie la différence de marche δ de λ ?
−−−−→
−
→
−
→
4.4.a Écrire M1 M2 = δx −
u→
x +δy uy +δz uz et supprimer les termes d’ordre 2 dans δ.
Où le paramètre d intervient-il dans δ ?
4.4.b Évaluer par projection le déplacement δu entre M1 et M2 dans la direction
de visée θ puis retrouver ce terme dans la différence de marche δ. En déduire
la variation ∆(δu) qui fait évoluer la différence de marche de λ.
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I. Étude de la trajectoire d’un satellite terrestre
→
−
→
1.1.1 L’expression de f montre que le champ de gravitation −
g0 est à symétrie
sphérique. La répartition de la masse terrestre doit donc être elle aussi à symétrie
sphérique. En effet, si la masse volumique µ(M) au sein de la Terre est indépendante
→, −
→
−
→ −
→
des angles θ et φ et ne dépend que du rayon r, alors les plans (M, −
u
r uθ ) et (M, ur , uφ )
sont des plans de symétrie. Le champ de gravitation en M, invariant selon les angles
θ et φ et appartenant aux plans de symétrie, s’écrit donc
→
−
→
g (M) = g (r) −
u
0
0
r
Le théorème de Gauss appliqué à la surface fermée sphérique de centre O et de
rayon r > R enfermant toute la masse MT de la Terre conduit à
ZZ
−
→
→
−
g0 · dS = −4πGMT
soit
4πr2 g0 (r) = −4πGMT
GMT →
−
→
g0 (M) = − 2 −
ur
r
→
−
et avec µ = GMT , la force gravitationnelle f (M) s’écrit bien sous la forme recherchée
Il vient
−
→
µm →
→
f (M) = m −
g0 (M) = − 2 −
ur
r
1.1.2.a Le moment en O de la force gravitationnelle subie par le satellite est
→
→
−−→ −−→ −
→ ∧ − µm −
→ =−
0
M0 = OM ∧ f (M) = r −
u
u
r
r
r2
Le théorème du moment cinétique appliqué au satellite, par rapport au point O
fixe dans le référentiel géocentrique galiléen (R0 ), s’écrit donc
−
→
→
→
−
dL −
= M0 = 0
dt
→
−
Le moment cinétique L est donc constant.
→
−
−−→
→
Avec L = OM ∧ m−
v (M) perpendiculaire aux
→
−
vecteurs position et vitesse, ce moment cinétique
L = L−
u→
Z
Y
Nord
est nécessairement orthogonal au plan (P) = OXY
de la trajectoire et porté par la normale OZ.
Au nœud N, le satellite passe du Sud au Nord, ce
qui permet d’orienter la trajectoire et de fixer le
sens du moment cinétique selon les Z croissants.
Enfin, le centre O de la Terre correspond à l’un
des foyers de la trajectoire. On en déduit l’allure
ci-contre.
N′
O
N X
Sud
L’angle i est l’inclinaison de la trajectoire, il est compris entre 0 et π.
L’angle ψ est appelé ascension droite, elle est comprise entre 0 et 2π.
Sur le domaine de définition de i, l’axe OY du trièdre direct est donc bien
toujours orienté dans le sens Sud-Nord.
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1.1.2.b La constante C = L/m correspond à la
constante des aires.
Entre t et t + dt, le satellite passe de M à M′ .
L’aire dS balayée pendant dt est, à l’ordre 1, la surface du triangle OMM′ :
1
1
dS = (r + dr) r dα = r2 dα
2
2
En divisant par dt, il vient
dS
1 dα
= r2
dt
2 dt
trajectoire
M′
r + dr
dα
M
r
O
En utilisant les coordonnées polaires (r, α) dans le plan de la trajectoire, on trouve
d →
dr −
→
−
→ + r dα −
v (M) = (r −
ur ) =
u
u→
r
α
dt
dt
dt
→ −−→
−
→
→ ∧ mr dα −
2 dα −
donc
L = OM ∧ m−
v (M) = r −
u
u→
u→
r
α = mr
Z
dt
dt
L
dα
= r2
et
C=
m
dt
La constante des aires divisée par 2 représente donc l’aire balayée par unité de temps.
C’est la vitesse aréolaire. On peut enfin déduire du calcul précédent que
dt =
r2 dα
C
→
−
1.1.2.c On a montré que L est orienté selon +−
u→
Z.
Par ailleurs,
(
→
−
−
→
−
u→
Z = sin i u + cos i k0
→
−
→
→
u = sin ψ −
ı − cos ψ −

0
z0
Z
i
0
→
où −
u est le projeté de −
u→
Z sur le plan équatorial Ox0 y0 . Il vient donc
h
→i
−
→
−
→
→
L = L sin i sin ψ −
ı0 − sin i cos ψ −
0 + cos i k0
−
→
u
O
π
−ψ
2
x0
ψ
y0
X
1.1.3.a Le vecteur accélération s’exprime en coordonnées polaires par
2
2 →
2
d−
v
d r
dα
−
→ + 2 dr dα + r d α −
=
−
r
u
u→
r
α
dt
dt2
dt
dt dt
dt2
dr dα
d2 α
1 d 2 dα
1 dC
Or
2
+r 2 =
r
=
=0
dt dt
dt
r dt
dt
r dt
De plus, dα/dt = C/r2 d’après la question 1.1.2.b, on obtient alors en éliminant
→
dα/dt de la composante selon −
u
r
2
→
d−
v
d r C2 −
→
=
− 3 u
r
dt
dt2
r
→, le principe fondaLa force gravitationnelle subie par M étant portée par −
u
r
mental de la dynamique impose à l’accélération du point M dans le référentiel
galiléen (R0 ) d’être radiale. C’est ce que l’on vérifie à la question 1.1.3.a.
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